初中数学九年级下册《解直角三角形》单元分层精练教案

初中数学九年级下册《解直角三角形》单元分层精练教案

一、单元教学整体规划

（一）单元内容分析

本单元“解直角三角形”隶属于人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》。它是初中阶段“图形与几何”领域的收官之作，标志着学生从定性研究几何图形（如全等、相似）正式迈入定量研究的新阶段。单元核心在于利用锐角三角函数（正弦、余弦、正切）、勾股定理及两锐角互余关系，将直角三角形中的“边”与“角”建立起可计算的函数联系，从而在已知部分元素（至少一边）的条件下，求出其余所有未知的边和角。这一思想是数形结合的典范，也是后续高中学习任意三角形解法（正弦定理、余弦定理）以及更深层次函数与解析几何学习的基石。

本单元的知识结构呈现清晰的逻辑链条：从生活实例抽象出锐角三角函数的概念→探究特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值→学习使用计算器求一般锐角的三角函数值及其逆运算（已知函数值求角）→最终综合应用所有知识解决实际情境中的直角三角形问题，即“解直角三角形”。本教学设计聚焦于最后这一综合应用环节，旨在通过分层递进的训练，使学生牢固掌握解法，并灵活迁移至复杂情境。

（二）学情分析

学生在学习本单元前已具备以下知识储备：

1.几何知识：熟练掌握直角三角形的定义、性质（如勾股定理、两锐角互余），具备良好的图形识别与基本推理能力。

2.代数知识：熟练掌握代数式的运算、变形，具备解方程（组）的基本技能。

3.函数概念：初步理解函数是刻画变量之间关系的一种模型。

4.前序知识：已学习锐角三角函数的定义、特殊角三角函数值及计算器的使用。

潜在学习障碍与需求：

1.概念转化困难：部分学生难以将实际问题中的语言描述（如“坡度”、“仰角”、“方位角”）迅速、准确地转化为直角三角形中的已知角和边。

2.模型构建薄弱：面对复杂图形（如由多个直角三角形组合、包含非直角三角形的图形需作高构造直角三角形），缺乏主动构造或识别直角三角形模型的意识与能力。

3.计算策略单一：倾向于机械套用公式，缺乏根据已知条件灵活选择最简计算路径的策略性思维，计算过程冗长易错。

4.思维层次分化：班级内学生数学思维水平存在自然分化，需设计有梯度的任务以满足不同层次学生的发展需求。

（三）单元教学目标

1.理解解直角三角形的概念，明确“解直角三角形”就是利用直角三角形中除直角外的五个元素（两条边、两个锐角）之间的各种关系，由其中的两个已知元素（至少有一个是边）求出其余三个未知元素的过程。

2.熟练掌握解直角三角形的两种基本类型（已知两边、已知一边一角）的解题思路、步骤和规范书写格式。

3.能够综合运用勾股定理、锐角三角函数和两锐角互余关系，解决与直角三角形相关的几何计算问题，发展数形结合和方程思想。

4.能够将实际问题抽象为解直角三角形的数学模型，会利用视角（仰角、俯角）、方位角（方向角）、坡度（坡比）等术语解决测量、工程、航海等领域的简单实际问题，提升数学建模和应用意识。

5.在解决综合性、探究性问题的过程中，发展逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，培养克服困难的意志品质和科学严谨的求知态度。

