2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校（南岗校区）八年级下学期3月月考数学试题（含答案）

/黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校（南岗校区）2025-2026学年八年级下学期3月月考数学试题一、单选题1．若在中，斜边，则的值是（

）A．2 B．4 C．6 D．82．下列方程是一元二次方程的有（

）①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．若三角形三个内角的度数比为1:1:2，则此三角形三个内角的对边的比为（

）A．1:1:2 B． C． D．1:1:44．是直角三角形，，若，则这个直角三角形的周长为（

）A．22 B．60 C．36 D．545．如图，已知，和分别是以的斜边、直角边和为边的等边三角形，则，，满足的关系式为（

）A． B． C． D．6．如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离为（

）A．3米 B．米 C．2米 D．1米7．如图，长方体纸盒的长、宽、高分别长为．一只蚂蚁预从点E沿长方体纸盒表面爬行至点C吃到食物，则最短路径长为（

）A．3cm B．2cm C．cm D．6cm8．若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且9．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅挂图，如图所示，设边框的宽为xcm，如果整个挂图的面积是5400cm2,那么下列方程符合题意的是（

）A．(50-x)(80-x)=5400 B．(50-2x)(80-2x)=5400C．(50+x)(80+x)=5400 D．(50+2x)(80+2x)=540010．在中，下列命题是假命题的有（

）①若，则是直角三角形；②若是直角三角形，则；③若，则是直角三角形；④若，则是直角三角形A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____12．若无实数解，则m的取值范围是___________．13．如图，在数轴上点A表示，点B表示，过点B作，使，连接．以点A为圆心、线段长为半径画弧，交数轴于点K，则在数轴上点K表示的数为__________．14．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需______米．15．矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则CF=_______cm．16．已知：，若，则的值为__________．17．等腰三角形的腰长为13，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为3，则该等腰三角形底边上的高为_____________．18．如图，在中，，点在线段上，连接，若，，，则长为______．三、解答题19．解方程：（1）；（2）；（3）；（4）．20．如图，以下两个相同的的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1。每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．⑴在图1中，画一个直角三角形，使它的斜边长是；⑵在图2中，画一个直角三角形，使它的面积是．

21．如图，已知相交于点O，，求与的面积相差多少．22．如图1所示，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2所示，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？23．哪吒在镇压海底妖兽时，发现妖兽巢穴被一道上古阵法保护．此阵法由9根防御值均为100点的能量柱组成，哪吒用混天绫每摧毁一根能量柱时，剩余能量柱的防御值都会下降．（1）若剩余的每根能量柱的防御值平均下降率相同，哪吒用混天绫二次攻击成功后，剩余每根能量柱的新防御值为81点，求每根能量柱防御值的平均下降率；（2）若哪吒每摧毁1根能量柱可使防御值总和下降270点，且每9分钟可摧毁2根能量柱，则当剩余能量柱的防御值总和不高于240点时，哪吒便可用风火轮直接破除阵法．求哪吒至少需要多少分钟才能破除阵法．24．阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数a、b、c之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（）．解决问题：（1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和；（2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式______________________；（3）能力素养：学习了根与系数的关系后，陶老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于x的方程的两个实数根，且，求a的值．小秦同学的解法如下：解：和是关于x的方程的两个实数根，∵，，又∵，∴，则，即，解得，．你认为小秦同学的解法是否正确？如果正确，请写出数学理论依据；如果不正确，请写出错因并改正．25．在平面直角坐标系中，点O为原点，点，点C在x轴正半轴上，连接，．（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，点P在第一象限，连接，线段与相交于点G，且，点E在线段上，点F在线段上，且，连接，若，求的度数；（3）如图3，在（2）问条件下，若点E为线段中点，求线段的值．

