北师大版数学八年级下册第五单元分式与分式方程单元检测培优卷

北师大版数学八年级下册第五单元分式与分式方程单元检测培优卷一、选择题（每题3分，共24分）1．代数式1−1A．3 B．2 C．1 D．02．关于x的分式方程2xx−3=mx+3A．3 B．2 C．－3 D．－23．粤港澳大湾区拥有密集的交通网络，如港珠澳大桥、深中通道、虎门大桥等.一辆跨境货车从珠海前往香港，通过港珠澳大桥（全长约55公里），若货车的平均速度提高10km/h，则通行时间可减少0.1小时.设货车原来的平均速度为xkm/h，则可列方程为（）A．55x−10+55C．55x+554．已知正实数a，b，c满足x=a2b+3c，y=2b3c+a，A．1 B．32 C．2 5．已知y1＝1x−1，且y2＝11−y1，y3＝11−y2，y4＝11−yA．1x−1 B．2﹣x C．x−1x−2 6．下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（）姓名：李明班级：八(2)班得分：____判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”.①代数式a3，x+y②当y≠2时，分式yy−2③若分式|x|−3④式子xy⑤分式a2A．40 B．60 C．80 D．1007．若x2−x−2=0，则A．1 B．13 C．233 D．8．已知关于x的分式方程mx(x−2)(x−6)+2x−2=3x−6A．1 B．2 C．4 D．8二、填空题（每题3分，共15分）9．若ab=32，则10．若分式|x|−3x−3的值为0，则x=11．已知1p−1q=212．将分式1x和1x+1分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算M+N，结果记为M1，再计算M−N，结果记为N1；第二步，先计算M1+N1，结果记为M2，再计算M1−N1，结果记为N2；第三步，先计算M2+13．如果关于x的分式方程xx−2+m+12−x=2有非负整数解，一次函数y=(m+4)x+m−3三、解答题（共7题，共61分）14．先化简，再求值：x2−4x+4x+1÷(315．嘉淇准备完成题目：解分式方程：xx−3=2−◆（1）他把“◆”猜成5，请你解方程：xx−3（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？16．已知a2+b17．已知a>0，b>0，且a+b=2，求a218．下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题.题目，某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同，问甲、乙两种图书的单价各是多少元？方法分析问题列出方程解法一设.……，等量关系：甲图书数量=乙图书数量2000解法二设……，等量关系：甲图书单价-乙图书单价=202000（1）解法一所列方程中的x表示，解法二所列方程中的x表示.（填序号）①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量，（2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价。（3）若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本且进行销售，甲种图书的售价为65元一本，乙种图书的售价为40元一本，那么甲乙两种图书各购进多少本时获利最多？最大利润是多少元?19．【阅读材料】对于两个不等的非零实数a，b，若关于x的分式(x−a)(x−b)x的值为零，则解得x1=a，x2=b．又因为x−ax−bx=x2−a+bx+abx=x+（1）【理解应用】方程x+1x=3+13（2）【知识迁移】若方程x+5x=9的解为x1=a（3）【拓展提升】若关于x的方程x2+7x=k的解为x120．项目学习方案：项目情景元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务．素材一采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍．任务一小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为x，由题意得方程：①；小组成员乙设②，由题意得方程：2×320素材二插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成9−m盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同．任务二求m的值素材三摆放盆栽时，设计小组成员丁为使校园更加美丽，计划利用已经插好的480盆小盆栽和360盆大盆栽搭配C，D两种园艺造型，共30个，已知搭配一个C造型需小盆栽12盆，大盆栽15盆，搭配一个D造型需小盆栽18盆，大盆栽10盆．任务三求符合题意的搭配方案有几种？请你设计出来；（1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______．（2）完成任务二．（3）完成任务三．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：1−==m−1m+1，

∵m+1≠0，且m≠0，即m≠-1且m≠0.

