广东省廉江市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 利用导数研究函数的单调性教学设计 新人教A版选修2-2

广东省廉江市高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性教学设计新人教A版选修2-2授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路本节课以新人教A版选修2-2高中数学第一章“导数及其应用”中的1.3节“导数在研究函数中的应用——利用导数研究函数的单调性”为教学内容。设计思路是以学生为主体，通过实际问题引入，引导学生理解导数的概念，进而运用导数研究函数的单调性。通过实例分析和课堂练习，使学生掌握导数在研究函数单调性中的应用，提高学生的数学思维能力。核心素养目标培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养。通过导数概念的学习，使学生能够抽象出函数单调性的数学本质；通过逻辑推理，引导学生运用导数判断函数单调性；通过数学建模，解决实际问题，将抽象的数学知识应用于具体情境；通过数学运算，提高学生运用导数计算的能力，为后续学习打下坚实基础。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识。

学生在进入本节课之前，已经学习了函数的基本性质、极限和导数的初步概念。他们能够理解函数的增减性，掌握基本的极限运算，并对导数的概念有初步的认识。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。

学生对数学学科普遍持有较高的兴趣，尤其是对函数性质和变化规律的研究。他们的数学能力在逻辑推理和抽象思维方面有所体现，但部分学生可能在理解和应用导数概念时遇到困难。学习风格上，学生既有喜欢通过直观图形理解概念的，也有偏好通过公式推导进行证明的。

3.学生可能遇到的困难和挑战。

学生在学习导数在研究函数中的应用时，可能会遇到以下困难和挑战：一是对导数概念的理解不够深入，难以将导数与函数的单调性直接联系起来；二是缺乏运用导数解决实际问题的经验，导致在分析具体问题时感到困惑；三是数学运算能力不足，难以准确进行导数的计算。针对这些挑战，教师需要通过实例分析和课堂练习，帮助学生逐步克服困难。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，包括新人教A版选修2-2《导数及其应用》。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如函数图像、导数计算过程演示等，以增强直观性和互动性。

3.教学工具：准备计算器或计算机软件，以便进行导数的计算和函数图像的绘制。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，设置分组讨论区，确保学生能够自由交流，同时准备实验操作台，以便进行必要的函数性质实验。教学过程设计【用时：45分钟】

一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：通过展示自然界或社会生活中的速度变化现象，如汽车行驶速度、物体下落速度等，引导学生思考如何描述这些变化。

2.提出问题：引导学生回顾初中阶段关于函数增减性的知识，提出问题：“如何用数学语言描述函数在某一点附近的变化趋势？”

3.学生思考：给学生一定时间思考，鼓励学生提出自己的看法。

4.教师总结：引导学生回顾函数图像的概念，提出导数的概念。

二、讲授新课（25分钟）

1.导数概念讲解（5分钟）：讲解导数的定义、物理意义和几何意义，通过实例让学生理解导数的含义。

2.单调性判定（10分钟）：讲解如何利用导数判断函数的单调性，重点讲解一阶导数的正负号与函数单调性的关系。

3.应用实例分析（10分钟）：分析几个典型例题，引导学生运用导数判断函数的单调性，并解释原因。

4.学生讨论：分组讨论，让学生尝试运用导数判断函数的单调性，教师巡回指导。

三、巩固练习（10分钟）

1.课堂练习：发放练习题，要求学生在规定时间内完成，巩固所学知识。

2.学生展示：选取部分学生展示解题过程，其他学生补充或纠正错误。

3.教师点评：对学生的解题过程进行点评，指出优点和不足。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问环节：教师针对课堂内容提出问题，检验学生对知识的掌握情况。

2.学生回答：鼓励学生积极回答问题，教师及时给予评价和反馈。

五、师生互动环节（10分钟）

1.学生提问：学生提出在学习过程中遇到的问题，教师耐心解答。

2.教师引导：教师引导学生深入思考问题，激发学生的创新思维。

3.小组合作：分组进行小组讨论，让学生在互动中解决问题。

六、核心素养拓展（5分钟）

1.数学抽象：引导学生通过导数概念理解函数性质的本质，提高学生的数学抽象能力。

2.逻辑推理：通过判断函数单调性的实例，锻炼学生的逻辑推理能力。

3.数学建模：让学生将实际问题转化为数学模型，提高学生的数学建模能力。

七、总结与布置作业（5分钟）

1.总结：教师对本节课的主要内容进行总结，强调重点和难点。

2.布置作业：布置相关的练习题，要求学生在课后完成。

教学过程中，教师应关注学生的学习情况，适时调整教学节奏，确保学生能够充分理解和掌握所学知识。同时，注重培养学生的核心素养，提高学生的数学思维能力和创新意识。知识点梳理1.导数的定义

