2025-2026学年北京市三帆中学八年级下学期期中数学试卷（含答案）

/北京市三帆中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷一、单选题1．下列二次根式中，最简二次根式是（

）A． B． C． D．2．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（

）A．6，8，10 B．1，，3C．1，1，2 D．6，7，83．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．4．如图，为估计池塘岸边，两点间的距离，在池塘的一侧选取点，分别取，的中点，，测得，则，两点间的距离是（

）A． B． C． D．5．下列命题中正确的是（

）A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是菱形C．有一个角是直角的平行四边形是菱形D．有一个角是直角的菱形是正方形6．如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（

）A．方程的解是B．不等式的解集是C．关于，的方程组的解是D．方程的解是7．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，点，在第一象限内．若点的坐标为，正方形的面积为5，则点的坐标是（

）A． B． C． D．8．如图1，矩形中，，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间的函数图象如图2所示．则下列说法正确的是（

）

图1

图2①N点的运动速度是；②的面积的最大面积为；③当时，t的值为3或17．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题9．函数中，自变量的取值范围是_____．10．如图，在中，，是边上的中线．已知，．则的长为________．11．若是一次函数的图象上的两个点，则y₁与y₂的大小关系是y₁______y₂．（填“>”，“＝”或“<”）12．某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．李明同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，李明同学每天阅读此书籍30页．如果设李明同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页，则函数y关于x的关系式是________________（不要求写出自变量的取值范围）．13．将一次函数的图象向上平移4个单位长度后，对应的图象的函数表达式为__________．14．如图，在正方形中，是上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转，使得点的对应点落在边上，则________°．15．如图，折叠矩形，使点C落在对角线上的点E处，若，，则线段的长为________．16．小宇的家离学校1800米．小宇早晨从家出发沿笔直的马路匀速步行去学校上学，几分钟后，在家休假的爸爸发现小宇忘带跳绳，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小宇，爸爸追上小宇后以原速度沿原路回家．小宇拿到跳绳后以原速度的1.5倍快步赶往学校（小宇被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小宇与爸爸之间的距离与小宇从家出发到学校的步行时之间的函数关系如图所示．（1）小宇从家出发______分钟时，爸爸追上小宇；（2）小宇从家到学校用时__________分钟．三、解答题17．计算：（1）（2）18．画出辅助线并补充完成证明过程．已知：如图，D，E分别是的边的中点．求证：，且．证明：延长至点F，使，连接，，（补全图形）∵，，∴四边形是__________，（

）（填推理依据）∴且．∵D是的中点，∴__________，∴且，∴四边形是平行四边形，（

）（填推理依据）∴且．又，∴，且．19．如图，在中，E，F是对角线上的任意两点（），，连接．求证：四边形是平行四边形．20．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长．（1）如图1，线段的长为______；（2）在图1中画一个以线段为对角线的，且四个顶点均落在格点上（画出一个即可）；（3）在图2中画一个以线段为对角线的正方形，使它的四个顶点均落在格点上．21．如图，点在直线上，直线经过点A，且与y轴交于点．（1）求m的值及直线的表达式；（2）过点且垂直于x轴的直线与分别交于两点．①当时，连接，求的面积；②若，直接写出n的取值范围．22．如图，矩形中，，相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接．若，，求的长．23．阅读理解：我们利用两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到代数恒等式．勾股定理就可以构造一些特殊的图形，通过计算其面积的方式来证明．现代著名数学家张景中先生，构造了如下图形：如图1，中，，，，，，其中D、C、A共线．连接、，得到凹四边形．用两种不同的方式计算凹四边形的面积，从而完成证明．帆帆想用张景中先生的方法尝试证明，请你协助帆帆完成证明．

已知：中，，，，，，D、C、A共线．求证：．证明思路：如图1，帆帆发现，可以得到代数恒等式．证明：如图1，∵，∴，，，．∴（用a，b表示面积）．如图2，延长交于M，∵，，∴．请你利用，计算．∵，即∴．24．在学习了函数相关的知识后，小巳同学想要借助函数图象求解不等式．（1）他选择通过描点法画函数的图象．自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：…0123……00…其中，；根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象．根据函数图象，直接写出不等式的解集为（2）在进一步的探究过程中小巳同学有两个新的发现：①若关于的函数的图象上到轴的距离等于的点恰好有个，则的取值范围为；②若关于的函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为．25．如图，在正方形中，M是对角线上的一动点，且，连接，过点B作的垂线，交的延长线于点E，交于点F，且．（1）依题意补全图1，求的大小（用含的式子表示）；（2）若点N在线段上，，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并证明；（3）连接．若，请直接写出线段长度的最小值．26．在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“－制导点”．（1）如图1，点坐标为，①当点时，点的“－制导点”的坐标为________；②若点为点的“－制导点”，则点的坐标为________；（2）如图2，点，，，点在边上，点．若直线上存在点的“－制导点”，求的取值范围；（3）如图3，点，，，，其中，点在正方形边上，点，．若线段上存在点的“－制导点”，直接写出的取值范围________．

