北师大版数学八年级下册第三单元图形的平移与旋转单元检测培优卷

北师大版数学八年级下册第三单元图形的平移与旋转单元检测培优卷一、选择题（本大题共8小题,每小题3分,共24分,每小题有四个选项,其中只有一个是正确的）1．下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是（）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（）A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小B．平移和旋转的共同点是改变了图形的位置，而图形的形状大小没有变化C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行3．如图，点A，B的坐标分别为3,1，B5,4，若将线段AB平移至A1BA．8 B．4 C．−4 D．64．在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A⋯长方形边线循环爬行，其中A点坐标为1,−1，B点坐标为−1,−1，C点坐标为−1,3，当蚂蚁爬了2025A．−1,2 B．1,3 C．−1,−1 D．5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-3，2)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段A．(2，3) B．(3，2) C．(-2，-3) D．(-3，-2)6．如图，在等边△ABC中，AB=4，点D是BC边上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，点F是AC边的中点，连接CE、EF，则EF的最小值是（）A．1 B．32 C．3 7．如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，第1次操作：取AC的中点O1，将O1B绕点O1分别逆时针旋转120°和180°，得到线段O1C1和O1A1；第2次操作：取A1C1的中点O2，将O2O1绕点O2分别逆时针旋转120°和180°，得到线段A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向8．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为3,0，点P1,2在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转2024次后，点PA．6070,2 B．6072,2 C．6073,2 D．6074,1二、填空题（本大题共5小题,每小题3分,共15分）9．观察下列图象，与图A中的三角形相比，图B、图C、图D的三角形都发生了一些变化，若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为：，，．10．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=。​​11．两块相同的直角三角尺ABC和AED(∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠E=30°)按如图摆放，顶点B，A，D在直线l上。现将三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转得到三角尺AB'C'，当三角尺AB'C'的边AC'与AE重合时停止旋转，则在旋转过程中∠C'AE与∠B'AD满足数量关系是.12．如图，AB=4cm，BC=5cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平移acm0<a<5，得到△DEF，连接13．如图，四边形ABCD为正方形，AB=6，E为BC延长线上一点，以DE为边向左侧作等边三角形DEF，连接CF，当CF取最小值时，CE的长为.三、解答题（共7题；共61分)14．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影：（请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形．（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形．15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A2,4、B1,5、C1,2（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B（2）画出△A1B1C1关于直线（3）△A2B16．在2025年春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，身着花袄、手持花绢，踏着节奏明快的舞步，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器秧歌”.这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合.如图，它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，三个机器人A、B、C构成△ABC演中，其初始位置坐标分别为A（1，4），B（3，1），C（4，4），另外三个机器人D、E、F的初始位置构成的△DEF与△ABC关于点M（5，5）成中心对称.（1）在图中画出△DEF；（2）为了完成队形变换，机器人A、B、C同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A1（3）队形继续进行变换，△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到17．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，若点Q的坐标为(ax+y,x+ay)，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a（1）若点P的坐标为(−1,5（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为(−9,3（3）若点P(c+1,2c−1)先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1．点P118．李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含30°的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．已知：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠ADE=90°，AC=AE=2，∠B=∠D=30°．【初识图形】如图2，在△ADE绕点A旋转过程中，当点E恰好落在△ABC的边AB上时，连接CE、BD．则CE长为___________，BD长为___________．【深度探析】如图3，在△ADE绕点A旋转过程中，当AD∥BC时，连接BD、CE，延长CE交BD于点F．（1）∠BCF的度数为___________，∠DEF的度数为___________；（2）求证：点F为线段BD的中点．【拓展探究】在△ADE绕点A旋转过程中，试探究B、D、E二点能否构成以DE为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由．19．在平面直角坐标系xOy中，已知点M(n,n)，A(n−1,n)，B(n−2,n−1)，C(n+1,n)，D(n+2,n−1)，连接AB，CD，将线段AB，CD所组成的图形称之为“M−八字形”．我们给出如下的定义：点P(x,y)先关于AB与CD所在直线分别对称得到点P1'，P2'，再将P1'，P2'向右(n≥0)或向左(n<0)平移|n|个单位，再向上（1）当n=0时，

