长沙市长郡教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题及答案解析

长郡教育集团2024年春季八年级下期末限时检测试卷数学一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下列方程一定是一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.关于一次函数，下列结论正确的是（）A.图象过点B.其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到C.随的增大而增大D.图象经过一、二、三象限3.对甲、乙、丙、丁四名射击选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（）选手甲乙丙丁方差A.甲 B.乙 C.两 D.丁4.函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（）A.（3，4） B.（﹣2，4） C.（2，4） D.（2，﹣4）5.在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（）A.中位数是8 B.众数是9 C.平均数是8 D.方差是06.开学第一节班会课，九（1）班全体学生每两人之间互赠“祝福卡”，祝福学业进步，身心健康．已知共赠“祝福卡”1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么可列方程（）A. B.C. D.7.在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的()A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差8.将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（）A.B.C. D.9.若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.10.如图，已知开口向上的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（）①；②函数的最小值为；③若关于x方程无实数根，则；④代数式A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值为__．12.已知一组数据，，，，若这组数据的平均数是，则_______________．13.一次函数与的图象如图所示，则的解集是________．14.等腰三角形边长是方程的解，则这个三角形的周长是________．15.“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是________米．16.已知二次函数的图象与轴的一个交点的坐标为，则二次函数的图象与的另一个交点的坐标是_________．三、解答题（本大题共9个小题，第17题8分每个方程4分，第18、19题每小题6分，第20、21、22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.选择适当的方法解下列方程：（1）（2）18.如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点（1）求直线的解析式；（2）若直线上的点C在第一象限，且求点C的坐标．19.已知关于x的一元二次方程有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若两实数根分别为和，且，求m的值．20.2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：（1）求图1中的_______，本次调查数据的中位数是_________h，本次调查数据的众数是_________h；（2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？（3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数．21.已知二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数解析式；（2）根据图象回答：当时，的取值范围；（3）当时，求的取值范围．22.为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2023年老旧小区改造平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加，如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？23.如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：（1）如图2，求该抛物线的函数解析式．（2）当水面下降1米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）24.对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值的取值范围是，且满足则称此函数为“系郡园函数”（1）已知正比例函数为“1系郡园函数”，则的值为多少？（2）已知二次函数，当时，是“系郡园函数”，求的取值范围；（3）已知一次函数（且）为“2系郡园函数”，是函数上的一点，若不论取何值二次函数的图象都不经过点，求满足要求的点的坐标．25.如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标；（3）若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.根据一元二次方程的定义即可解答.【详解】解：A.该方程是分式方程，故本选项不合题意；B.该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；C.当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不合题意；D.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意.故选：D.2.【答案】B【解析】【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案.【详解】解：对于一次函数，当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误；的图象向上平移3个单位长度得到的图象，故B选项结论正确；，因此随的增大而减小，故C选项结论错误；图象经过一、二、四象限，故D选项结论错误；故选B.3.【答案】B【解析】【分析】根据方差越小，越稳定判断即可.本题考查了方差的意义，解题关键是明确方差越小，波动越小.【详解】解：因为乙的方差最小，所以乙的成绩最稳定；故选：B.4.【答案】C【解析】【详解】函数y＝3（x﹣2）2＋4的图像的顶点坐标是（2，4）故选C.5.【解析】【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的计算方法分别求解即可得到答案.【详解】解：A、按照从小到大的顺序排列为7，7，8，8，9，9，9，10，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为，该选项错误，不符合题意；B、这组数据中众数为，该选项正确，符合题意；C、这组数据平均数为，该选项错误，不符合题意；D、这组数据的平均数为，则方差为，该选项错误，不符合题意；故选：B.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用，审清题意找到等量关系是解题的关键.根据每个同学都要送其他个学生贺卡，因此总赠送贺卡数是张，再根据共赠贺卡1980张列方程即可.【详解】解：由题意得：每个学生需要向其他个学生，则得方程得：故选：C.7.【答案】B【解析】【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可.【详解】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.故选B.8.【答案】C【解析】【分析】根据平移的规律进行求解即可得答案.【详解】将二次函数的图象向右平移2个单位，可得：再向下平移3个单位，可得：故答案为：C.9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质.【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，则图象上的点离对称轴越远则的值越大，∵，，，∴，∴，故选：.10.