答案1．【正确答案】B【分析】依据最简二次根式的两个定义条件（被开方数不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母），对每个选项逐一进行判断，看是否符合最简二次根式的要求．本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式需满足“被开方数不含能开得尽方的因数或因式且不含分母”是解题的关键．【详解】A．，被开方数是完全平方数，可化简为，不是最简二次根式．B．，被开方数是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式的定义．C．，被开方数含分母，需有理化为，不是最简二次根式．D．，被开方数，其中是平方数，可化简为，不是最简二次根式．故选B．2．【正确答案】A【分析】先依据三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断每组数能否构成三角形，对于能构成三角形的，再根据勾股定理的逆定理（两较小边的平方和等于最大边的平方），判断是否为直角三角形．本题主要考查了勾股定理的逆定理及三角形三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理内容并能结合三边关系判断能否构成直角三角形是解题的关键．【详解】选项A，最大边为10，验证，而，满足勾股定理，能构成直角三角形．选项B，最大边为3，验证，但，，不满足勾股定理．选项C，由于，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形．选项D，最大边为8，验证，而，，不满足勾股定理．故选A．3．【正确答案】B【分析】本题考查二次根式，算术平方根，解题的关键是熟练掌握运算性质．按照运算法则和二次根式有意义的条件，对各选项进行分析判断即可．【详解】∵，，，和在实数范围内无意义，∴只有选项符合题意，故选．4．【正确答案】C【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，由已知条件可得出为的中位线，由三角形中位线的性质即可得出．进而可得出，两点间的距离是．【详解】解：∵，分别是边和的中点，∴为的中位线，∴，∵，∴，则，两点间的距离是，故选C5．【正确答案】D【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一分析．【详解】A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形（矩形对角线相等但不一定垂直），故该选项不符合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，而非菱形（菱形对角线垂直但不一定相等），故该选项不符合题意；C．有一个角是直角的平行四边形是矩形，而非菱形（菱形需四边相等），故该选项不符合题意；D．菱形本身四边相等，若有一个角为直角，则四个角均为直角，满足正方形的定义，故该选项符合题意．故选D．6．【正确答案】B【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，逐一判断即可求解，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．【详解】解：A、一次函数的图象与x轴交于点，方程的解是，故不符合题意；B、两直线的交点坐标为，不等式的解集是，则正确，故符合题意；C、两直线的交点坐标为，关于x，y的方程组的解是，则错误，故不符合题意；D、两直线的交点坐标为，方程的解是，则错误，故不符合题意；故选B．7．【正确答案】C【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，过点C作轴于H，根据题意可得，由正方形的性质得到，，则由勾股定理可得，证明，得到，则，据此可得．【详解】解：如图所示，过点C作轴于H，∵点的坐标为，∴，∵正方形的面积为5，∴，，∴；∵轴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故选C．8．【正确答案】A【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，矩形的性质，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，先求出点M运动的时间为秒，由图象可得点运动秒到达点，从而即可得出N点的运动速度，即可判断①；由图象可得当点在上运动时，的面积最大，即可判断②；根据题意列出一元二次方程以及一元一次方程，解方程即可判断③；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵矩形中，，，∴，，∵点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动，∴点M运动的时间为秒，由图象可得点运动秒到达点，故点的运动速度为，故①说法正确；当点在上运动时，的面积最大，最大为，故②正确；当点在上时，，解得或（不符合题意，舍去）；当点在上时，的面积始终保持不变，为；当点在上运动时，，解得：，综上所述，当时，t的值为或17，故③错误；综上所述，正确的有①②，故选A．9．【正确答案】【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】解：依题意，得，解得：，故答案为．10．【正确答案】5【分析】本题考查勾股定理，直角三角形性质，由相关定理得出线段间数量关系是解题的关键．根据勾股定理求得，由斜边上中线等于斜边一半求得．【详解】解：∵在中，，∴，∵是边上的中线∴．11．【正确答案】【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【详解】∵一次函数中，，∴随着的增大而减小．∵是一次函数的图象上的两个点，，12．【正确答案】【分析】本题主要考查了列函数关系式，用该书籍的总页数减去已读页数即可得到答案．【详解】解：由题意得，.13．【正确答案】【分析】本题考查了一次函数图象的平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象平移的规律“上加下减常数项，左加右减自变量”．根据一次函数图象向上平移时，在函数表达式的常数项进行相应变化，从而求出平移后的函数表达式．【详解】在一次函数中，，现在将其图象向上平移4个单位长度，根据上述规律，常数项需要加上4，则平移后的函数表达式为：，即．14．【正确答案】【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用这些性质求出相关角的度数．先根据正方形性质得出的度数，再由求出和的度数，接着根据旋转性质得到，进而求出的度数，最后算出的度数．【详解】四边形是正方形，正方形的对角线平分一组对角，．，，，线段绕点顺时针旋转后得到，根据旋转的性质可知，是等腰三角形，又，，，，把代入可得：．15．【正确答案】5【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据矩形的性质，勾股定理求出的长，再由翻折变换的性质得出，设，则，在中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，在中，，，∴，∵折叠，∴，，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴．16．【正确答案】9；18【分析】本题主要考查了变量关系图象上获取信息以及二元一次方程组和一元一次方程的应用，看懂变量之间的图象是解题的关键．（1）由图象求解即可；（2）设小宇原来的速度为，爸爸的速度为，根据函数图象关系列出关于a，b的二元一次方程求解即可得出a的值，再根据路程等于时间乘以速度列方程即可得出答案．【详解】（1）由图象可得，当时，∴小宇从家出发9分钟时，爸爸追上小宇．（2）设小宇原来的速度为，爸爸的速度为，则小华后来的速度为根据函数关系图可得出：，解得：，∴小宇原来的速度为，后来的速度为：，∴根据题意得，解得∴小宇从家到学校用时18分钟．17．【正确答案】（1）（2）1【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．（1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可；（2）先根据平方差公式和二次根式的性质化简，再计算即可．【详解】（1）；（2）．18．【正确答案】见详解；平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，先证四边形是平行四边形，则平行且等于，得平行且等于．再证四边形是平行四边形，得平行且等于，即可得出结论．【详解】证明：延长至点F，使，连接，，，∵，，∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∴且．∵D是的中点，∴，∴且，∴四边形是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴且．又，∴，且．19．【正确答案】详见详解【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是由已知得出，如图，连交于点，先证出，再由得出，进而即可得证．【详解】证明：如图，连交于点，