①已知点P(0,−2)，则点P关于“M−八字形”的“八中变换点”坐标为．

②已知E(a,−1)，F(a+2,−1)，若点P为线段EF上一动点，设图形N为所有P关于“M−八字形”的“八中变换点”，若y=1与图形（2）若点P在以(n−1,n−1)，(n,n−1)，(n,n−2)，(n−1,n−2)为顶点的正方形上运动，且x=−1上存在点20．旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”.【问题解决】如图1，P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB.（1）则点P与P'之间的距离为PP'=，∠APB=°(直接写出答案)（2）在(1)的条件下，小明同学在求AB2时思路如下：如图2，过点B作BH⊥AP，交AP延长线于H，请你根据他的思路，计算A（3）【类比探究】如图3，点P是正方形ABCD内一点，PA=1,PB=2,PC=3.求∠APB的度数?请写出完整过程；S（4）【学以致用】如图4，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至△BP'A'，连接PP'、A'C，记A'C与AB交于点D，可知BA'=BA=BC，∠A'BC=∠A请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值为(直接写出答案)

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A、C、D是通过旋转得到；B是通过平移得到．故选B．【分析】根据平移的性质对各选项进行判断即可．2．【答案】B【解析】【解答】解：A、平移不改变图形的形状和大小，而旋转同样不改变图形的形状和大小，故A错误；B、平移和旋转的共同点是改变图形的位置，而图形的形状大小没有变化，故B正确；C、图形可以向某方向平移一定距离，而旋转是围绕中心做圆周运动，故C错误；D、在平移和旋转图形中，对应角相等，平移中对应线段相等且平行，旋转图形对应线段相等但不一定平行，故D错误．故选：B．【分析】根据平移和旋转的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．3．【答案】B【解析】【解答】解：∵点A，B的坐标分别为3,1，B5,4，若将线段AB平移至A∴线段AB先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到线段A1∴a=4+2=6，b=3−1=2，∴a−b=6−2=4．故答案为：B．【分析】在平面直角坐标系中，图形的平移变换等价于图形上任意一点的平移变换。平移过程中点的坐标变化遵循以下规律：横坐标向右平移增加，向左平移减少；纵坐标向上平移增加，向下平移减少。根据题意，线段AB首先沿y轴正方向平移2个单位长度，接着沿x轴负方向平移1个单位长度，最终得到线段A1B1。通过这一平移过程可确定参数a和b4．【答案】D【解析】【解答】解：∵A(1，-1)，B(-1，-1)，C(-1，3)，

∴AB=1−−1=2；BC=3−−1=4，

∴蚂蚁爬行一圈的路程：即长方形ABCD周长C=(AB+BC)×2=(2+4)×2=12（单位），

∵2025÷12=168....9，

∴蚂蚁爬了168圈后又爬了9个单位。

∵A到B为2个单位，B到C为4个单位，C到D为2个单位，2+4+2=8（单位），

∴再向下爬1个单位，此时位置坐标为(1，2)。

故选：D5．【答案】A【解析】【解答】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，过点A'作A'C⊥x轴，垂足为C