A、当m−1m+1=3时，m−1=3m+1，解得：m=−2，成立，故选项A不符合题意；

B、当m−1m+1=2时，m−1=2m+1，解得：m=−3，成立，故选项B不符合题意；

C、当m−1m+1=1时，综上，代数式的值一定不为1.故答案为：C.【分析】将代数式化简得到m−1m+12．【答案】C【解析】【解答】解：2xx−3=mx+33−x，

∵关于x的分式方程2xx−3=mx+33−x无解，

当x=3时，原方程无解。

把原方程去分母，得：2x=-mx-3，

移向，合并同类项，得：（m+2）x=-3

3．【答案】D【解析】【解答】解：设货车原来的平均速度为xkm/h，

由题意可得：55故答案为：D【分析】设货车原来的平均速度为xkm/h，根据题意建立方程即可求出答案.4．【答案】A【解析】【解答】解：∵x=a2b+3c，y=2b3c+a，z=3ca+2b

∴1x=2b+3ca，1y=3c+a2b，1z=a+2b3c

∴1x+1=2b+3c故答案为：A【分析】先取倒数，再等号两边加1，化简，再取倒数，再整体代入代数式即可求出答案.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵y1=1x−1，

∴y2=11−y1=11−1x−1＝x−1x−2，

y3=11−y2=11−x−1x−2＝2−x，

y4=11−y3=11−2−x＝1x−1=y1，

y5=11−y4＝11−y1＝y2，

y6=11−y5＝16．【答案】B【解析】【解答】解：①代数式a3不是分式，答对

②当y≠2时，分式yy−2有意义，答对

③若分式|x|−3x−3的值为0，则|x|-3=0，且x-3≠0，解得：x=-3，答错

④式子xy=x+1故答案为：B【分析】根据分式的定义，分式值为0及有意义的条件，分式的性质，最简分式的性质逐项进行判断即可求出答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵x2∴x2∴x=====2故答案为：C．【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟知分式的化简方法是解题关键.根据已知条件得到x2−x=2，再将x2−x=2整体代入所求式子中计算，再计算到8．【答案】B【解析】【解答】解：分式方程去分母得：mx+2(整理得：(m−1分式方程无解的情况有两种，情况一：整式方程无解时，即m−1=0时，方程无解，∴m=1；情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，①当x=2时，代入(m−1)解得：得m=4．②当x=6时，代入(m−1)x−6=0解得：得m=2．综合两种情况得，当m=4或m=2或m=1，分式方程无解；解不等式m−y>4y−4≤3得：y<m−4根据题意该不等式有且只有三个偶数解，∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4，∴−4<m−4≤−2，∴0<m≤2，综上所述当m=2或m=1时符合题目中所有要求，∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．故答案为：B．【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，据此求解。9．【答案】5【解析】【解答】解：∵ab∴设a=3k，b=2k，将a=3k，b=2k代入a+bb，得a+b故答案为：52【分析】由已知条件可设a=3k，b=2k，然后代入a+bb10．【答案】【解析】【解答】∵分式|x|−3x−3∴|x|−3=0x−3≠0，

解得x=-3．

【分析】根据分式值为0的条件：分母不等于0，且分子为0，建立方程和不等式求解即可。11．【答案】7【解析】【解答】解：∵1pq−ppq=2，即2pq=q−p3p−pq−3q2p+pq−2q====7故答案为：73．

【分析】根据等式变形可得2pq=q−p12．【答案】4x【解析】【解答】解：M1=M+N，N1=M−N，

M2=M1M4=M3+N3=4M，N4=M3−N4=4N，

由此总结规律，当n为偶数时，有Mn=2【分析】依照步骤操作，得到规律：当n为偶数时，有Mn13．【答案】-4【解析】【解答】解：

∵y=(m+4)x+m−3的图象过一、三、四象限，

∴m+4>0m−3<0,

∴-4<m<3.

解xx−2+m+12−x=2，

去分母，得x-(m+1)=2(x-2)，

解得x=3-m.

∵原分式方程有非负整数解，

∴x=3-m≠2，即m≠1，

综上所述，-4<m<3且m≠1，

∴m=-3时，x=3-(-3)=6，符合题意；

m=-2时，x=3-(-2)=5，符合题意；

m=-1时，x=3-(-1)=4，符合题意；

m=0时，x=3-0=3，符合题意；，

m=2时，x=3-2=1，符合题意.

