2026年全国卷高考数学实验设计卷含解析

2026年全国卷高考数学实验设计卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.某工厂生产某种产品，其成本y（单位：元）与产量x（单位：件）之间的关系近似满足函数f(x)=200+2x+0.01x²。为降低成本，工厂计划通过技术改造使得新的成本函数g(x)满足g'(x)<f'(x)对所有x∈[100,200]恒成立。下列函数中，可能满足要求的是（）。A.g(x)=180+1.5x+0.01x²B.g(x)=190+2x+0.015x²C.g(x)=200+1.8x+0.008x²D.g(x)=210+2x+0.01x²2.在进行一项关于植物生长规律的研究中，研究人员收集了某植物从播种到成熟期间，每周的净增长量（单位：厘米）数据。为分析数据趋势，研究人员绘制了该数据的散点图，并观察到数据点大致分布在一条直线附近。若采用线性回归模型y=a+bx来拟合这些数据，则回归系数b的值最有可能为正值还是负值？（）A.正值B.负值C.零D.无法确定3.某城市为了缓解交通拥堵，计划修建一条新的地铁线路。该线路涉及多个站点的选址和路线规划。在规划过程中，需要考虑站点间的距离、乘客流量以及路线的合理性。以下数学工具或方法中，最适合用于该地铁线路的初步路径规划的是（）。A.函数求导B.矩阵运算C.数列求和D.最短路径算法4.已知函数h(x)=|x-1|+|x+2|，|x-1|表示数轴上的点x与点1的距离，|x+2|表示数轴上的点x与点-2的距离。函数h(x)的最小值等于（）。A.1B.2C.3D.45.某农场主计划在一片矩形土地上种植两种作物。为评估不同种植比例对产量的影响，农场主进行了多次实验，记录了每种作物单位面积产量及总产量数据。在分析这些数据时，农场主最有可能采用哪种统计量来衡量两种作物产量的相关性？（）A.方差B.标准差C.均值D.相关系数6.一个袋中装有若干个只有颜色不同的球，其中红球不少于5个。现从中随机抽取3个球，至少有2个红球的概率为1/2。为确定袋中红球的具体数量，小明设计了如下实验：每次从袋中随机抽取1个球，记录颜色后放回，重复抽取50次，统计红球出现的次数。关于该实验设计，下列说法正确的是（）。A.该实验能直接确定袋中红球的数量B.实验次数较少，可能无法准确估计红球的比例C.该实验设计无需考虑抽球是否放回D.实验结果只能估计红球的概率，不能估计数量7.在设计一个模拟掷骰子的实验时，小华使用了一个转盘，转盘被均匀分成了六个扇形区域，分别标有数字1到6。小华认为这个转盘可以很好地模拟掷骰子的结果。下列关于该实验设计的评价中，正确的是（）。A.该实验设计完美无缺，完全等同于掷骰子B.转盘模拟存在误差，因为数字分布是离散的，而骰子面是连续的C.只要转盘制作均匀，该实验设计是合理的模拟方法D.该实验无法模拟掷骰子出现的特定序列概率8.设集合A={x|x²-4x+3≤0},B={x|ax=1}。若A∪B=A，则实数a的取值范围是（）。A.a=1或a=0B.a≠1C.a=1或a≠0D.a∈R二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。）9.为了研究某种细菌在理想环境下的繁殖速度，研究人员记录了细菌数量N（个）随时间t（小时）的变化情况，发现近似满足指数增长模型N(t)=N₀e^(kt)，其中N₀=1000。经过12小时，细菌数量变为8000。则该细菌的繁殖增长率k≈（结果保留两位小数）。10.某公司生产一种产品，其成本函数为C(x)=5000+10x+0.01x²（元），收入函数为R(x)=20x-0.02x²（元），其中x为产品数量。