2025-2026学年天津市和平区益中学校九年级下学期3月月考数学试题（含答案）

/天津市和平区益中学校2025-2026学年九年级下学期3月月考数学试题一、单选题1．据报道，2023年我国经济总量超过126000000000000元，占世界经济比重达18%左右，稳居世界第二位．将126000000000000写成科学记数法为（

）A． B． C． D．2．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（

）A． B． C． D．3．估计的值在（

）A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间4．下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．5．的值等于（

）A． B． C． D．6．化简的结果是()A． B． C． D．7．已知，，是反比例函数的图象上的三个点，并且，，则的大小关系是()A． B．C． D．8．如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（

）A． B． C． D．9．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（

）A． B．C． D．10．如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（

）A． B．C． D．11．如图，在中，，是的边的延长线上一点，连接，顺时针旋转线段得到，且，连接．下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．12．如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．有下列结论：①当的长是时，劳动基地的面积是；②的长有两个不同的值满足劳动基地的面积为；③点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是，最小值是．其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题13．有个外形相同的蔬菜盲盒，其中盒装着西兰花，盒装着菠菜，盒装着豆角，盒装着土豆，随机选取一个盲盒，盲盒里装着西兰花的概率是______．14．如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于______．15．如图，已知点D、E分别在的边AC，AB上，，且，若，则______．16．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作中的位似图形，并把中的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是________．17．如图，，均为等腰直角三角形，其中，，点A，E，D在同一直线，与相交于点F，G为的中点，连接，．（1）的度数为______．（2）若F为的中点，且，则的长为______．三、解答题18．如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A，B均在格点上，以为直径作圆，点M为弧的中点．（I）线段的长度等于________．（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．19．已知关于的一元二次方程．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）若，求一元二次方程的根；（3）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值．20．已知二次函数与的一些对应值如下表：…012……005…（1）求此二次函数的表达式；（2）若此二次函数图象上的点到对称轴的距离是4，求出符合条件的点的坐标；（3）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．21．如图，BE是圆O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C，（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．

22．如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级（1）班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，（参考数据：，，，；精确到米）（1）求综合楼的高度；（2）求宣传牌的高度．23．已知A、两地相距，甲乙两人沿同一条路线从A地到地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离与时间的关系如图所示．

（1）甲的运动速度是________；乙在至之间的速度是________；（2）甲出发多少小时后和乙相遇？（3）请直接写出甲乙相距时甲行驶的时间．24．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转得到，点A、旋转后的对应点为、，记旋转角为．（1）如图①，若，求的长；（2）如图②，若，求点的坐标；（3）如图③，P为AB上一点，且，连接、，在绕点B逆时针旋转一周的过程中，求的面积的最大值和最小值（直接写出结果可）．25．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点．

