2025-2026学年北京市第五十七中学下学期3月阶段性练习九年级数学试题（含答案）

/北京市第五十七中学2025-2026学年下学期3月月考九年级数学试题一、单选题1．一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（

）A． B． C． D．2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解．则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．3．实数在数轴上对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（

）

A． B． C．0 D．14．如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是（

）A． B． C． D．6．如果，那么代数式的值是（

）A． B．1 C． D．27．如图，，切于A，B两点．连接，连接交于点C，若，，则的长为（

）A． B． C．8 D．108．小明近期计划阅读一本总页数不低于300页的名著，他制定的阅读计划如下：星期一二三四五六日页数15201510204030若小明按照计划从星期开始连续阅读，10天后剩下的页数为，则与的图象可能为（

）A．

B．

C．

D．

二、填空题9．若代数式有意义，则实数的取值范围是________．10．分解因式：________．11．如图，正方形，点A在直线l上，点B到直线l的距离为3，点D到直线l的距离为2．则正方形的边长为______．

12．在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的的值________．13．咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱．咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到25%．农科院记录了某批咖啡树种子的发芽情况，结果如下表所示：种子数量1050150300500800发芽数量941133261431689发芽率0.90.820.8870.870.8620.861据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是________（填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”）．14．如图，矩形中，点P在边上，，连接并延长，交的延长线于点E，连接交于点Q．则的值为________．15．如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则______．16．初三年级收到一批书籍放在图书馆，现需要把这批书籍整理到各班班级书架上，需要进行以下四个步骤：运回书籍、擦书架、查损坏、贴标签，志愿者分为甲、乙、丙三个小组完成任务，任务要求如下：①运回书籍只能由甲小组完成，运回书籍完成后，才能进行其他三个步骤，这三个步骤可由任意小组完成并可同时进行．②一个步骤只能由一个小组完成，此步骤完成后该小组才能进行其他步骤．③每个班级每个步骤所需时间如下表所示：步骤运回书籍擦书架查损坏贴标签所需时间/分9764在不考虑其他因素的前提下，若由甲小组单独完成1个班级的整理任务，则需要________分钟；若由甲、乙、丙合作完成4个班级的整理任务，则最少需要________分钟．三、解答题17．计算：．18．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．19．下面是过直线外一点，作已知直线的平行线的两种方法．请选择一种作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成证明．已知：如图，直线l及直线l外一点P．求作：直线，使得．作法：如图，①在直线l上取两点A，B，连接；②分别以点P，点B为圆心，的长为半径画弧，两弧在l上方交于点Q；③作直线．所以直线就是所求作的直线．证明：连接．________，________，四边形是平行四边形（________）（填推理的依据）（________）（填推理的依据）20．为防治污染，保护和改善生态环境，某汽车厂生产新型汽车，汽车尾气排放量要求如下：A类物质排放量不超过，A，B两类物质排放量之和不超过．已知该型号汽车的A类比B两类物质排放量多．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了，A，B两类物质排放量之和为．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合要求，并说明理由．21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，且经过点．（1）求k，b的值；（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围．22．已知：如图，在四边形中，，垂足为M，过点A作，交的延长线于点E．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求的长．23．青少年的健康素质是全民族健康素质的基础．某校为了解学生寒假参加体育锻炼的情况，从七、八、九年级学生中各随机抽取了该年级学生人数的，调查了他们平均每周参加体育锻炼的时长，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息．a．七、八年级学生平均每周参加体育锻炼时长数据的折线图如下：

b．九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长：7，8，8，11，9，7，6，8c．七、八、九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数、中位数、众数：年级平均数中位数众数七年级7．176，10八年级7mn九年级p88根据所给信息，回答下列问题：（1）表中m的值是___________，n的值是___________，p的值是___________；（2）设七、八、九三个年级学生参加体育锻炼时长的方差分别是，，，直接写出，，之间的大小关系___________（用“<”连接）；（3）估计全校九年级所有学生中，共有___________名学生参加体育锻炼的时长不少于9小时．24．如图，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为弧CF的中点，连接BE、FC相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接AB、CE．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的长．25．数学学习小组的同学共同探究体积为圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案，他们想探究容器表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整：（1）建立模型：设该容器的表面积为，底面半径为，高为，则，①，②由①式得，代入②式得．③可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是________．（2）探究函数：根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值：