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项.【详解】解：由图象可知，图象开口向上，，对称轴为，故，即，则，故①正确；由图象可知当时，函数取最小值，将，代入，中得：，由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为，设函数解析式为：，故化简得：，将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确；变形为：，要使方程无实数根，则，将，代入得：，因为，则，则，综上所述，故③正确；因为，所以，因为，所以，即，故④正确；则①②③④正确，故选：D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.【答案】5【解析】【分析】根据一元二次方程根的定义把代入中得到关于a的方程，解方程即可得到答案.【详解】解：把代入中得，解得.故答案为：5.12.【答案】【解析】【分析】此题考查算术平均数的意义和求法，根据算术平均数的计算方法列方程求解即可.【详解】解：由题意得：解得：.故答案为：.13.【答案】##【解析】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式(组)之间的内在联系及数形结合思想.理解一次函数的增减性是解决本题的关键.利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可.【详解】解：观察函数图象得时，，所以的解集是.故答案为：.14.【答案】10或6或12【解析】【分析】此题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程.由等腰三角形的边长是方程的解，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可.【详解】解：，，解得：或，等腰三角形的边长是方程的解，当是等腰三角形的腰时，，不能组成三角形，舍去：当是等腰三角形的腰时，，则这个三角形的周长为.当边长为的等边三角形，得出这个三角形的周长为.当边长为的等边三角形，得出这个三角形的周长为.这个三角形的周长为10或或.故答案为：10或或.15.【答案】12【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键.将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图像与性质即可获得答案.【详解】解：∵，又∵，∴当（米）时，烟花可以达到的最大高度，最大高度为12米.故答案为：12.16.【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先求出二次函数的对称轴，再根据与轴的一个交点的坐标为，即可作答.【详解】解：依题意，二次函数的对称轴，∵二次函数的图象与轴的一个交点的坐标为，∴∴二次函数的图象与的另一个交点的坐标是，故答案为：三、解答题（本大题共9个小题，第17题8分每个方程4分，第18、19题每小题6分，第20、21、22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用开平方的方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可.【小问1详解】解：∵，∴，解得；【小问2详解】解：∵，∴，∴，∴，解得.18.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设直线的解析式为，将点、点分别代入解析式即可组成方程组，从而得到的解析式；（2）设点的坐标为，根据三角形面积公式以及求出的横坐标，再代入直线即可求出的值，从而得到其坐标.本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式.【小问1详解】解：设直线的解析式为，直线过点、点，，解得，直线的解析式为.【小问2详解】解：设点的坐标为，，，解得，，点的坐标是.19.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根可得△=b2﹣4ac=4+4m≥0，解不等式即可；（2）由x1和x2是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=﹣m，又由x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=6，可得方程22+2m=6，求解方程即可.【小问1详解】解：∵关于x一元二次方程有实数根，∴△=b2﹣4ac=4+4m≥0，解得：m≥﹣1；【小问2详解】解：∵x1和x2是方程的两个实数根，∵x1+x2=2，x1x2=﹣m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=6，∴22+2m=6，解得：m=1.20.【答案】（1）（2）此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时（3）估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人【解析】【分析】（1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解；（2）根据平均数的定义结合条形统计图即可求解；（3）用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解.【小问1详解】解：，∴，中位数为第与个数的平均数，即，由条形统计图可知，众数为3，故答案为：；小问2详解】解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时，答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时；【小问3详解】解：（人）答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人.21.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.（1）先设抛物线解析式为，再代入，解出，即可作答.（2）运用数形结合思想，即可作答.（3）先化为顶点式得，结合，得出的取值范围，即可作答.【小问1详解】解：设抛物线解析式为，把代入得，解得，∴二次函数解析式为.【小问2详解】解：依题意，结合图象，当或时，.【小问3详解】解：∵二次函数解析式为.∴，∴当时，y有最小值；当时，；当时，y的取值范围为.22.【答案】（1）年平均增长率为（2）12个老旧小区【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题、一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键.（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，结合“某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元.”进行列式，即可作答.（2）结合“2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加”，得，解出不等式，即可作答.【小问1详解】解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，依题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）.答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为.【小问2详解】解：设该市在2024年可以改造y个老旧小区，依题意得：，解得：，的最大值为12.答：该市在2024年最多可以改造12个老旧小区.23.【答案】（1）；（2）水面宽度增加米【解析】【分析】（1）根据题意可设该抛物线的函数解析式为，再把点代入，即可求解；（2）根据题意可得水面下降1米，到处时，点D的纵坐标为，把代入，可得到水面的宽度，即可求解.【小问1详解】解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为，∵当拱顶高水面2米时，水面宽4米.∴点，，把点代入得：，解得：，∴该抛物线的函数解析式为；【小问2详解】解：∵水面下降1米，到处，∴点D的纵坐标为，当时，，解得：，∴此时水面宽度为米，∴水面宽度增加米.24.【答案】（1）.（2）（3），，【解析】【分析】本题考查了二次函数的其他应用，图象性质，一次函数的图象性质，新定义的运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键.（1）结合“系郡园函数”的定义，进行分类讨论①当时，.②当时，则，