高中数学必修2知识点归纳

必修2知识点归纳••

啧=加+历斗+SJ

第一•章空间几何体⑸球的表面积和体积：

i.空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体.一般地.面枳比等于相似比的平方，体枳比等于相似比的立方。

⑴常见的多面体有：棱柱、棱锦、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证

阿台'球。简单组合体的构成形式：1.公理1:如果一条直线上两点在

一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）一个平面内，那么这条直线在此平面内。

物体表示的几何体；

(AGLBGI

一种是由筒单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1TI

中（3）（4）物体表示的几何体。

公理1的作用：判断直线是否在平面内

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

若A,B,C不共线，则

A,B,C确定平面

推论1:过直线的直线外一点有且只有一个平面

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个若，则点A和确定平面

四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

1、⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截琰锥，底面与截面之间

的部分，这样的多面体叫做棱台。推论2:过两条相交直线有且只有一个平面

2、空间几何体的三视图和直观图

把光由一点向外散射形成的投膨叫中心投影，中心投影的投影线交若，则确定平面

于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投膨的投影推论3:过两条平行直线有且只有一个平面

线是平行的。

（1）定义：若，则确定平面

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图：公理2及其推论的作用：确定平面：判定多边形是否为平面图形的依

侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图：据。

俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有

图。一条过该点的公共直线。

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对王”，“高平齐”，“宽

Pea、Pe.0naC0=/且。e/

相等”

2.空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）.观察者站在某

一点观察几何体，画出的图形.公理3作月：（1）判定两个平面是否相交的依据：（2）证明点共线、

3、斜二测画法的基本步骤：线共点等。

4.公理4；也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.

①建立适当直向坐标系（尽可能使更多的点在.坐标轴上）公理4作用：证明两直线平行。

②建立斜坐标系，使=450（或1350）,注意它们确定的平面5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等

表示水平平面：或互补，

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成

平行于X'轴，且长度保持不变：在已知图形平行于Y轴的线段，在aa'.ho'llNl与N2方向相同nNl=N2

直观图中画成平行于Y'轴，且长度变为原来的一半：

一般地，原图的面枳是其直观图面积的倍，屏

4.空间几何体的表面枳与体积

aa.b用4与△方向相反nNI+N2=l好

⑴圆柱侧面积:

作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。

6、线线位比关系：平行、相交、异面。

（1）没fj任何公共点的两条直线平行

（2）有一个公共点的两条直线相交

（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

7、线面位置关系：

（1）直线在平面内，直线与平面有无数个公共点：

（2）直线和平面平行，直线与平面无任何公共点：

（3）直线与平面相交，直线与平面有唯一一个公共点:

8、面面位苴关系：平行、相交。

⑶圆台侧面积:

9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点）

⑷体枳公式:⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与

此平面平行。ii.线面垂直：

（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）⑴定义：妇果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说

这条直线和这个平面垂直。

“aaa

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此

,__________bcza>=>（）//a

/-J/a//b平面垂直。

11m

证明两直线平行的主要方法是：

lln

①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半：

m(]ri=A

②平行四边形的性质：平行四边形两组对选分别平行：

③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线，儿〃ua

的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行：⑶件的I崔百子同一个平面的两条直线平行。

“|aaka

=>a\h

au/)bla

性质II：垂直于同一直线的两平面平行

④平行线的传递性：12.面面垂直:

⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两

的交线平行：个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

=a10

（只需在•个平面内找到另•个平面的垂线就可证

⑵直线与二面平行的性质：如果一条直线平行干一个平面，经过这条明面面垂直）

直线的平面与这个平面相交，那么这条直线即它们的交线平行；（h⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂亘于交线的直线垂直于

面的③）另一个平面。

10、面面平行：（即两平面无任何公共点）alp

（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则a~\fl-m

这两个平面平行。J=>/!/?

lua

aua,bua

11m

aC\b=A|P

证明两直线垂直和主要方法：

a\\P，b\\P①利用勾股定理证明两相交直线垂直：

②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直：

判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）：

两条直线分别平行，两平而平行④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，

a.bcza“线斜垂”）

a?\b=A

aa',h||//

a,h'uft

（2）两平面平行的性侦：④利用网中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互

性质I：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平相垂直等结论。

行：空间角及空间距离的计算

a"I1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两

异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，

\b

/?nr=d

忖J贞H：平行于同一平面的两平面平行;2,斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA是平

面的一条斜线，A为斜足，0为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，

a|l/

>=>a)为线面角。

⑶忆

性质川：夹在两平行平面间的平行线段相等:

a\P

A,Cea

=>AC=HD3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角

B.Deft

,二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角

ABCD分别在均个半平面内且角的两边与二面角的枝垂直

性质N：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行:

用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关铤点是:

。叫=77=小①明确构成二面角两个半平面和校：

auajac/?J②明确二面角的平面角是哪个？

而耍想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱

垂直。

⑴'1⑵4和/，相交

（求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）

异面直线间的距离：指火在两异面直线之间的一

公垂线段的长度。如图PQ是两异面直线间_________⑶4和4重合o1BG=aC,：⑷/,_L4。AA+B四=0

（异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的

直线）8、交点与距离公式

5.点到平面的距离：指该点与它在平面上•的（1）两直线的交点坐标需将两直线方程组成方程组求解，即：

射影的连线段的长度。①

如图：。为P在平面上的射比，当①有唯一解时，两直线相交：当①无解时，两直线平行：当①有无

线段0P的长度为点P到平面a的距离数个解时，两直线重合。

求法通常有：定义法和等体积法（2）过两直线交点的直线系方程为：

等体积法：就是将点到平面的距离看成是

X

Atx+4y+C,+>1（A3+田：y+CJ=0

三极锥的一个高。如图在三棱锥V-A8C

将含有一个参数的直线方程化为F|I+m<Z二）=0

中有：的样式就可解决直线恒过定点问一『泾£紫方程的结构

第三章直线与方程（3）两点词距离公式:

1.直线方程的概念：一条直线与一个二元一次方程有如下两个对（4）点到直线距离公式：

应：（5）两平行线间的距离公式：对于直线

,与间的矩禽为：

①直线/上任意一点的坐标（二尸）都满足方程F（j-v）cAv+fivfCs0:

（6）线段中点坐标公式：,,是线段AB的中点。

第四章回与方程

②以方程"tM=A'+8）+C=0的解为坐标的点（儿对都在直线,上。

1.圆的第一定义：到定点的距离等于定长的点的集合.