（1）求二次函数的表达式；（2）如图，点M是直线下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作轴于点H，交于点N，求线段最大时点M的坐标；（3）在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案1．【正确答案】B【分析】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为，其中为整数，确定和的值是解题的关键．先确定的值，使，再根据原数绝对值的大小确定的值，进而得出科学记数法的表达式．【详解】解：对于126000000000000，要使满足，则，此时小数点向左移动了14位，所以，那么126000000000000用科学记数法表示为，故选B．2．【正确答案】A【分析】根据三视图的定义即可判断．【详解】根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．故选A．3．【正确答案】C【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解．【详解】解：∵49＜57＜64，∴7＜＜8．故选C．4．【正确答案】D【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．结合中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意．故选D．5．【正确答案】A【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键，先计算特殊角的三角函数值，再进行二次根式计算即可求解．【详解】解：．故选A6．【正确答案】D【详解】故选D．7．【正确答案】D【分析】因为的值小于0，所以函数的图象分布在二、四象限，的值随着的值的增大而增大，利用函数的这个性质解题即可.【详解】∵，∴图象的分支在二、四象限，∵在第四象限的函数值，总小于在第二象限的函数值，∴最小，∵在同一象限内，随的增大而增大，，∴，∴，选D．8．【正确答案】C【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．【详解】解：由作图可知，垂直平分线段，，，，，，，，，故选项A，B，D正确，故选C．9．【正确答案】D【分析】设买甜果x个，买苦果y个，根据“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱”列出二元一次方程组即可．【详解】解：由题意可得，，故选D．10．【正确答案】A【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．【详解】解：在三角形纸片中，，，．A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意；B．因为，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；C．因为，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；D、因为，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；故选A．11．【正确答案】B【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据题意证明，得到，则．【详解】解：由旋转得：，，即，，在和中，，，，设与交于点，则，，，，，故选B．12．【正确答案】D【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，①求出的长，可直接计算面积；②设的长是时，则，根据题意列方程求解即可；③设的长是，的面积为，根据题意得到x的取值范围，再得到关于x的函数，根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：①当的长是时，，劳动基地的面积是，说法正确；②设的长是时，则，若的面积为，则或，说法正确；③设的长是，的面积为由题意可得，解得：，∵，当时，y随x的增大而增大，∴当时，面积有最大值，∵时，面积为，时，面积为，∴面积的最小值为，说法正确，综上，3个说法都正确，故选D．13．【正确答案】/【分析】本题考查概率公式计算概率，用所求的情况数除以总情况数即可．【详解】解：有个外形相同的蔬菜盲盒，其中盒装着西兰花，盒装着菠菜，盒装着豆角，盒装着土豆．随机选取一个盲盒，盲盒里装着西兰花的概率是.14．【正确答案】【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，一元二次方程的解法，如图，延长交轴于，求解反比例函数为：，证明，设正方形的边长为，可得，再解方程可得答案．熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键．【详解】解：如图，延长交轴于，∵点在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数为：，∴，∴，设正方形的边长为，，∴，，∴，整理得，解得：，（不符合题意，舍去），∴正方形的面积为．15．【正确答案】3【分析】本题考查了三角形相似的性质．根据相似三角形性质可得到，结合已知即可得出结果．【详解】解：，，，，，∴16．【正确答案】/【分析】过B作，，可得，从而的得到，根据位似可知即可得到答案．【详解】解：过B作，，∵，，∴，∴，∵，∴，∵点C的坐标是，点B的横坐标是a，∴，∴，，∴的横坐标是．17．【正确答案】/90度；【分析】（1）先证得进而可求出的度数；（2）作于点H，则，可证明，则，再由勾股定理求得，依据，解得，则，，进而可求出的长．【详解】解：（1）∵，均为等腰直角三角形，，，∴∴∴，∴∴，∴．故答案为；（）作于点H，则，，∴，∵F为的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵G为的中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为18．【正确答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）图见详解【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；（Ⅱ）取格点，连接，，使得是等腰直角三角形，交于点Q，连接，取的中点R，连接交于点P（此时），连接，，点P即为所求．【详解】解：（Ⅰ）.（Ⅱ）如图，点即为所求；由作图可知：是等腰直角三角形，∴，∵点O是的中点，点R是的中点，∴，∴，∵点P是弧的中点，∴，∴，∵，，∴．19．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）根据有两个不相等的实数根得到，解不等式即可得到答案；（2）把代入，解一元二次方程即可；（3）根据一元二次方程根与系数的关系求出，即可得到答案．【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根，，；（2）解：把代入，得，，解得；（3）解：，，，解得．20．【正确答案】（1）（2）或（3）【分析】本题主要考查由二次函数对应数值求函数表达式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．（1）根据表中数据得到对称轴为直线，设函数表达式为顶点式，即可求解；（2）求出二次函数图象上的点到对称轴的距离是4的点的横坐标，即可得到答案；（3）根据二次函数的平移即可得到答案．【详解】（1）解：根据表中数据得到对称轴为直线，顶点坐标为，设函数解析式为：，将代入，得，解得，故；（2）解：对称轴为直线，由于此二次函数图象上的点到对称轴的距离是4，横坐标为或，将代入，解得，距离对称轴是4的点或；（3）解：根据平移规律，“上加下减，左加右减”，抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线为.21．【正确答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O的半径为2．【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）如图，连接OA，

∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵，∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=OC，设⊙O的半径为r，∵CE=2，∴r=(r+2)，解得：r=2，∴⊙O的半径为2．22．【正确答案】（1）综合楼的高度米；（2）宣传牌的高度米．【分析】本题考查解直角三角形中仰俯角及坡度角问题．（1）根据仰角为及米，即可求出；（2）过B作，根据斜坡的坡角为及米，求出，再求得，即可得到答案．【详解】（1）解：∵仰角为，米，∴（米）；答：综合楼的高度米；（2）解：过B作，，则四边形为矩形，∵的坡角为，米，∴（米），（米），∵处测得宣传牌顶部的仰角为，∴，∴（米）．答：宣传牌的高度米．23．【正确答案】（1）4，9（2）甲出发小时和乙相遇（3）、、、【分析】（1）根据函数图象表示的甲5小时匀速行驶20千米，得到其速度为4；根据乙以的速度匀速行驶1小时，得到其行驶的路程为2千米，根据乙从第2小时到第4小时行驶的路程从2千米到20千米，得到其速度为9；（2）根据甲出发t小时和乙相遇，可知行驶的路程相等，列方程，解方程即得甲出发后和乙相遇的时间；（3）根据甲乙相距，，当时，，推出；当时，求出，推出t不存在；当时，，推出或；当时，，推出．【详解】（1）甲的运动速度为：，乙以的速度匀速行驶1小时的路程为：，乙在至之间的速度为.（2）∵甲出发t小时和乙相遇，∴，解得，，答：甲出发小时和乙相遇；（3）由（2）知，，当时，，∴，；当时，设，把，代入，得，，解得，，∴，∴，，不合，t不存在；当时，由（2）知，，若，则，若，则；当时，，∴，．故甲乙相距时甲行驶的时间为：、、、．24．【正确答案】（1）（2）（3），【分析】（1）连接，过点作轴，由旋转的性质可求得和AD的值，再利用勾股定理即可求解．（2）过点作于点H，连接，由旋转的性质得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．（3）设