…11.522.533.544.555.56…

…666454355303277266266274289310336…在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（3）解决问题：根据图表回答，①半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积________．（填“大”或“小”）；②若容器的表面积为，容器底面半径约为________（精确到0.1）．26．在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上．（1）当，时，比较m与n的大小，并说明理由；（2）若对于，都有，求b的取值范围．27．如图，在中，，，为的中点，是线段上的动点（不与点，重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，过点作的平行线交的延长线于点．（1）求证：（2）若为线段的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系并证明．28．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点是弦的“关联点”．（1）已知点．①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是______；②如图2，若点，点C是的弦的“关联点”，直接写出长；（2）已知点，线段是以点D为圆心，以1为半径的的直径，对于线段EF上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围．

答案1．【正确答案】B【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可．【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是故选B．2．【正确答案】D【分析】根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解得到，即可得到．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解，∴，∴．故选D3．【正确答案】A【分析】根据题意可得，从而得到，再由，可得，且，从而得到，即可求解．【详解】解∶根据题意得∶，∵，∴，且，∴，∴的值可以是．故选A4．【正确答案】C【分析】根据轴对称图形的定义及性质求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】解：由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为3条即正三角形的三条高所在的直线．故选C．5．【正确答案】B【分析】首先列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个骰子的点数相同的情况，再根据概率公式求解即可．【详解】列表得：∵共有种等可能的结果，两个骰子向上一面的点数相同的有种情况，∴两个骰子向上一面的点数相同的概率是：．故选B．6．【正确答案】B【分析】先根据分式的加减计算括号内的，再根据分式的乘法以及分式的性质化简，最后将式子的值代入即可求解．【详解】解：，∵，∴原式，故选B．7．【正确答案】C【分析】根据切线的性质可得，证明得到，然后利用等腰三角形的三线合一证得，，从而利用勾股定理可求得，再根据相似三角形的判定与性质证明求解即可．【详解】解：∵，切于A，B两点，∴，∵，，∴，∴，又，∴，，在中，，∵，，∴，∴即，解得：，∴．故选C．8．【正确答案】A【分析】根据题意，分别代入，求得10天后的剩余页数，对比函数图象即可求解．【详解】解：一周的阅读量为：页，当时，则阅读了（页）当时，则阅读了（页）当时，则阅读了（页）当时，则阅读了（页）当时，则阅读了（页）当时，则阅读了（页）当时，则阅读了（页）则剩余的页数，表现在图象上的规律为先升后降，然后再降后升，故选A．9．【正确答案】【分析】根据分式有意义的条件求出的取值范围即可．【详解】解：依题意得：．10．【正确答案】【分析】本题考查了整式的因式分解，因式分解的方法有：提公因式法，运用公式法，分组分解法，十字相乘法．灵活运用因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再运用公式分解即可求解．【详解】解：．11．【正确答案】【分析】过点B作于点E，过点D作于点F，证明，得出，根据勾股定理求出即可．【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示：