当生产并销售多少件产品时，该公司可获得最大利润？最大利润为多少元？（写出计算过程的关键步骤）11.在一个密闭容器中进行化学反应，测得反应物A的浓度C（mol/L）随时间t（分钟）的变化数据如下：t=0,C=1.0;t=10,C=0.8;t=20,C=0.64;t=30,C=0.512。请根据数据，建立浓度C关于时间t的数学模型（只需写出你认为最合适的模型类型，如指数函数、对数函数等，并说明理由）。12.某城市交通管理部门为了研究早晚高峰时段主干道的车流量，在固定路段连续三天，每天选择早晚各一个时段，每隔相等时间记录通过该路段的车辆数。以下是其中一天早晚两个时段记录的数据（车辆数/分钟）：早：45,50,55,60,58,52；晚：60,65,70,75,72,68。请计算该时段平均车流量（结果取整数）。13.在设计一个调查问卷时，需要了解被调查者对某项政策的支持程度。除了“非常支持”、“支持”、“中立”、“反对”、“非常反对”五个选项外，设计者还增加了一个选项“不清楚”。这种设计方式主要目的是什么？14.已知函数f(x)=x³-3x+p。若存在实数a，使得f(a)=0且f'(a)=0，则实数p的值为多少？三、解答题（本大题共4小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15.（本小题满分16分）某农场主欲用120米长的篱笆围成一个矩形的羊圈，并在其中靠墙一侧开一个宽度为10米的Gates门。农场主希望羊圈的面积尽可能大。（1）若矩形的长边靠墙，求羊圈的最大面积；（2）若矩形的宽边靠墙，求羊圈的最大面积；（3）比较两种情况下羊圈的最大面积，并说明哪种方案更优。16.（本小题满分16分）为了解某城市居民对公共交通的满意度，研究人员设计了包含以下几个问题的调查问卷：问题1：您对目前市内公交车线路的覆盖范围满意吗？（选项：非常满意、满意、一般、不满意、非常不满意）问题2：您认为目前市内公交车的发车频率如何？（选项：非常频繁、频繁、一般、较少、非常少）问题3：您使用公共交通的主要原因是？（多选：方便、经济、环保、其他）问题4：您对改进公共交通有哪些建议？（开放题）请分析该问卷设计中可能存在的问题，并提出改进建议。17.（本小题满分18分）假设一个生态系统中，某种捕食者（如狼）的数量P和被捕食者（如兔子）的数量Q随时间t的变化关系近似满足以下微分方程模型：dP/dt=aP-bPQdQ/dt=-cQ+dPQ其中a,b,c,d为正的常数，a表示兔子数量对狼数量增长的促进效应，b表示狼捕食兔子的效率，c表示兔子自身死亡速率，d表示狼捕食对兔子数量增长的抑制效应。（1）解释上述微分方程中各项的意义；（2）讨论该模型可能存在的平衡点（即P和Q不再随时间变化的点），并分析这些平衡点的生态学意义。18.（本小题满分14分）设计一个简单的算法，用于找出一个不包含重复元素的整数列表L中所有元素的和。要求：（1）描述算法的步骤（可以用自然语言或伪代码描述）；（2）分析该算法的时间复杂度。试卷答案一、选择题1.C2.A3.D4.C5.D6.B7.C8.C二、填空题9.0.2310.生产并销售500件产品时，最大利润为5000元。（关键步骤：利润函数L(x)=R(x)-C(x)=-0.02x³+10x²-5000，L'(x)=-0.06x²+20x，令L'(x)=0得x=0或x=500/3，L''(x)=-0.12x+20，L''(500/3)=20-0.12*(500/3)<0，故x=500/3为最大值点，L(500/3)=-0.02*(500/3)³+10*(500/3)²-5000=5000元）11.模型类型：指数函数C=C₀e^(-kt)。