第三章　§3.5　利用导数研究恒(能)成立问题（教师版+学生课时教案+课时作业+配套）

PAGE课题第三章§3.5利用导数研究恒(能)成立问题（教师版+学生课时教案+课时作业+配套）课程基本信息1.课程名称：数学

2.教学年级和班级：高中一年级（1）班

3.授课时间：2023年4月15日，星期五，第2节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.培养学生的逻辑推理能力，通过导数研究恒成立问题，让学生学会运用数学语言表达数学思考。

2.增强学生的数学建模意识，引导学生从实际问题出发，构建数学模型，解决实际问题。

3.强化学生的数学运算能力，通过导数计算训练，提高学生运用导数解决函数性质问题的能力。

4.提升学生的数学应用意识，让学生体会数学在各个领域的应用价值，激发学生对数学学习的兴趣。重点难点及解决办法重点：

1.导数在研究函数恒成立问题中的应用。

2.建立数学模型，将实际问题转化为数学问题。

难点：

1.函数恒成立问题的抽象性，学生难以理解。

2.如何将实际问题转化为数学模型，学生缺乏实际操作经验。

解决办法：

1.通过实例讲解，结合图形直观展示导数在研究函数恒成立问题中的作用。

2.引导学生从实际问题出发，逐步构建数学模型，通过小组讨论和合作学习，突破难点。

3.设计分层练习，由浅入深，逐步提高学生解决实际问题的能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生拥有本节课的数学教材，以便学生跟随课本内容学习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的函数图像、导数变化率图表等多媒体资源，以帮助学生直观理解导数在研究恒成立问题中的应用。

3.实验器材：准备计算机软件，如数学绘图软件，以便学生进行函数图像的绘制和导数计算。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行小组合作学习；确保实验操作台安全，以供学生进行数学建模和实验操作。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过展示生活中常见的运动轨迹图片，如抛物线运动，引导学生思考如何描述物体的运动规律。

-回顾旧知：简要回顾函数的单调性、极值等概念，为学习导数在研究恒成立问题中的应用打下基础。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：

a.介绍导数的概念，讲解导数的几何意义和物理意义。

b.讲解导数在研究函数性质中的应用，如单调性、极值等。

c.讲解导数在研究函数恒成立问题中的应用，如判断函数的极值、单调性等。

-举例说明：

a.通过具体例子，如函数f(x)在区间[a,b]上恒成立，求解f'(x)的值。

b.通过实例分析，让学生理解导数在研究恒成立问题中的应用。

-互动探究：

a.引导学生分组讨论，探讨如何将实际问题转化为数学问题。

b.鼓励学生提出问题，共同解决，培养学生的合作精神和探究能力。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：