∴14．【答案】解：原式=x−22x+1÷3+1−xx+1x+1

=x−2【解析】【分析】先对原式进行化简，包括处理括号内的分式加法、将除法转化为乘法、因式分解和约分，再根据分式有意义的条件选择合适的x值代入求值.15．【答案】（1）解：方程整理得：xx−3去分母得：x=2x−3解得：x=1，检验：把x=1代入得：x−3≠0，∴分式方程的解为x=1．（2）解：设原题中“◆”是a，方程变形得：xx−3=2+ax−3，

去分母得：x=2x−3+a，

由分式方程无解，得到x=3，

把x=3代入整式方程得：a=3．【解析】【分析】（1）去分母，化分式方程为整式方程，再解整式方程，并进行检验即可得出方程的解；

（2）设原题中“◆”是a，化分式方程为整式方程，根据分式方程无解，可得出x=3，把x=3代入原方程，即可求得a=3.（1）解：方程整理得：xx−3去分母得：x=2x−3解得：x=1，检验：把x=1代入得：x−3≠0，∴分式方程的解为x=1．（2）解：设原题中“◆”是a，方程变形得：xx−3去分母得：x=2x−3由分式方程无解，得到x=3，把x=3代入整式方程得：a=3．答：原题中“◆”是3．16．【答案】解：∵a1b+1c+b∴a+b+c=0或1a+1b+则ab+bc+ca=0，

∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1∴a+b+c=±1综上所述，a+b+c=0或±1.【解析】【分析】由题意可得a+b+c1a+1b+117．【答案】解：设a=1+t，b=1−t，1<t<1，则a2令m=t+1∈(则t+1t当且仅当m=2所以a2当且仅当a=2【解析】【分析】可以通过将b用2-a表示，转化为单变量函数求极值问题，再利用导数法确定最大值的位置.18．【答案】（1）①；③（2）解：解法一：2000x方程两边同乘x(x-20)，得2000(x-20)=1200x解得x=50，·经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，··∴x-20=50-20=30，答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元：解法二：2000x方程两边同乘x，得2000-1200=20x，解得x=40，经检验：x=40是原方程的解，且符合题意，∴2000x=50答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元；（3）解：设甲种图书购买的数量为m本，则乙种图书购买的数量为(60-m)本，根据题意得50m+30(60-m)≤2500，解得m≤35设总获利为w元，则w=(65-50)m+(40-30)(60-m)=5m+600∵5>0，∴w随m的增大而增大，∴当m=35时，w最大为775元，此时60-m=25，答：购买甲种图书种35本，购买乙种图书25本时，最大利润为775元.·【解析】【分析】（1）根据等量关系中代数式的含义即可求出答案.

（2）解分式方程即可求出答案.

（3）设甲种图书购买的数量为m本，则乙种图书购买的数量为(60-m)本，根据题意建立不等式，解不等式可得m≤35，设总获利为w元，求出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.19．【答案】（1）3，1（2）解：∵方程x+5x=9的解为x∴a+b=9，ab=5，∴a（3）解：∵关于x的方程x2+7x=k的解为∴x+7x=k的解为x∴t+1+t+2=k，t+1t+2∴2t=k−3，t2∴k−3整理得：k将2t=k−3代入k2k2∴【解析】【解答】（1）解：∵x+abx−a+b=0∴x+1x=3+13，即x+故答案为：3，13【分析】（1）根据题意即可求出答案.

（2）根据题意可得∴a+b=9，ab=5，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.

（3）由题意可得∴x+7x=k的解为x1=t+1，x2=t+2，则由方程的解得到2t=k−3，t2+3t=5（1）解：∵x+abx−a+b=0∴x+1x=3+13，即x+故答案为：3，13（2）∵方程x+5x=9的解为x∴a+b=9，ab=5，∴a（3）∵关于x的方程x2+7x=k的解为∴x+7x=k的解为x∴t+1+t+2=k，t+1t+2∴2t=k−3，t2∴k−3整理得：k将2t=k−3代入k2k2∴20．【答案】（1）800320x+5=2×320（2）解：∵单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成9−m盆大盆栽的插花任务，∴完成小盆栽的插花任务的效率为1m，完成大盆栽的插花任务的效率为1∵完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，∴35×1 m=10×经检验，m=7是原分式方程的解，∴m=7．（3）解：设搭配一个C造型需要n个，则D造型需要30−n个由题意得，12n+18(30−n)≤480解得：10≤n≤12，故方案有三种：①搭配C造型为10棵小盆栽，则搭配D造型为20棵大盆栽，②搭配C造型为11棵小盆栽，则搭配D造型为19棵大盆栽，③搭配C造型为12棵小盆栽，则搭配D造型为18棵大盆栽；【解析】【解答】解：（1）设用320元购买的A种花卉的数量为x，则每枝A种花卉单价为320x元，每枝B种花卉单价为320根据题意得800320∵2×320∴320y表示用320元购买的800y+5表示用800元购买的B即小组成员乙设每枝A种花