长沙市青竹湖湘一2022-2023学年八年级下学期期末数学试题及答案解析

青竹湖湘一外国语学校2022-2023学年第二学期期末考试初二数学时量：120分钟总分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.2023的相反数是（）A. B. C. D.2.下列各式计算正确的是（）A. B. C. D.3.下列说法正确的是（）A.了解市民知晓“礼让行人”交通新规情况，适合全面调查B.一组数据5，5，3，4，1的中位数是3C.一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数D.甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为，，说明乙的成绩比甲稳定4.国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2020年至2022年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元.设我国2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为（）A.B.C.D.5.对于函数，说法正确的是()A.点在这个函数图象上 B.随着的增大而增大C.它的图象必过一、三象限 D.当时，6.如图在中，，对角线与相交于点，，则的周长为（）A. B. C. D.7.将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线为（）A. B. C. D.8.已知实心球运动高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（）A. B. C. D.9.已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（）A.7 B.8 C.9 D.1010.在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共18分）11.分解因式：_______．12.将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式是_______．13.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．14.抛物线的顶点坐标为___________．15.关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是________．16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为AB边上的一动点，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，E，F分别是AC，BC上的垂足，则EF的最小值是______．三、解答题（第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分，第24-25题每小题10分，共72分）17.计算：．18.先化简，再求代数式的值，其中．19.如图已知一次函数与正比例函数图像相交于点，与x轴交于点B．（1）求出m、n的值；（2）求出的面积．20.为了解本校九年级学生体质健康情况，朱老师随机抽取32名学生进行了一次体质健康测试，规定分数在75分（包含75分）以上为良好；根据测试成绩制成统计图表．组别分数段人数A2B5CaD12请根据上述信息解答下列问题：（1）本次调查中样本容量是________，________；（2）补全条形统计图；（3）样本数据的中位数位于________组；（4）该校九年级学生有960人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩为良好有多少人？21.如图，，垂足分别为D，E．（1）求证：；（2）若，求的长．22.近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系式，设销售这种商品每天的利润为W（元）．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）当销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．23.如图，在中，，，D是的中点，过点D作交于点E，延长至F，使，连接，，．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．24.定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．（1）下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．（2）若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；（3）若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．25.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，若点P为第一象限的抛物线上一点，直线交x轴于点D，且平分，求点P的坐标；（3）如图②，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线，交y轴于点N，当Q点运动时，线段MN的长度是否会变化？若不变，请求出其长度；若变化，请求出其长度的变化范围．

答案解析一、选择题（每小题3分，共30分）1.【答案】B【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：的相反数是，故选：B．【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．2.【答案】D【解析】【分析】分别根据幂的乘方运算法则、合并同类项法则、单项式的除法法则、同底数幂的乘法法则，逐一判断即可．【详解】解：A、，不符合题意；B、，不符合题意；C、，不符合题意；D、，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了幂的乘方运算法则、合并同类项法则、单项式的除法法则、同底数幂的乘法法则，掌握相关运算法则是解答本题的关键．3.【答案】C【解析】【分析】根据普查与抽样调查的区别、中位数的定义、众数的定义及方差的意义逐一判断即可．【详解】解：A．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，由于调查的工作量较大，适合抽样调查，此选项错误，不符合题意；B．一组数据5，5，3，4，1，重新排列为1、3、4、5、5，其中位数是4，此选项错误，不符合题意；C．一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，此选项正确，符合题意；D．甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为，，由，说明甲的成绩比乙稳定，此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要抽样调查与全面调查、中位数、众数、方差，解题的关键是掌握普查与抽样调查的区别、中位数的定义、众数的定义及方差的意义．4.【答案】C【解析】【分析】设平均增长率为，根据2020年至2022年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元，即可列出一元二次方程．【详解】解：设平均增长率为，根据题意得：，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解决本题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】根据一次函数的性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：对于函数，当时，，点在这个函数图象上，故A选项错误，∵，∴随着的增大而减小，故B选项错误，∵，∴它的图象过一、二、四象限，故C选项错误，∴当时，，且随着的增大而减小，∴当时，，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形对角线平分可得，即可求出结果．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质及三角形周长，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解．【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线为，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．8.