∴∠ABO=∠OCA'=90°，

∴∠BAO+∠AOB=90°，

∵点A的坐标为(-3，2)，

∴OB=3，AB=2，

由旋转得OA=OA'，∠AOA'=90°，

∴∠AOB+∠A'OC=180°-∠AOA'=90°，

∴∠BAO=∠A'OC，

∴△ABO≌△OCA'(AAS)，

∴OC=AB=2，A'C=OB=3，

∴点A'的坐标为(2，3)故答案为：A.【分析】根据点的坐标与旋转的性质可求OB，AB，∠AOA'，结合全等三角形的判定与性质即可求解。6．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=4，∠B=∠BAC=60°，由旋转的性质可知，AD=AE，∠DAE=60°，∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=60°−∠CAD=∠DAE−∠CAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACESAS∴∠ACE=∠B=60°，即点E在以点C为顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动，如图，过点F作FG⊥CE于点G，当点E在点G处时，EF取得最小值，即为FG的长，∵点F是AC边的中点，∴CF=2，在Rt△CGF中，∠ACE=60°∴∠CFG=30°，∴CG=∴FG=C即EF的最小值是3，故选：C．【分析】根据等边三角形性质可得AB=AC=4，∠B=∠BAC=60°，再根据旋转性质可得AD=AE，∠DAE=60°，根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACESAS，则∠ACE=∠B=60°，即点E在以点C为顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动，过点F作FG⊥CE于点G，当点E在点G处时，EF取得最小值，即为FG7．【答案】D【解析】【解答】解：将O1B绕点O1分别逆时针旋转120°和180°，得到线段O则O1C1∴△C同理，∴△C∵将O1B绕点O1∴∠BO∵△C1O1A∴∠C∴∠BO同理∠O则∠A∵360°30°∴每转到12次后O12nO12n+130÷12=2⋯6，∴第30次操作后，O30O31又∵△C∴C此时点C30在点A故答案为：D．

【分析】先证出△CnOnAn皆为等边三角形，再求出∠O1O2O3=∠O2O3O48．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：∵点A3,0，点P∴OC=1,PC=2,OA=3，

∴AC=OA−OC=2，由旋转的性质可得AD=AC=2,DP1=PC=2，

∴点P1的横坐标为：xP∴第一次P1如图所示：∵P∴P1E=2,EF=OF−OE=6−5=1，

由旋转的性质可得：FG=FE=1,GP2=EP1=2，

∴∴第二次P2如图所示：∵P∴P2H=1,HI=OI−OH=9−8=1，

则由旋转的性质可得JI=HI=1,JP3=HP2=1，

∴∴第三次P3如图所示：∵P∴P3K=1,KL=OL−OK=12−10=2，

则由旋转性质可得ML=KL=2,MP4=KP3=1，

∴∴第四次P4…数形结合，发现点P的位置4次一个循环，

∴P4n∵2024÷4=506，∴P2024的纵坐标与P4相同为2，横坐标为∴P2024故答案为：C．【分析】本题考查图形与坐标规律，读懂题意，数形结合，找到坐标规律是解决问题的关键．根据题意，连接右下角x轴上的点与P，如图所示，由旋转性质：旋转前后的两个图形是全等的，即旋转前后两个图形对应边相等，根据旋转的性质，逐步求出各个位置时点P的坐标，找到循环规律即可得到答案．9．【答案】（a，b﹣1）；（a，﹣b）；（12【解析】【解答】解：若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为：（a，b﹣1），（a，﹣b），（12故答案为：（a，b﹣1），（a，﹣b），（12【分析】根据图形的大小没变，图形向下平移了1个单位，图形向下翻折，图形的横坐标变为原来的一半，可得答案．10．【答案】30°【解析】【解答】解：∵CC'∥AB

∴∠ACC'=∠CAB=75°

由旋转可知△ABC≌△AB'C'

∴∠B'AC'=∠CAB=75°，AC=AC'

∴∠CAC'=∠BAB'，∠AC'C=∠ACC'=∠CAB=75°

∴∠CAC'=180°-∠AC'C-∠ACC'=30°

∴∠BAB'=∠CAC'=30°.

【分析】先利用平行线的性质得∠ACC'=∠CAB=75°；然后利用旋转的性质可知△ABC≌△A'B'C，利用全等三角形的性质可得∠B'AC'=∠CAB=75°，AC=AC'，进而得∠CAC'=∠BAB'，∠AC'C=∠ACC'=∠CAB=75°；再在△ACC'中利用三角形内角和定理求出∠CAC'即可得解。11．【答案】∠【解析】【解答】解：设旋转角为α，根据题意，得∠B又∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠E=30°，故∠EAD=∠ACB=60°，故∠EAD+∠BAC=90°，故∠CAE=90°，故∠C故∠B故答案为：∠B【分析】设旋转角为α，根据题意，得∠B'AD=180°−α，∠CAE=90°12．【答案】11【解析】【解答】解：由平移的性质可知：DE=AB=4cm,BE=AD=acm,则EC=BC−BE=∴阴影部分的周长为：4+2+a+5−a=11cm故答案为：11．