（四）教学重点与难点

1.教学重点：

1.2.解直角三角形的理论依据和方法总结。

2.3.将实际问题中的条件转化为直角三角形中的边角关系。

3.4.规范、清晰、有条理的解题过程表述。

5.教学难点：

1.6.灵活选择三角函数关系式，优化计算路径。

2.7.从复杂现实情境或复合图形中抽象并构造出可解的直角三角形模型。

3.8.对解的存在性、唯一性及实际意义的理解与讨论（例如，已知两边解三角形时，若两边均为直角边，解唯一；若已知斜边和一条直角边，需验证直角边小于斜边）。

（五）教学策略与资源

1.教学策略：

1.2.探究式教学：创设问题情境，引导学生自主发现边角关系，构建解题模型。

2.3.分层教学法：设计“基础练→提升练→拓展练→达标检测”四层训练体系，实现因材施教，让每个学生都能在最近发展区内获得提升。

3.4.变式教学法：通过改变问题条件、图形组合方式等，进行一题多变、多题一解的训练，深化对模型本质的理解。

4.5.合作学习：在解决复杂应用和拓展问题时，组织小组讨论，集思广益，培养团队协作和交流表达能力。

5.6.信息技术融合：利用几何画板动态演示边角变化关系，使用图形计算器辅助复杂计算，借助多媒体呈现生活实例。

7.教学资源：

1.8.人教版九年级数学下册教材及教师用书。

2.9.多媒体课件（内含动画、实物图片、例题与习题）。

3.10.几何画板软件、图形计算器。

4.11.分层练习学案（纸质或电子版）。

5.12.实物模型（如坡度板、测角仪简易模型）。

二、教学过程设计（共4课时）

第一课时：解直角三角形的基本类型与方法

（一）教学目标

1.理解解直角三角形的含义与依据。

2.系统归纳已知两边、已知一边一角两种基本类型的解法步骤。

3.能规范、准确地求解基本类型的直角三角形。

4.初步体会选择简便计算策略的重要性。

（二）教学重难点

1.重点：两种基本类型的解法归纳与规范书写。

2.难点：根据已知条件灵活、优化地选择三角函数关系式。

（三）教学准备

多媒体课件、三角板、分层练习学案（基础练部分）。

（四）教学过程

环节一：情境导入，温故知新（约8分钟）

1.问题引入：展示一幅古埃及金字塔的图片，并讲述历史学家如何利用影子测量其高度的故事。提问：“如果知道一个人的身高、影长，以及同一时刻金字塔的影长，能否求出金字塔的高度？这其中蕴含了什么数学原理？”（引出相似三角形和直角三角形）。

2.知识回顾：引导学生口头回顾直角三角形中已学的所有边角关系。

1.3.边的关系：勾股定理a²+b²=c²

。

2.4.角的关系：两锐角互余∠A+∠B=90°

。

3.5.边角关系：锐角三角函数sinA=对边/斜边,cosA=邻边/斜边,tanA=对边/邻边

。

6.概念生成：教师明确：“今天，我们要综合运用这些关系，来解决一个核心问题：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素，这个过程就叫作‘解直角三角形’。”

环节二：合作探究，归纳类型（约20分钟）

1.探究活动一：已知两边，如何解？

1.2.任务：在Rt△ABC中，∠C=90°。

1.2.3.(1)已知a=3,b=4

，求c,∠A,∠B

。

2.3.4.(2)已知a=5,c=13

，求b,∠A,∠B

。

4.5.学生活动：独立计算，同桌交流做法。

5.6.师生归纳：

1.6.7.已知两条直角边：先用勾股定理求斜边，再用正切求一个锐角（通常求较小角，计算更简便），最后用互余求另一锐角。

2.7.8.已知斜边和一直角边：先用勾股定理求另一直角边，再用正弦或余弦求锐角。

8.9.关键点拨：①求边首选勾股定理（乘方运算，无近似）。②求角时，选择使用正切、正弦还是余弦？原则是：选用涉及已知边最多、计算最简单的那个三角函数。例如(1)中，tanA=3/4

，直接可得∠A；若用sinA=3/5

，则需先算c=5，多一步。

10.探究活动二：已知一边一角，如何解？

1.11.任务：在Rt△ABC中，∠C=90°。

1.2.12.(1)已知∠A=30°,c=10

，求a,b,∠B

。

2.3.13.(2)已知∠A=60°,a=6

，求b,c,∠B

。

4.14.学生活动：独立完成，小组内比较不同解法。

5.15.师生归纳：

1.6.16.已知一锐角和斜边：先用互余求另一锐角，再用正弦、余弦分别求两直角边。

2.7.17.已知一锐角和它的对边（或邻边）：先用互余求另一锐角，再用正切求邻边（或对边），最后用正弦或勾股定理求斜边。

8.18.关键点拨：①已知一角，另一锐角立刻可得（互余）。②求边时，首先考虑使用直接涉及已知边和所求边的三角函数。例如(2)中，已知∠A和对边a，求邻边b用tanA=a/b