-导数的几何意义：函数在某一点处的变化率，即切线的斜率。

-导数的物理意义：物体运动的速度变化率。

-导数的定义：函数在某一点处的导数定义为该点处的切线斜率。

2.导数的性质

-导数的连续性：若函数在某区间内可导，则该函数在该区间内连续。

-导数的可导性：可导函数的导数存在。

-导数的线性性质：常数倍、和、差的导数分别为常数的导数、函数和、函数差的导数。

-导数的链式法则：复合函数的导数等于外函数导数乘以内函数导数。

3.导数在研究函数中的应用

-单调性：通过一阶导数的符号判断函数的单调性。

-凹凸性：通过一阶导数的符号变化和二阶导数的符号判断函数的凹凸性。

-极值：通过一阶导数为零的点判断函数的极值点。

4.求导法则

-基本求导法则：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数。

-复合函数求导法则：链式法则、乘法法则、除法法则。

-移动法则：导数的平移性质，如导数的左移和右移。

5.高阶导数

-高阶导数的概念：函数的n阶导数。

-高阶导数的求法：直接求导、复合函数求导、链式法则。

-高阶导数的应用：高阶导数在研究函数的凹凸性、拐点、极值等方面的应用。

6.微分中值定理与罗尔定理

-微分中值定理：若函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

-罗尔定理：若函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

7.泰勒公式

-泰勒公式的概念：函数在某一点附近可以用多项式逼近。

-泰勒公式的应用：求函数在某一点的近似值，研究函数的性质。课后作业1.实例：已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x，求f'(x)。

解答：f'(x)=3x^2-6x+4。

2.实例：求函数f(x)=e^x-x^2在x=1处的导数。

解答：f'(x)=e^x-2x，f'(1)=e-2。

3.实例：已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求f'(x)。

解答：f'(x)=cos(x)-sin(x)。

4.实例：函数f(x)=(x-1)^2/(x+2)，求f'(x)。

解答：f'(x)=[2(x-1)(x+2)-(x-1)^2]/(x+2)^2=(x-1)(3x+3)/(x+2)^2。

5.实例：已知函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)。

解答：f'(x)=1/(x+1)。作业布置与反馈作业布置：

1.完成教材中的课后习题，特别是与导数概念、导数性质和导数应用相关的题目。

2.选择两个函数，分别求出它们的一阶导数和二阶导数，并分析导数的符号变化，判断函数的单调性和凹凸性。

3.利用导数判断以下函数在指定区间内的单调性：

-f(x)=x^3-6x^2+9x+1，在区间[-1,3]上；

-g(x)=e^x-x^2，在区间(0,2)上。

4.设计一个实际问题，如物体的运动轨迹，用导数描述其速度和加速度，并解释其物理意义。

5.对比分析两个函数的单调性和极值点，如f(x)=x^2和g(x)=-x^2，并讨论它们在图形上的差异。

作业反馈：

1.及时批改作业，确保每位学生的作业都能得到反馈。

2.对于导数计算错误，指出具体错误，并提供正确的计算步骤。

3.对于函数单调性和凹凸性的判断，检查学生的逻辑推理过程，确保其正确性。

4.对于实际问题，评价学生的应用能力，鼓励学生将数学知识应用于实际情境。

5.对于对比分析，鼓励学生提出自己的见解，并对其进行分析和评价。

6.对于作业中的亮点，给予肯定和表扬，以激发学生的学习兴趣和积极性。

7.对于普遍存在的问题，可以在下一节课上进行集体讲解，帮助学生共同克服困难。内容逻辑关系①导数的定义

-知识点：极限、增量、导数、切线斜率

-词句：函数在某一点处的导数定义、导数的几何意义、导数的物理意义

②导数的性质

-知识点：连续性、可导性、线性性质、链式法则

-词句：导数的连续性定理、导数的可导性定理、导数的线性性质公式、复合函数的链式法则

③导数在研究函数中的应用

-知识点：单调性、凹凸性、极值

-词句：利用导数判断函数的单调性、利用一阶导数判断函数的凹凸性、极值点的判定

④求导法则

-知识点：基本求导法则、复合函数求导法则、移动法则

-词句：幂函数、指数函数、对数函数、三