a.让学生独立完成课本上的例题和练习题，巩固所学知识。

b.引导学生运用所学知识解决实际问题，如求解实际问题中的函数恒成立问题。

-教师指导：

a.对学生在练习过程中遇到的问题进行解答，帮助学生理解知识。

b.对学生的练习情况进行评价，指出不足之处，提出改进建议。

4.总结与反思（约5分钟）

-总结本节课所学内容，强调导数在研究函数恒成立问题中的应用。

-引导学生反思自己的学习过程，总结学习经验，提高学习效果。

5.作业布置（约5分钟）

-布置课本上的课后习题，巩固所学知识。

-鼓励学生自主探究，尝试解决实际问题。

教学过程中，注重以下教学策略：

1.采用启发式教学，引导学生主动参与课堂活动。

2.注重理论与实践相结合，提高学生的实际应用能力。

3.采用分层教学，关注学生的个体差异，满足不同学生的学习需求。

4.创设良好的学习氛围，激发学生的学习兴趣，提高课堂效率。教学资源拓展1.拓展资源：

-《数学分析导论》：这本书可以为学生提供更深入的数学分析知识，特别是关于导数的概念和性质。

-《高等数学》：通过阅读这本书，学生可以了解导数在更广泛的应用场景中的重要性。

-《数学建模》：这本书介绍了如何将实际问题转化为数学模型，对于培养学生的数学建模能力非常有帮助。

2.拓展建议：

-学生可以尝试阅读《数学分析导论》中关于导数极限定理的部分，理解导数与极限之间的关系。

-通过《高等数学》中的实例，学生可以学习如何运用导数解决实际问题，如物理中的运动学问题、经济学中的优化问题等。

-在《数学建模》中，学生可以找到一些与恒成立问题相关的案例，如人口增长模型、资源分配模型等，通过分析这些模型，加深对导数在数学建模中的应用理解。

具体的拓展学习建议如下：

-**案例分析**：选取一些实际案例，如物理学中的抛体运动、经济学中的成本分析等，让学生分析在这些领域中如何使用导数来研究函数的恒成立问题。

-**数学竞赛题目**：鼓励学生参加数学竞赛，通过解决竞赛中的问题，提高他们的数学思维能力和解题技巧。

-**小组项目**：组织学生进行小组项目，让学生共同探讨一个复杂的问题，如优化一个生产过程或设计一个算法，通过这个过程，学生可以学习如何将导数应用于实际问题。

-**在线课程**：推荐学生观看一些在线数学课程，如Coursera、edX等平台上的相关课程，这些课程通常由大学教授主讲，能够提供更专业的知识和视角。

-**实践操作**：如果条件允许，可以组织学生进行一些数学实验，如使用计算机软件进行函数图像的绘制和导数的计算，通过实践操作加深对导数概念的理解。典型例题讲解1.例题：已知函数f(x)在区间[0,2]上连续，且f(0)=1，f(2)=3，若f(x)的导数f'(x)在区间(0,2)上恒大于0，求证：f(x)在区间[0,2]上单调递增。

解答：由题意知，f'(x)>0在区间(0,2)上恒成立，即f(x)在区间(0,2)上单调递增。又因为f(0)=1，f(2)=3，所以对于任意的x1,x2∈[0,2]，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)。因此，f(x)在区间[0,2]上单调递增。

2.例题：已知函数f(x)在区间[-1,1]上连续，且f(0)=0，f'(x)=x^2-1，求证：f(x)在区间[-1,1]上存在唯一的极值点。

解答：由f'(x)=x^2-1，得f'(x)=0时，x=±1。因为f'(x)在区间[-1,1]上连续，且f'(x)在x=-1和x=1处改变符号，根据罗尔定理，存在ξ∈(-1,1)，使得f'(ξ)=0。又因为f'(x)在区间(-1,ξ)上为负，在区间(ξ,1)上为正，所以f(x)在x=ξ处取得极小值。因此，f(x)在区间[-1,1]上存在唯一的极值点。

3.例题：已知函数f(x)在区间[0,+∞)上连续，且f'(x)=2x+3，求f(x)在区间[0,1]上的最大值。

解答：由f'(x)=2x+3，得f'(x)=0时，x=-3/2。但x=-3/2不在区间[0,1]内，所以f(x)在区间[0,1]上无驻点。又因为f'(x)在区间[0,1]上恒大于0，所以f(x)在区间[0,1]上单调递增。因此，f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)。

4.例题：已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续，且f'(x)=2e^x，求f(x)在区间[0,e]上的最小值。

解答：由f'(x)=2e^x，得f'(x)=0时，x=0。因为f'(x)在区间[0,e]上恒大于0，所以f(x)在区间[0,e]上单调递增。因此，f(x)在区间[0,e]上的最小值为f(0)。

5.例题：已知函数f(x)在区间(-1,1)上连续，且f'(x)=x^2-3x+2，求f(x)在区间(-1,1)上的最大值。

解答：由f'(x)=x^2-3x+2，得f'(x)=0时，x=1或x=2。但x=2不在区间(-1,1)内，所以f(x)在区间(-1,1)上无驻点。又因为f'(x)在区间(-1,1)上恒小于0，所以f(x)在区间(-1,1)上单调递减。因此，f(x)在区间(-1,1)上的最大值为f(-1)。教学反思与总结这节课下来，我感觉挺有收获的。首先，我觉得我在教学方法上还是做得不错的。通过实例讲解和小组讨论，学生们对导数在研究恒成立问题中的应用有了更深的理解。不过，我也发现了一些问题。比如，在讲解导数的概念时，有的学生还是觉得挺抽象的，这可能是因为我对概念的解释还不够生动形象。

至于管理方面，我觉得整体上还比较顺利。不过，在课堂提问时，我发现有的学生回答问题不够准确，这可能是因为他们对知识掌握得不够牢固。因此，我需要在课后加强个别辅导，帮助这些学生巩固知识点。

说到教学效果，我觉得学生们在这节课上收获还是挺多的。他们对导数的概念有了更深入的理解，能够运用导数解决一些实际问题。当然，我也看到了他们的进步，比如在解决恒成立问题时，他们能够比较熟练地运用导数来判断函数的单调性和极值。

当然，也存在一些不足。比如，我在讲解过程中，可能过于注重知识的讲解，而忽视了学生的实际操作能力。今后，我需要在教学中更多地让学生动手实践，提高他们的数学应用能力。内容逻辑关系①本文重点知识点：

-导数的概念

-导数的几何意义和物理意义

-导数在研究函数性质中的