四边形为平行四边形，，，，即，四边形是平行四边形．20．【正确答案】（1）（2）见详解（3）见详解【分析】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的判定，勾股定理及其逆定理，熟知相关知识是解题的关键．（1）利用勾股定理求解即可；（2）取格点B、D，连接，则四边形即为所求；（3）取格点B、D，连接，则四边形即为所求．【详解】（1）解：由题意得，；（2）解：如图所示，四边形即为所求；由可得四边形是平行四边形；（3）解：如图所示，四边形即为所求；由勾股定理可证明，再由勾股定理的逆定理可证明，则四边形是正方形．21．【正确答案】（1）；（2）①；②【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数的函数值，解一元一次不等式组，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．（1）先把点A坐标代入中求出点A坐标，再把点A和点B坐标代入直线的解析式中计算求解即可；（2）①先求出C、D坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可；②先求出C，D的坐标，根据列出关于n的不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，∴，∵直线经过点A，且与y轴交于点，∴，∴，∴直线的表达式为；（2）解：①在中，当时，，则；在中，当时，，则；∴，∴；②在中，当时，，则；在中，当时，，则；∴，∵，∴，解得．22．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果；（2）作交延长线于G，证明四边形是矩形，根据勾股定理得到，根据中位线得到，进而求出，，根据勾股定理计算即可．【详解】（1）证明：∵点为的中点，且，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，，∴四边形是菱形；（2）解：如图，作交延长线于G，∵四边形是菱形，四边形是矩形，∴，，∴四边形是矩形，∵，，∴，∴，∵为的中点，为的中点，∴为的中位线，∴，∵四边形是菱形，，∴，，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴．23．【正确答案】见详解【分析】此题考查了全等三角形的性质，勾股定的证明，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．根据题意用两种方法表示出的面积，列等式求解即可．【详解】证明：如图1，∵，∴，，，．∴（用a，b表示面积）．如图2，延长交于M，∵，，∴．∵，即∴∴即∴．24．【正确答案】（1）；见详解；或（2）①；②【分析】本题考查了一次函数的应用、描点法画函数图象、解一元一次不等式（组），根据题意正确画出函数图象是解题的关键．（1）代入到求出的值，利用描点法画函数图象，根据函数图象即可求出不等式的解集；（2）①由题意得，方程有2个解，方程也有2个解，结合函数图象列出关于的不等式即可求解；②分两种情况讨论：和，结合函数图象可知的最小值为，求出此时，再结合当时，随的增大而增大，列出关于的不等式即可求解；【详解】（1）解：当时，，∴；描点，画出函数图象如下：根据函数图象，当或时，，∴不等式的解集为或．（2）解：①∵关于的函数的图象上到轴的距离等于的点恰好有个，∴方程有2个解，方程也有2个解，即方程和都有2个解，由（1）中的函数图象可得，，解得：．②若，，不符合题意；若，∵，∴，∴函数的最小值为，令，则，解得：，∵当时，随的增大而增大，∴，解得：．25．【正确答案】（1）补全图形见详解，（2），见详解（3）【分析】（1）根据题意先补全图形，根据，，再进一步可得答案；（2）如图，连接，，交于，证明，可得共线，证明，再进一步利用勾股定理解答即可；（3）如图，取的中点，连接，，，证明，，，求解，结合，可得线段长