答案1．【正确答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键；根据题意可知，再代入待求式可得答案．【详解】解：根据勾股定理，得，所以．故选D．2．【正确答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答．【详解】解：①是一元二次方程；②，当时是一元一次方程，不是一元二次方程；③是分式方程，不是一元二次方程；④，整理得：是一元二次方程；⑤，整理得：是一元一次方程，不是一元二次方程；则共有2个，故选B．3．【正确答案】B【分析】设三角形的三个内角度数分别为x、x、2x，三边长分别为a、b、c，由三角形内角和定理得出x+x+2x=180°，得出三角形为等腰直角三角形，由勾股定理得出a2+b2=c2，即2a2=c2，即可得出结果．【详解】解：设三角形的三个内角度数分别为x、x、2x，三边长分别为a、b、c，则x+x+2x=180°，解得：x=45°，∴2x=90°，∴三角形为等腰直角三角形，∴a=b，a2+b2=c2，即2a2=c2，∴a2：b2：c2=1：1：2；∴a：b：c=1：1：故选B．4．【正确答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，设，，根据勾股定理可知，即，解出x，进一步即可得出答案．【详解】解：设，，根据勾股定理可知：，即，解得∶（负值舍去），则，，则这个直角三角形的周长为：，故选C5．【正确答案】B【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形面积公式，当等边三角形边长为时，则其面积公式为，熟悉掌握公式是解题的关键．利用等边三角形面积公式和勾股定理解答即可．【详解】解：由题意可得：，，，∵在中，∴所有项可得：，∴，故选B．6．【正确答案】B【分析】根据方向角得出，则，根据，得出，在中，勾股定理即可求解．【详解】解：由题意知：，，，，∵∴，∴米，在中，米，故选B．7．【正确答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，分三种情况将长方体展开，再根据勾股定理求出答案，并比较得出答案．【详解】解：如图所示，（cm）；如图所示，（cm）；如图所示，（cm）．∵，∴最短路径是．故选A．8．【正确答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，熟悉掌握根的判别式是解题的关键．利用根的判别式运算即可．【详解】解：∵一元二次方程，有实数根，∴，且，解得：且；故选C．9．【正确答案】D【详解】由题意可知当四周镶上一条宽为xcm的边框后，整个挂图的长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，则这个挂图的面积可表达为(80+2x)(50+2x)，结合镶好边框后的挂图面积为5400cm2，可得方程为：(80+2x)(50+2x)=5400.故选D.10．【正确答案】B【分析】本题主要考查了判断真假命题和直角三角形的性质及判定，根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可．【详解】①在中，若，则，故是直角三角形，命题是真命题；②在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，若是直角三角形，只有当为斜边时，成立，命题是假命题；③在中，若，则，，，是锐角三角形，命题是假命题；④在中，若，则，故是直角三角形，命题是真命题；综上所述：假命题有②③，共两个，故选B．11．【正确答案】．【分析】根据一元二次方程定义列出方程及不等式，然后求解【详解】解：∵是一元二次方程∴，解得：12．【正确答案】m＜-3．【分析】根据完全平方式的非负性可知，当m+3＜0时，方程无解，从而求出m的取值范围．【详解】解：若无实数解∴解得：m＜-313．【正确答案】【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示无理数，先根据勾股定理求出，可得点K到原点的距离，进而得出答案．【详解】解：根据勾股定理，得，∴点K到原点的距离为，∴点K表示的数为．14．【正确答案】2+2【分析】地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC）．【详解】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°，∴AB=2BC=4m，∴AC=m，∴AC+BC=2+2（m）.故答案为2+2.15．【正确答案】．【分析】根据折叠的性质可知．设，由矩形性质则得到DF为10-x，；在中，利用勾股定理即可求出的长，从而使问题得解．【详解】解：由折叠性质可知，由矩形性质可得，DC=AB=10，设，则DF=10-x在中，解得：∴CF=16．【正确答案】/【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．运用因式分解法解一元二次方程，再把求得的结果代入运算即可．【详解】解：∵，∴，∴或，∴（不符合题意舍去），，把代入可得.17．【正确答案】12或【分析】此题考查了等腰三角形的性质，以及勾股定理，要求学生借助图形，采用数形结合及分类讨论的思想，求出底边的长，同时注意因为没有指明周长分成两部分的长短，故求出有两解，不要遗漏．先根据题意画出图形，设为底边上的高，由为中点，得到，再根据将其周长分成两部分的差为3，分别表示出分三角形周长的两部分，相减等于3列出关于的方程，求出方程的解得到的长，然后根据等腰三角形的“三线合一”得到为中点，由求出的得到的长，再由的长，在直角三角形中，根据勾股定理即可求出的长，即为所求．【详解】解：如图所示，为中点，于．∵为的中点，∴，根据题意得：或，即或，解得：或16．（1）当时，，，在中，，根据勾股定理得：；（2）当时，，，在中，，根据勾股定理得：．综上，底边上的高为12或．18．【正确答案】【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，过点作交的延长线于点，在延长线上截取，证明得出，进而得出，则设，则，中，得出，在中，勾股定理，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，在延长线上截取，∴，∵，∴∴∵∴∴，延长至，使得又∵∴，在中，∴∴，又∵，∴∴∴设，则∴∴中，∴在中.19．【正确答案】（1），；（2）；（3），；（4），．【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键．（1）直接开方法运算即可；（2）因式分解法运算即可；（3）公式法运算即可；（4）因式分解法运算即可．【详解】（1）解：∴，；（2）解：∴；（3）解：由题意可得：，，∴∴∴，；（4）解：或∴，．20．【正确答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）画出两直角边长分别为1和2，则根据勾股定理斜边长为；（2）根据直角三角形的面积为，则两直角边长分别为，据此画出图形即可.【详解】（1）∵，∴两直角边长分别为1和2，图形如图所示：

（2）∵直角三角形的面积为，∴两直角边长分别为，图形如图所示：

∵，，∴△ABC为直角三角形，所以△ABC即为所求.21．【正确答案】．【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，准确识图，添加适当辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键；先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，然后根据代入数值得出答案．【详解】解：如图所示，连接，在中，，∴.∵，∴，∴是直角三角形，∴，∴．所以与的面积差为．22．【正确答案】（1）20；（2）4【分析】（1）结合题意，通过勾股定理计算，即可得到答案；（2）结合题意，通过勾股定理计算得OB，结合（1）结论计算，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，得米，米由勾股定理得∴∴即这个云梯的底端离墙20米远；（2）由（1）可得：米根据题意可得：米，米由勾股定理得可得：米即梯子的底部在水平方向滑动了4米．23．【正确答案】（1）；（2）至少需要11分钟．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）设每根能量柱防御值的平均下降率为，则由题意得：，即可求解；（2）9分钟摧毁2根能量柱，则防御值剩余点，设还需t分钟，才能破除阵法，则，求出时间，再加上前面的9分钟即可．【详解】（1）解：设每根能量柱防御值的平均下降率为，则由题意得：，解得：或（不符合题意舍），∴增长率为（2）解：9分钟摧毁2根能量柱，则防御值剩余点，设还需t分钟，才能破除阵法，则，解得：，∴至少需要分钟才能破除阵法，答：哪吒至少需要11分钟才能破除阵法．24．【正确答案】（1）是；（2）（答案不唯一）；（3）小秦同学的解法不正确，理由见详解．【分析】此题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系和根的判别式．（1）根据求根公式求出的两个根，再根据题意求出和即可；（2）根据题意解答即可；（3）