，求斜边c用sinA=a/c

，比用勾股定理更直接（避免开方运算）。

19.总结归纳：师生共同完成表格，梳理解直角三角形的两种基本类型及其一般步骤。

已知条件

解法步骤概要

依据

两边（a,b）

1.勾股定理求第三边；2.选一锐角用三角函数求其度数；3.利用互余求另一锐角。

勾股定理、三角函数、互余

一边一角（c,∠A）

1.利用互余求∠B；2.用sinA,cosA求a,b。

互余、三角函数

一边一角（a,∠A）

1.利用互余求∠B；2.用tanA求b（或用sinA求c）；3.用勾股定理求第三边。

互余、三角函数、勾股定理

环节三：分层精练，巩固新知（约12分钟）

发放分层练习学案，学生根据自身情况选择完成。

【基础练】——面向全体，巩固方法

1.在Rt△ABC中，∠C=90°。

(1)已知a=6,b=8，解这个三角形。

(2)已知c=10,∠A=45°，解这个三角形。

【设计意图】直接套用归纳的步骤，强化规范书写。

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形（角度精确到1°，边长保留两位小数）：

(1)∠B=72°，c=14。

(2)a=30，∠A=39°。

【设计意图】引入非特殊角，训练计算器使用技能和近似计算规范。

【提升练】——面向大多数，灵活选择

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√6，BC=√3，求AB的长和∠A的度数。

【设计意图】数字非整数，需灵活计算。求∠A时，可用tanA=√3/√6=1/√2

，引导学生化简。

2.已知直角三角形斜边上的高h将斜边分为两段m,n，求证：h²=m·n。

【设计意图】将解三角形知识与射影定理初步结合，提升思维层次。

环节四：课堂小结与作业（约5分钟）

1.小结：学生分享本节课收获。教师强调核心：解直角三角形的依据是三个关系；关键是合理选择关系式优化计算。

2.作业布置：

1.3.必做：教材对应练习题，完成学案基础练。

2.4.选做：学案提升练，并预习实际应用中的相关术语（仰角、俯角等）。

（五）板书设计

解直角三角形（一）——基本类型与方法

一、定义：由已知元素求未知元素的过程。

二、依据：1.边边：a²+b²=c²

2.角角：∠A+∠B=90°

3.边角：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b

三、基本类型与解法：

1.已知两边：勾→角（选简）→余角

2.已知一边一角：余角→三角求边（选直接）→（勾）

四、核心思想：数形结合，优化选择。

第二课时：解直角三角形的实际应用（一）——测量问题

（一）教学目标

1.理解仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角等概念，并能准确识别。

2.能够将含有这些术语的实际问题抽象为解直角三角形的数学模型。

3.初步掌握解决简单测量类应用题的步骤和方法。

（二）教学重难点

1.重点：仰角、俯角、坡度等概念的理解与图形转化。

2.难点：将文字语言和实物图转化为包含直角三角形的几何图形，并确定已知和未知元素。

（三）教学准备

多媒体课件（含大量实物情境图）、简易测角仪模型、分层练习学案（提升练部分）。

（四）教学过程

环节一：概念解析，链接生活（约10分钟）

1.仰角与俯角：

1.2.情境展示：图片展示测量楼高、飞机飞行高度、山顶望塔等场景。

2.3.概念定义：在同一铅垂面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角叫做仰角；在水平线下方时，叫做俯角。强调“水平线”是基准线。