【分析】利用平移的性质可得DE=AB=4cm,BE=AD=acm,再利用线段的和差求出EC的长，最后求出阴影部分的周长即可.13．【答案】33【解析】【解答】解：如图，将DC逆时针旋转60°得到DG，作直线GF交BC于点M，

则∠CDG=60°，DC=DG，

∵△DFE为等边三角形，

∴DF=DE，∠EDF=60°

∴∠GDF=∠CDE

∴△DCE≌△DGF(SAS)

∴∠G=∠DCE=90°

在四边形DCMG中，∠GMC=360°-60°-90°-90°=120°

∴点F在直线GM上运动，

当CF⊥GM时，CF最小，如图，

在Rt△DPG中，∠PDG=30°，DG=6.

∴PG=12DG=3·DP=33

∴GQ=PQ-PG=3

在Rt△GQM中，∠GMQ=60°

∴QM=3·GM=2QM=23

∴CM=CQ−QM=23

在Rt△CMF中，∠CMF=60°

∴MF=12CM=3

∴14．【答案】（1）解：组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示；（2）解：组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示.【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可；（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可.15．【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1（2）解：如图所示，△A2B2C2（3）解：△A2B2C2能由△ABC绕点0,0逆时针旋转90°得到，如图

【解析】【分析】本题考查坐标与图形的轴对称变换和旋转变换，解题需依据轴对称和旋转的性质确定对应点坐标。

(1)关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此将A(2,4)、B(1,5)、C(1,2)的横坐标取反，得到A1(−2,4)、B1(−1,5)、C1(−1,2)，顺次连接可得ΔA1B1C1（1）解：如图所示，△A1B1C1（2）解：如图所示，△A2B2C2（3）解：△A2B2C2能由∴旋转中心的坐标为0,0，旋转角度为90°16．【答案】（1）解：△DEF如图所示：

（2）解：△A1B（3）（5，3）【解析】【解答】解：（3）∵△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C217．【答案】（1）(（2）解：设点P的坐标为（a，b），

由题意得：5a+b=−9a+5b=3，解得a=−2b=1，

（3）解：由题意，P1（c-1，2c），

∴P1的“-4阶派生点”P2为（-4（c-1）+2c，c-1-8c），即（-2c+4，-7c-1），

∵P2在坐标轴上，

∴-2c+4=0或-7c-1=0，

∴c=2或c=−17，

∴P2（0，-15）或（【解析】【解答】解：（1）3×（-1）+5=2；-1=3×5=14.