（理由：浓度随时间增长呈现递减趋势，且初始浓度不为零，末态浓度不为负，符合指数衰减特征）12.平均车流量=(45+50+55+60+58+52+60+65+70+75+72+68)/12=660/12=55（辆/分钟）13.允许被调查者表达中立或不确定的态度，提高问卷的有效性和真实性。14.令f(x)=x³-3x+p，则f'(x)=3x²-3。由f(a)=0得a³-3a+p=0；由f'(a)=0得3a²-3=0，即a²=1，a=±1。将a=1代入f(1)=0得1-3+p=0，p=2。将a=-1代入f(-1)=0得-1+3+p=0，p=-2。经验证f(1)=0且f'(1)=0，f(-1)=0但f'(-1)=0。故p=2。三、解答题15.（1）设矩形的长为x米，宽为y米。由题意得x+2y+10=60，即x+2y=50。面积S=xy=x*(25-0.5x)=-0.5x²+25x。S'=-x+25。令S'=0得x=25。此时y=(50-25)/2=12.5。最大面积S=-0.5*25²+25*25=-312.5+625=312.5平方米。（2）设矩形的长为y米，宽为x米。由题意得2x+y+10=60，即2x+y=50。面积S=xy=x*(50-2x)=50x-2x²。S'=50-4x。令S'=0得x=12.5。此时y=50-2*12.5=25。最大面积S=50*12.5-2*12.5²=625-312.5=312.5平方米。（3）两种情况下羊圈的最大面积均为312.5平方米。长边靠墙时，长为25米，宽为12.5米；长边靠墙（此时宽边为25米，长边为12.5米）时，长为12.5米，宽为25米。虽然最大面积相同，但长边靠墙时（长25米，宽12.5米）的羊圈形状更规整，可能更利于羊的活动，因此长边靠墙的方案更优。16.（1）问题1的选项设置过于主观，“非常满意”与“满意”的界限模糊；可以改为李克特量表，如“非常满意（5分）”、“满意（4分）”、“一般（3分）”、“不满意（2分）”、“非常不满意（1分）”，便于量化分析。问题2的选项“非常频繁”、“频繁”、“一般”、“较少”、“非常少”的界限也较主观，且未说明相对于什么标准（如其他城市？需求标准？）。可以改为更具体的描述或量化指标，如“5分钟一班”、“10分钟一班”、“15分钟一班”等，或使用与需求匹配程度的描述。问题3的多选题虽然能反映多方面原因，但难以分析主要原因。可改为单选题，或在多选题后增加“您认为最主要的原因是？”，或者使用排序题。问题4作为开放题，虽然能收集到多样建议，但统计分析困难。可以设计为选择题，列出常见的建议类型供选择，或在开放题后追问“您倾向于通过哪种方式反馈建议？”（2）改进建议：*将部分主观性强的选项改为更客观或量化的描述（如李克特量表、具体频率）。*增加问题间的逻辑关联，例如先问满意度，再问原因，最后问改进建议。*对于多选题，可考虑增加后续分析性问题。*开放题可与选择题结合，既收集广度也便于分析。*明确问卷的目标，确保问题紧密围绕目标设计。*在问卷开头增加指导语，说明问卷目的和填写要求。17.（1）aP表示兔子数量对狼数量增长的促进作用，a越大，兔子促进狼增长越快。-bPQ表示狼捕食对兔子数量的消耗，b越大，狼捕食效率越高，兔子数量下降越快。-cQ表示兔子自身的自然死亡或资源消耗，c越大，兔子自身死亡越快。dPQ表示狼捕食对兔子数量增长的抑制，即狼多了会吃掉更多兔子，使兔子增长减缓，d越大，这种抑制作用越强。（2）令dP/dt=0且dQ/dt=0，得：aP-bPQ=0=>P(a-bQ)=0=>P=0或Q=a/b-cQ+dPQ=0=>Q(-c+dP)=0=>Q=0或P=c/d平衡点可能为(0,0),(c/d,0),(0,a/b),(c/d,a/b)。P=0,Q