3.4.图形转化练习：教师口述情境，学生快速在草稿纸上画出含仰角/俯角的直角三角形简图。例：“在A处测得山顶B的仰角为30°”。

5.坡度（坡比）与坡角：

1.6.情境展示：盘山公路、水库大坝、屋顶斜面图片。

2.7.概念定义：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），记作i=h:l

。坡面与水平面的夹角α叫做坡角。显然，i=h/l=tanα

。坡度常写作i=1:m

或百分比形式。

3.8.辨析：坡度越大（即i值越大），坡角α越大，坡面越陡。

环节二：典例精析，建模示范（约15分钟）

例题1（仰角俯角综合）：

如图，某数学兴趣小组想测量一座塔AB的高度。他们在C处测得塔顶A的仰角为45°，向塔的方向前进20米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为60°。求塔高AB。（结果保留根号）

1.读题审题：引导学生提取关键信息：两个测量点C、D，两个仰角45°和60°，CD=20米。目标是求AB。

2.画图建模：师生共同完成图形转化。强调将实际问题中的点、线抽象为几何图形中的点、线。设AB=x。

3.分析思路：图形中含有两个共边的直角三角形Rt△ABC和Rt△ABD。在Rt△ABC中，BC=AB/tan45°=x。在Rt△ABD中，BD=AB/tan60°=x/√3。观察发现BC-BD=CD=20。

4.列式求解：建立方程x-x/√3=20

，解得x=20√3/(√3-1)=30+10√3

（米）。强调化简过程。

5.总结步骤：教师引导学生总结解应用题的通用步骤：①审题（理解术语）；②画图（构造或识别直角三角形）；③标已知未知（设元）；④寻找关系（建立方程）；⑤求解检验；⑥作答。

例题2（坡度问题）：

一段路基的横断面是梯形ABCD，AD∥BC，路基顶宽AB=8米，斜坡AD的坡度i₁=1:1，斜坡BC的坡度i₂=1:√3，路基高AE=4米。求路基底宽CD的长。

1.模型转化：引导学生将梯形横断面分解为矩形和两个直角三角形。

2.信息解读：i₁=1:1⇒tan∠D=1⇒∠D=45°。i₂=1:√3⇒tan∠C=1/√3⇒∠C=30°。高AE=BF=4米。

3.分步求解：在Rt△ADE中，DE=AE/tan45°=4米。在Rt△BFC中，FC=BF/tan30°=4√3米。∴CD=DE+EF+FC=4+8+4√3=(12+4√3)米。

环节三：分层精练，应用内化（约15分钟）

【提升练】——聚焦建模应用

1.（仰角基础）从离地高30米的窗口A处测得地面B处的俯角为30°，求窗口A与点B的水平距离。

2.（坡度基础）一水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6米，坝高10米，背水坡的坡度是1:1.5，则坝底宽为____米。

3.（综合应用）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立一根3米高的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端A重合。测量得EC=2米，小亮眼睛离地面高度EF=1.5米，求旗杆AB的高度。

【设计意图】本题需要构造相似三角形结合解直角三角形，综合性较强。

【拓展练】（供学有余力者挑战）

一艘渔船在A处测得北偏东30°方向有一座小岛C，渔船沿正东方向航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C在北偏西60°方向。若渔船航速为20海里/时，从A到B航行了两小时，求A、C间的距离。