则，，，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．12．【正确答案】（答案不唯一）【分析】根据随的增大而增大，可得，进而即可求解．【详解】解：∵点和点在反比例函数的图象上．，，∴随的增大而增大，则函数图象位于第二、四象限，∴，∴（答案不唯一）13．【正确答案】三至五个月【分析】根据频率估计概率，结合题意即可求解．利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】解：根据表格可知，某批咖啡树种子的发芽情况接近∵咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%；∴这批咖啡树种子的保存时间是三至五个月14．【正确答案】【分析】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，先根据求出，再根据矩形的性质求解即可．【详解】解：，，四边形是矩形，，，，，，，，即，，．15．【正确答案】3【分析】本题考查垂径定理、解直角三角形，先利用垂径定理得到，再利用勾股定理求得，然后利用正切定义求解即可．【详解】解：∵，，∴，，又，∴，∴.16．【正确答案】26；43【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意找出最优方案是解题的关键．根据题意列出算式，求出甲小组单独完成1个班级的整理任务，需要的时间即可；按照题目要求让甲完成4个班级运回书籍的工作，同时乙、丙完成另外三项工作，最后1个班级的另外三项工作由甲、乙、丙同时完成，计算出时间即可．【详解】解：甲小组单独完成1个班级的整理任务，需要的时间为：（分钟），合作完成4个班级的任务，最优策略是采用流水线作业；甲小组完成全部4个班级的运回书籍任务耗时分钟；当甲完成第4个班级的运回书籍任务时，三个小组可同时对该班级进行后续三项工作（擦书架、查损坏、贴标签），耗时取决于最长的一项，即7分钟；故最少需要分钟，即甲、乙、丙合作完成4个班级的整理任务，则最少需要43分钟.17．【正确答案】【分析】根据负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解．【详解】解：．18．【正确答案】，数轴表示解析【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键；先按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤求解不等式，再将不等式的解集在数轴上表示出来即可.【详解】解：，去分母，得，去括号，得，移项合并同类项，得，即，不等式的解集在数轴上表示如下：19．【正确答案】见详解；；；两种对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图，平行四边形的性质与判定，先根据题意作图，再证明四边形是平行四边形，即可证明．【详解】解：如图所示，即为所求；证明：连接．∵，四边形是平行四边形（两种对边分别相等的四边形是平行四边形），（平行四边形对边平行）．20．【正确答案】不符合，理由见详解【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键．设该型号汽车技术改进前的类物质排放量为，则该型号汽车的类物质排放量为，列方程求解即可．【详解】解：不符合，理由如下：设该型号汽车技术改进前的类物质排放量为，则该型号汽车的类物质排放量为，∵经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了，A，B两类物质排放量之和为．∴，解得：∴，这次技术改进后该汽车的A类物质排放量不符合“标准”．21．【正确答案】（1），；（2）．【分析】（1）分别列方程即可求出k和b的值；（2）求出两直线交点坐标，数形结合解决问题．【详解】（1）解：∵一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，∴．∵一次函数的图象经过点，∴．∴；（2）解：由（1）一次函数的解析式为，当时，，把点代入，得，解得，∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，∴．22．【正确答案】（1）见详解（2）6【分析】（1）先证明AE∥BD，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）先根据平行四边形的性质和锐角三角函数求得CE的长，再利用勾股定理求出AE的长即可求得BD的长．【详解】（1）解：∵AC⊥BD，AC⊥AE，∴AE∥BD，又AB∥DC，∴四边形ABDE是平行四边形．（2）解：∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD=AE，∠E=∠ABD，∵，∴，则CE=10，在Rt△EAC中，，∴BD=6．23．【正确答案】（1），9，8（2）（3）40【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可；（2）根据各数据的波动大小即可解答；（3）先求得全校九年级的学生总人数，再利用样本估计总体即可求解．【详解】（1）解：八年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据为：4，5，5，6，6，7，9，9，9，10；∴中位数，众数，九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数.（2）解：七年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据波动最大，九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据波动最小，∴；（3）解：全校九年级的学生总人数为（人），（人），答：估计全校九年级所有学生中，共有40名学生参加体育锻炼的时长不少于9小时．24．【正确答案】（1）见详解（2）12【分析】（1）根据AB=AM，可得∠ABM=∠AMB=∠EMC，再由同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠EBC=∠ECM，然后由BC为直径，可得∠EMC+∠ECM=90°，从而得到∠ABM+∠EBC=90°，即可求证；（2）根据tan∠ACB＝，可设AB=5x，则BC=12x，AM=5x，再由△CEM∽△BEC，可得，即可求解．【详解】（1）证明：∵AB=AM，∴∠ABM=∠AMB=∠EMC，∵点E为弧CF的中点，∴∠EBC=∠ECM，∵BC为直径，∴∠BEC=90°，∴∠EMC+∠ECM=90°，∴∠ABM+∠ECM=90°，∴∠ABM+∠EBC=90°，∴∠ABC=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵，可设AB=5x，则BC=12x，AM=5x，∴AC=13x，∴CM=AC-AM=8x，∵∠EBC=∠ECM，∠BEC=∠CEM=90°，∴△CEM∽△BEC，∴，∵BM＝10．∴，∴，，∴，∴EC=12．25．【正确答案】（1）（2）见详解（3）①大；②2.5或5.4【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键．（1）根据分式有意义的条件和实际意义，即可得到自变量x的取值范围；（2）根据描出的点，画出该函数的图象即可；（3）①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当时，，当时，，进而可比较当与时，S值的大小；②根据函数图象求解即可．【详解】（1）解：由可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是.（2）函数的图象如图所示：（3）①由（2）中的表格中数据可知，当时，，当时，，根据函数图象可知，当时，S随x的增大而增大，当时，S随x的增大而减小，时，，时，，半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积大.②根据函数图象可知，当时，或.26．【正确答案】（1），理由见详解（2）【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征．（1）由题意可知，抛物线解析式，将，代入，即可求出m和n得值，再比较即可；（2）由函数解析式可得其对称轴为直线，且开口向上，从而得出对称轴右侧，y随x的增大而增大，根据对于，都有，得出，当时，，即，从而可求出，对于，都有，可得出，两边平方并整理求出，最后取其公共解即可．【详解】（1）解：，理由如下：当，时，抛物线解析式为，点，，将，代入抛物线解析式得，，，（2）该函数解析式为，其图象开口向上，对称轴为直线，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