∴点P的坐标为（-1，5），则它的“三阶派生点”的坐标为（2，14）；

故答案为：（2，14）；

【分析】（1）根据“派生点”的定义并结合点的坐标可求解；

（2）根据“派生点”的定义并结合点的坐标可求解；

（3）根据“派生点”的定义并结合点P2的坐标所在的位置可得关于c的方程，解方程即可求解.18．【答案】初识图形：2，4，深度探析：（1）15°，15°；（2）证明：延长CF、AD相交于点H，如图所示：∵AH∥BC，∠BCF=15°，∴∠DHF=∠BCF=15°，∵∠DEF=15°，∴∠DEF=∠DHF，∴DH=DE，∵DE=BC，∴DH=BC，∵∠DFH=∠BFC，∴△DFH≌△BFC，∴DF=BF，∴点F为线段BD的中点．拓展探究：BE=2或BE=6或BE=2【解析】【解答】解：初识图形：连接BD，CE，如图所示：∵在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠ADE=90°，AC=AE=2，∠ABC=∠ADE=30°．∴AB=2AC=4，AD=2AE=2×2=4，∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=180°−90°−30°=60°，∴BC=DE=A∴BE=AB−AE=4−2=2，∴BD=B∵AC=AE=2，∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴CE=AE=2，故答案为：2，4，深度探析：（1）∵AD∥BC，∠ABC=30°，∴∠DAB=∠ABC=30°，∵∠DAE=60°，∴∠BAE=∠DAE−∠DAB=60°−30°=30°，∵∠BAC=60°，∴∠EAC=∠BAC−∠BAE=60°−30°=30°，∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE=180°−∠EAC∵∠ACB=90°=∠AED，∴∠BCF=∠ACB−∠ACE=90°−75°=15°，∠DEF=180°−∠AEC−∠AED=180°−75°−90°=15°，故答案为：15°，15°；拓展探究：由初识图形，图2可知，∠BED=90°时，BE=2，在△ADE绕点A旋转过程中，当点E恰好落在△ABC的边BA的延长线上时，连接CD、BD，如图所示：由题意可知，∠BED=90°，∵AB=4，AE=2，此时BE=BA+AE=4+2=6；在△ADE绕点A逆时针60°时，AD落在△ABC的边AC的延长线上时，连接BE、BD，如图所示：∵∠BAC=60°，AB=AD=4∴△ABD为等边三角形，∴∠BDC=60°，BD=AB=4，∵∠ADE=30°∴∠BDE=∠BDC+∠ADE=60°+30°=90°∵DE=2∴BE=综上，BE=2或BE=6或BE=27【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解题需结合旋转特点和图形性质逐步推导。初识图形：在RtΔABC中，AC=2，∠B=30°，故AB=2AC=4；因点E在AB上，AE=2，故AE=AC，且∠BAC=60°，ΔAEC为等边三角形，所以CE=AE=2；BE=AB−AE=2，在RtΔBDE中，深度探析(1)因AD∥BC，∠B=30°，故∠DAB=30°；又∠DAE=60°，故∠BAE=30°，∠EAC=∠BAC−∠BAE=30°；因AE=AC，故∠ACE=180°−30°2=75°，则∠BCF=90°−75°=15°；∠AED=90°，故拓展探究：分三种情况，①当∠BED=90°时，由初识图形可知BE=2；②当点E在BA延长线上时，BE=AB+AE=4+2=6；③当AD在AC延长线上时，ΔABD为等边三角形，BD=4，∠BDE=90°，DE=23，由勾股定理得BE=19．【答案】（1）(−3,1)，(3（2）-2≤n≤−32或【解析】【解答】解：（1）①n=0时，则A(-1，0)，B(-2，-1)，C(1，0)，D(2，-1)

如图，

点P(0，-2)关于AB所在直线对称点P1'（-3，1)

点P(0，-2)关于CD所在直线对称点P2'(3，1)；

故答案为：(-3，1)，(3，1)

②如图，

点E(a，-1)关于AB所在直线对称点为(-2，a+1)

点F(a+2，-1)关于AB所在直线对称点为(-2，a+3)

同理点E关于CD所在直线对称点为(2，1-a)

点F关于CD所在直线对称点为(2，-1-a)，

要使得y=1与图形N有两个交点，则

a+1≤1≤a+3−1−a≤1≤1−a

解得-2≤a≤0

故答案为：-2≤a≤0

（2）(n-1，n-2)分别关于AB所在直线与CD所在直线对称

能得到端点分别为（n-2，n)，(n-3，n)，(n-3，n+1)，(n-2，n+1)的正方形

以及端点分别为(n+2，n+1)，(n+2，n+2)，(n+3，n+2)，(n+3，n+1)的正方形

分别将该正方形向右(n≥0)或向左(n<0)平移|n|个单位

再向上(n≥0)或向下n<0平移|n|个单位，

得到端点为（2n-2，2n)，（2n-3，2n)，(2n-3，2n+1)，(2n-2，2n+1)的正方形

以及端点分别为（2n+2，2n+1)，(2n+2，2n+2)，(2n+3，2n+2)，(2n+3，2n+1)的正方形.

若x=-1上存在点P关于“M-八字形”的“八中变换点”，则2n-3≤-1≤2n-2或2n+1≤2n

解得：12≤n≤1或−2≤n≤−32

∴n的取值范围为-2≤n≤−32或12≤n≤1

故答案为：-2≤n≤