则称方程为直线的方程，直线为方程的直线。阅的第二是义：到两个定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的集

2.直线倾斜角的定义：把直线向.上的方向与轴的正方向形成的最小合。

jE角叫直线的倾斜角。圆的标准方程：，圆心为，半径为»

3.直线倾斜角的范围：，当直线与轴平行或者是重合时，倾斜角

为

4.直线斜率的定义：倾斜角不为直线，倾斜角的正切值叫直线的斜

率。3.圆的一般方程：°

国心为，半径。

记作*=tana(a,90。)

当时，方程表示点

当倾斜角为四°时直线的斜率不存在。当时，方程不表示任何图形。

5.直线过点，则直线的斜率为:4、点与列的位置关系的判定：

6.直线方程的表示形式：

⑴当满足（％-"）'+（.%-〃『=一时点p在圆上:

⑴点斜式:

当斜率不存在时，直线与轴垂直，倾斜角为，

（2）当中％）'。）满足（％一"-—与:/时点P在圆内：

此时直线方程为:，如右图,特别地轴所在

直线方程为乂=。。

（3）当6（%与）满足（“一“）’+（为一""'时点尸在圆外：

当直线斜率时，直线与轴平行或者是

直线方程为：，轴所在的直线方程为。5.求圆方程的方法，主要有两种：

⑵斜截式：（为直线在轴上的截距）（1）待定系数法：使用待定系数法求阅方程的一般步骤：

当直线过轴上一定点时，通常设直线5线①根据提设，选择标准方程或一般方程：

过定点，设②根据条件列出关于a、b、r或D.E、F的方程组：

当直线过轴上一定点（）时，，通常例③解出a、&r或D、E、F,代入标准方程或一般方程。

如直线过定点,设（2）利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标：

⑶两点式:①三角形外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点就是外心：

⑷截距式:②垂径定理：垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧：

一般地，问题中出现两个截距时，通常设直线方程为。③弦的垂直平分线必经过圆心，因此求出两条弦的垂直平分线方程,

方程中分别表示直线的横截距和纵截距，联立解方程组求

得留心坐标:而留心到圆上任意一点的距离都等r半径，最终写出园

一般地，在直线方程中，令可求得横截距，令可求得纵截

距的标准方程。

7、⑸一般式：，所有直线方程都可化为一般式。6.直线与圆的位置关系的判定：

8、当，直线的斜率，当时，直线斜率不存在，方程可化为几何法（1）相切：恻心到直线的距离=:

（2）相交：圆心到直线的距离：

两直线的位置关系的判定：（3）相离：圆心到直线的距离o

当两直线倾斜角相等时，即时，两直线平行:

当两直线倾斜角满足时，两直线垂直；l:Ax+By+C=0

当两直线倾斜角不相当时，两直线相交。

对于直线有：

Wxo+Bjo+CI

S3尸

■C.-(x-a)2+(y-b]2=r^

（1）S产a：（2）4和/，相交=*产&；相切：d«r

代数法：将直线方程与圆的方程联立组成方程组①

4=々

O（1）若方程①有唯一一个解，直与圆相切：

（3乂和4重合八=与：（4乂0勺&=

（2）若方程①有唯两个不等实数个解，直线与圆相交:

对于直线有：（3）>若方程①有无解，直线与圆相离。

特别地，当直线与圆相离时，为网上

的动点，为点到直线的跖离，设确定空间直角坐标系中点的坐标的知识要点：

为圆心到直线的距离，则

1.空向直角坐标系：从空间某一个定点H三条互相垂直且有相

\PH\«J+rJPWI.=d-r.

mnxmin同单位长度的数轴，这样的坐标系叫做空间直角坐标系，点

直线与圆相切，求圆的切线方程：一般用网心到直线的距离等于半径来求解

叫做坐标原点，轴、轴、轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平

(1)过阴外一点的切线：①人不存在，验证是否成立；②«存在，设点斜式方程，

面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面.

用圆心到该直线印离=半径,求解后得到直线方程【一定有两解】

(2)过IM1上一点的切线方程：圆(x-a)'+(..O)'=/,回上一点为(*ya).则

过此点的切线方程为(.0-“Xx-，D+G,o-，>)(),-/>)=r?

注意解决亘线与阅位国关系问题时，经常需要设定直线方程，设直线请注意：在写空间中点的坐标遇到困难时，通常先写出该点在

方程的技巧：

平面上的射影点的的坐标，然后加上相应的竖坐标即可。

①若直线过轴上的定点则可设直线②若直线过定点为，则一

股设直线：③若直线过点，则设直线«2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让石手拇指指向轴的正

7、两圆位置关系的判定：设圆心距

方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向，则称这个

几何法⑴相离：：⑵外切：：⑶相交：

⑷内切：：(5)内含：.坐标系为右手直角坐标系.

3.空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M,作出M点在三条坐标

轴轴、轴、轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为X、

y、z,则把有序实数组(x,y,z)叫做M点在此空间宜.角坐标系中的坐

标，记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标,

z叫做点M的竖坐标.

内切:有一个