【设计意图】引入方位角概念，为下节课铺垫，并训练在复杂方位描述中构造直角三角形（通常构造两个共边的Rt△，利用公共边列方程）。

环节四：课堂小结与作业（约5分钟）

1.小结：回顾仰角、俯角、坡度等概念，强调“文字→图形→数学关系”的建模过程。

2.作业布置：

1.3.必做：教材相关应用题，学案提升练。

2.4.选做：学案拓展练，调查生活中的坡度实例（如楼梯、残疾人坡道）并计算其坡角。

（五）板书设计

解直角三角形的应用（一）——测量问题

一、常见术语：

1.仰角/俯角：视线与水平线的夹角。

2.坡度(i)=h/l=tanα(α为坡角)。

二、解题步骤：

审→画（建模）→标（设元）→寻（关系）→解→答

三、典型模型：

1.双直角三角形（共边）：利用公共边/高列方程。

2.梯形分解：矩形+直角三角形。

第三课时：解直角三角形的实际应用（二）——方位与综合

（一）教学目标

1.理解方位角（方向角）的概念，并能在平面图中准确表示。

2.能解决涉及方位角、航行、台风影响范围等更复杂的实际问题。

3.能够处理由多个直角三角形构成的复合图形，综合运用解直角三角形的知识进行计算。

4.发展空间想象能力和数学建模的综合素养。

（二）教学重难点

1.重点：方位角的识别与图形表达。

2.难点：从涉及多方向、多目标的复杂描述中，分解出多个相互关联的直角三角形模型。

（三）教学准备

多媒体课件（含航海图、台风路径图）、量角器、分层练习学案（拓展练部分）。

（四）教学过程

环节一：概念引入——方位角（约8分钟）

1.情境导入：播放一段海上救援或台风预警的新闻视频片段，指出其中“北偏东xx度”、“南偏西xx度”等表述。

2.概念定义：方位角（或方向角）是指从正北或正南方向顺时针或逆时针旋转到目标方向线所成的小于90°的角。通常以“北偏东”、“北偏西”、“南偏东”、“南偏西”来描述。例如，“北偏东30°”即从正北方向向东旋转30°的方向。

3.绘图训练：教师在黑板上画出“十”字坐标（上北下南，左西右东）。口述方向，学生上台标出射线。如：点O观测点A，A在O的南偏东25°方向；点B在O的北偏西40°方向等。强调基准线是南北方向线。

环节二：综合例题剖析（约20分钟）

例题3（方位角综合）：

如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处。求此时海轮所在的B处与灯塔P的距离。（结果保留根号）

1.图文转化：带领学生一起根据题意画图。确定点P，画出北方向线PN。根据“北偏东60°”确定射线PA，并截取PA=80。从A点向正南方向作射线。根据“南偏东45°”从P点作出射线，两射线交点即为B。

2.模型识别：图中没有现成的直角三角形。引导学生作PC⊥AB于C。则构造出两个直角三角形：Rt△APC和Rt△BPC。

3.分析求解：

1.4.在Rt△APC中，已知PA=80，∠APC=90°-60°=30°。可求AC=PA·sin30°=40，PC=PA·cos30°=40√3。

2.5.在Rt△BPC中，已知∠BPC=45°，PC=40√3。∴PB=PC/cos45°=40√3/(√2/2)=40√6（海里）。

6.反思升华：本题的关键是通过作垂线（高）来构造可解的直角三角形，这是处理非直角三角形或复杂方位问题的通用方法。

例题4（复合图形中的计算）：

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求四边形ABCD的面积。

1.思路引导：不规则四边形面积，常转化为规则图形（三角形、矩形）面积和差。本题∠B=∠D=90°，提示可延长AD、BC交于点E（或作其他辅助线），构造出含特殊角的直角三角形。

2.解法展示：延长AD、BC交于点E。

1.3.在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=4，∴BE=AB·tan60°=4√3，AE=AB/cos60°=8。

2.4.在Rt△CDE中，∠E=90°-60°=30°，CD=2，∴CE=CD·tan30°=2√3/3，DE=CD/sin30°=4。

3.5.S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=(1/2)×4×4√3-(1/2)×2×(2√3/3)=8√3-(2√3/3)=(22√3)/3。

6.方法提炼：“化斜为直”（将斜三角形或四边形通过作高、延长边等方式转化为直角三角形）是几何计算中的重要策略。

环节三：分层精练，挑战突破（约12分钟）

【拓展练】——综合思维训练

1.（方位基础）一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P南偏西30°方向的B处。求A处与灯塔P的距离。

【设计意图】巩固方位角，训练动态过程转化为静态图形的能力。

2.（生活综合）某小区为了美化环境，计划在小区内一块四边形空地ABCD上种植草坪。测得∠ABC=90°，AB=20米，BC=15米，连接AC，测得∠ACD=90°，CD=7米。求这块草坪（四边形ABCD）的面积。