【答案】B【解析】【分析】由题意知，该运动员此次掷铅球的成绩就是抛物线与x轴交点的横坐标，因此令，解一元二次方程即可．【详解】解：令，则：，解得：（舍去），，则该运动员此次掷铅球的成绩是，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系在实际生活中的应用，理解题意是关键．9.【答案】A【解析】【分析】结合一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，∴，，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系，一元二次方程有两个实数根，，则，，掌握以上公式是解题关键．10.【答案】D【解析】【分析】根据函数图象判断两个值，函数的图象是否正确即可得到答案．【详解】解：A、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象不符，故该选项不符合题意；B、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，故该选项不符合题意；C、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的左侧，与图象不符，故该选项不符合题意；D、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象相符，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11.【答案】【解析】【分析】根据提公因式和平方差公式，即可求得答案．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，解题的关键在于因式分解要彻底．12.【答案】【解析】【分析】根据一次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”即可得出平移后的直线的表达式．【详解】将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式是，即为．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数图象的平移．熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题，熟练掌握定理是解题的关键．【详解】多边形的外角和是，多边形的内角和是外角和的2倍，它的内角和是，设这个多边形的边数为，根据题意得，．故答案：．14.【答案】【解析】【分析】由抛线解析式的顶点式，即可找出抛物线的顶点坐标．【详解】抛物线的解析式为,抛物线的顶点坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．15.【答案】且k≠1##k≠1且【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可．【详解】根据题意可知，解得：．∴实数k的取值范围是且k≠1．故答案为：且k≠1．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．16.【答案】【解析】【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．【详解】解：如图，连接CD．∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF=CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小，此时，S△ABC=BC•AC=AB•CD，即×8×6=×10•CD，解得CD=，∴EF=．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．三、解答题（第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分，第24-25题每小题10分，共72分）17.【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质，非零数的零次幂的运算，负指数幂的运算法则即可求解．【详解】解：．【点睛】本题主要考查实数的运算，掌握二次根式的性质，非零数的零次幂的运算，负指数幂的运算法则是解题的关键．18.【答案】【解析】【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．19.【答案】（1），（2）4【解析】【分析】（1）把代入可求得n的值，再把A点的坐标代入求得m的值即可；（2）求得与轴的交点B的坐标，利用即可求得的面积．【小问1详解】解：∵点在函数的图象上，∴，∴，∵点也在函数的图象上，∴解得：；【小问2详解】∵与轴交于点B，∴令，则，∴，∴．【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数的解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．20.【答案】（1）32，13（2）见解析（3）C（4）750人【解析】【分析】（1）根据题意得出本次调查中的样本容量是32，用32减去表格中其他数据，求得a的值；（2）根据（1）的结论画出统计图，根据中位数的定义结合条形统计图可得中位数在C组；（3）根据中位数的定义求解；（4）用样本估计总体，用960乘以C，D人数的占比即可求解．【小问1详解】解：解：依题意，本次调查中的样本容量是：32，，故答案为：32，13．【小问2详解】解：补全统计图如图所示，【小问3详解】解：∵，，∴第16、17名学生的参加在C组，∴样本数据的中位数位于C组；【小问4详解】解：，答：估计该校九年级学生体质健康测试成绩为良好的有750人．【点睛】本题考查了样本的容量，画条形统计图，中位数的定义，样本估计总体，从统计图中获取信息是解题的关键．21.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证明；（2）根据全等三角形的对应边相等得到，再根据，即可解答．【小问1详解】证明：，，，，，，；【小问2详解】解：，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和全等的三个条件．22.【答案】（1）（2）2160元【解析】【分析】（1）根据销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答；（2）根据题意有：，解得：，将化为顶点式为：，即可知当时，函数值随着x的增大而减小，问题随之得解．【小问1详解】解：根据题意，得，即，又，解得，∴【小问2详解】解：根据题意有：，解得：，，∵，∴当时，W随着x的增大而减小，又，当时，函数值最大，最大为：．答：此时W的最大值为2160元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是是解答本题的关键．23.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，然后利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；（2）利用菱形的性质求出，利用勾股定理求出，，然后利用菱形的面积公式求解即可．【小问1详解】证明：∵D是的中点，∴，又，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形是菱形；【小问2详解】解：∵四边形是菱形，，∴，又，，∴，，∴，∵，即∴．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定定理及平行四边形的性质运用是解题的关键．24.【答案】（1）×；√；×（2）（3）【解析】【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；（2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；（3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可．【小问1详解】解：①令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；②令，解得：，，∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√；③令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；【小问2详解】解：由题意得，整理，得，∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，∴，解得；【小问3详解】解：由题意得整理，得∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”，∴整理，得∴当时，a的最