二次函数与特殊四边形-初中-数学-教学设计

《二次函数与特殊四边形》教学设计马永福南郑区城关一中一、学生知识状况分析学生已经学习过二次函数的图像和性质，会解决简单的几何图形与二次函数结合的综合问题，具备了一定的解题策略。二次函数与四边形的综合应用是中考考察学生能力的重要载体，对学生的能力要求较高，大部分学生感觉这部分掌握起来比较困难。二、教学任务分析通过数学活动积累学生数学思想方法的运用经验，体会二次函数与几何知识之间的联系；会解决函数背景下有关特殊四边形的问题，进一步培养运用数学思想方法解决问题的能力。教学目标1．会解决函数背景下有关特殊四边形的问题；2．体会二次函数与几何知识之间的联系；3．通过数学活动积累学生数学思想方法的运用经验，进一步培养运用数学思想方法解决问题的能力。教学重点会解决函数背景下有关特殊四边形的问题；教学难点会解决函数背景下有关特殊四边形的问题，通过数学活动积累数学思想方法的运用经验。三、教学过程分析第一环节：情景导入如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－eq\f(5,2))三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由。上面的问题中，你会解决哪些？要用到哪些知识呢？第二环节：合作探究1、你是怎样求得解析式的？用到了哪些思想方法？我们已经知道用待定系数法可求得函数的表达式：y＝－x2＋2x＋3；在这里用到了方程思想，设出解析式，再将已知点的坐标代入即可。2、在P、A、C三个点中，谁是定点谁是动点？你联想到了哪个数学模型？此题可用将军饮马的数学模型来解决：由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，如解图，连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求，设直线BC的解析式为y＝kx＋b1(k≠0)，由题意得，解得，∴直线BC的解析式为y＝eq\f(1,2)x－eq\f(5,2)，∵抛物线y＝eq\f(1,2)x2－2x－eq\f(5,2)的对称轴是x＝2，∴当x＝2时，y＝eq\f(1,2)x－eq\f(5,2)＝eq\f(1,2)×2－eq\f(5,2)＝－eq\f(3,2)，∴点P的坐标是(2，－eq\f(3,2))；3、点M为x轴上一动点，N是抛物线上一点，在A、C是定点，要使得以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形，那么它的对边必然平行且相等，而且点N可能在x轴的上方,也可能在x轴的下方。可以先尝试画出草图加以分析。(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x＝2对称，∵C点的坐标为(0，－eq\f(5,2))，∴点N的坐标为(4，－eq\f(5,2))；(ii)当存在的点N′在x轴上方时，如解图所示，作N′H⊥x轴于点H，∵四边形ACM′N′是平行四边形，∴AC＝M′N′，∠N′M′H＝∠CAO，∠AOC＝∠M′HN′，∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H(AAS)，∴N′H＝OC，∵点C的坐标为(0，－eq\f(5,2))，∴N′H＝eq\f(5,2)，即N′点的纵坐标为eq\f(5,2)，∴eq\f(1,2)x2－2x－eq\f(5,2)＝eq\f(5,2)，解得x1＝2＋eq\r(14)，x2＝2－eq\r(14).∴点N′的坐标为(2－eq\r(14)，eq\f(5,2))或(2＋eq\r(14)，eq\f(5,2))．(13分)综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为(4，－eq\f(5,2))，(2＋eq\r(14)，eq\f(5,2))，(2－eq\r(14)，eq\f(5,2))．第三环节：议一议在解决刚才的问题中，我们用到了哪些知识和数学思想方法？解决有关特殊四边形的问题时，要对特殊四边形的性质与判定掌握得非常熟练。转化思想、方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、模型思想等是我们解决函数问题的重要策略。第四环节：巩固练习如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B两点，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P。（1）求a，k的值；（2）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．解：易得a，k的值分别为1，﹣1；当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，则四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长。本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中。第五环节：能力提升如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；(2)点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标。第六环节：归纳小结小结知识与解决问题方法，让学生各抒己见，教师适时提点评价第七环节：布置作业教学反思数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在。因此，在复习时要注意体