等差数列的实际应用-初中-数学-教学设计

等差数列的实际应用李立川西安国际港务区铁一中陆港高级中学学生年级：高二课时：一课时（一）教材解析：课本例3、4分别体现了等差数列在解决实际问题构造新数列等方面的应用，难度较高，例5则谈久了等差数列的性质，需单独一个课时讲授。（二）学情分析：目前学生已经学习等差数列的概念通项公式与前n项和公式及推导，对于等差数列有了深刻认识，但是对于利用等差数列解决实际问题和构造新数列方面的应用，和将实际问题的等差关系转化为等差数列的能力还有待加强。（二）教学目标1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。2.利用等差数列的性质简化运算。（三）教学重点、难点1.重点：等差数列的应用。2.难点：从实际问题抽象出等差数列模型，利用等差数列的性质简化运算。（四）教学方法与策略学生为主体，教师起引导作用，采用问题引导式探究教学，学生小组合作展示。（五）教学过程设计问题1:同学们，上节课我们学习了等差数列的概念及通项公式，请大家回忆一下？举个例子？师生活动：让学生回答，判断是否为等差数列设计意图：让学生回顾所学的等差数列概念及通项公式，接下来将利用这些知识解决实际问题。课本例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.问题2：经过一年，设备的价值变为多少？第二年？第三年呢？时间设备价值经过一年经过二年经过三年学生独立完成，师生进行点评，完成表格。时间设备价值经过一年a1-d经过二年a1-2d经过三年a1-3d追问1：设备价值是否构成等差数列？为什么？可以让几个学生回答，大家判断一下是不是等差数列。分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{an}，首项是a1＝220－d，公差为-d.追问2：等差数列的通项是什么？追问3：这台设备第10年的价值应是多少？满足什么条件？第11年呢？师生活动：由学生们分组讨论得出结果。由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元，由此可以利用{an}的通项公式列不等式求解。解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得an＝an-1－d（n≥2）．所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.由题意，得a10≥11，a11＜11.即：解得19<d≤20.9所以，d的求值范围为19<d≤20.9设计意图：通过解决具体实例，学会将实际问题转化成一个等差数列问题，并且能构造等差数列来刻画它。从而能利用等差通项解决数列问题。教学中应注意引导学生类比建立函数模型刻画现实世界的变化规律，再利用函数的性质解决问题的过程，经历建立等差数列模型解决实际问题的过程，学生可能认为没有必要构造数列，在解题中也可能因为没有设定数列的首项，致使后面不能准确地运用给出的条件列出不等式组，教学中要让学生完整地经历将实际问题中的等差关系转化为等差数列的过程，使学生养成严密思考的良好习惯。课本例4.已知等差数列{an}的首项a1＝2，d=8在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.(1)求数列{bn}的通项公式.(2)b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由.问题1:a1,a2分别是新的等差数列{bn}的第几项？追问1：能否由问题1的结果推出等差数列{bn}的通项公式？于是，.即，所以.所以，.则数列的通项公式为.追问2：b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由.所以.由已知，.令，得.所以是数列中的第8项.追问3：对于第（2）小题，你还有其他解法吗？数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些项的下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则.令，解得.所以是数列中的第8项.设计意图：引导学生用两种方法解决此题，拓宽学生的解题思路，加深学生对等差数列的概念及性质的理解。发展学生逻辑推理，数学运算的核心素养。追问4：如果插入个数，那么的公差是多少？给出三个问题引导：1.若每两项中间插入1个数，公差是多少？2.若每两项中间插入2个数，公差是多少？3.若每两项中间插入4个数，公差是多少？引导学生在完成三个问题后，能够找到其中的规律，用不完全归纳的方法自主完成变式问题。（因为，所以，即.所以.）设计意图：由特殊到一般，降低了学生的理解难度，也让学生进一步理解等差的公差的概念，从而加强对等差数列的认识。（六）落实习题检测例1(多选)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则()A．冬至的日影子长最长，为15.5尺B．立夏比谷雨的日影子长多1尺C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列D．清明的日影子长为8.5尺练习11934年，东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆发现了“正方形筛子”，如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第7行第31列的数是()A．470B．472C．474D．476例2若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为eq\f(1,4)的等差数列，则数列的公差