【设计意图】需要连接AC，将四边形分为两个直角三角形求解。

3.（探究挑战）在数学综合实践活动中，某小组要测量公园内人工湖两岸A、B两点间的距离。他们选择了与A、B在同一平面内的点C，测得CA=50米，∠ACB=45°，∠CAB=105°。请根据这些数据计算A、B两点间的距离。（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，结果精确到1米）

【设计意图】已知三角形非直角三角形，且含105°角（其补角75°为特殊角）。必须作高构造直角三角形。作CD⊥AB于D，在Rt△ADC和Rt△BDC中求解。极具挑战性，旨在培养顶尖学生的综合分析能力。

环节四：课堂小结与作业（约5分钟）

1.小结：总结处理复杂应用题的两种核心方法：①准确绘制方位图；②通过“作高”化非直角三角形为可解的直角三角形。

2.作业布置：

1.3.必做：教材综合应用题，学案拓展练第1、2题。

2.4.选做：学案拓展练第3题，并尝试用不同方法添加辅助线。

（五）板书设计

解直角三角形的应用（二）——方位与综合

一、方位角：以北/南为基准，偏东/西。

例：北偏东30°，南偏西45°。

二、核心策略：化斜为直——作垂线（高）构造Rt△。

三、例题精要：

例3（航行）：双Rt△，公共边PC列式。

例4（面积）：延长边，构特殊角Rt△，用面积差。

四、思想方法：建模、转化、数形结合。

第四课时：单元达标检测与讲评

（一）课时目标

1.通过限时测试，全面诊断学生对本单元核心知识、技能和思想方法的掌握情况。

2.通过试卷讲评，查漏补缺，纠正典型错误，提炼解题通法，优化解题策略。

3.引导学生进行自我反思，建立错题档案，明确后续复习方向。

（二）教学准备

单元达标检测卷（A/B卷，可根据学生层次选择或组合）、评分标准、多媒体讲评课件、学生错题统计表。

（三）教学过程（两节课连排，共80分钟）

第一部分：单元达标检测（40分钟）

学生独立完成《解直角三角形》单元达标检测卷。

第二部分：试卷讲评与反思（40分钟）

1.总体反馈（约5分钟）：教师公布本次检测的总体情况（平均分、优秀率、及格率），表扬进步显著和解题有亮点的学生。展示高频错误点统计（如：概念混淆、计算失误、建模错误、过程不规范等）。

2.重点题目剖析（约25分钟）：针对错误率高的题目进行精讲。

1.3.讲思路：再现审题、建模、选择方法的过程。

2.4.讲方法：展示最优解法，对比不同解法优劣。

3.5.讲错误：展示典型错误案例，师生共同剖析错误根源（是知识性错误、策略性错误还是习惯性错误？）。

4.6.讲变式：对经典题目进行条件或结论的变式，举一反三。

5.7.示例讲评：

选择题第4题：已知斜坡的坡度i=1:√3，则坡角α为（）。

A.30°B.45°C.60°D.无法确定

错因分析：部分学生混淆坡度定义，误以为i=tanα=1/√3，故α=30°，选A。正确应为i=h/l=tanα=1/√3，故α=30°。关键：理解坡度是铅直高与水平宽之比。

解答题第2题（测量塔高题）：重点讲评如何将“后退10米后仰角变为原来的一半”转化为边的关系。设元后，利用两个直角三角形的边关系列出关于tanα的方程。

解答题第3题（台风影响题）：重点讲评如何理解“受影响”的数学模型（距离≤影响半径）。画出示意图，将港口、台风中心路径、影响区域表示清楚，通过作垂线构造Rt△，求出最短距离，与影响半径比较。

8.自主纠错与反思（约8分钟）：学生用红笔在试卷上订正错题，并在每题旁边简要标注错误原因和反思（如“概念不清”、“计算粗心”、“模型不会建”等）。同时填写单元学习自我反思表。

9.总结提升（约2分钟）：教师对本单元核心知识、方法、思想进行最后一次系统梳理，鼓励学生建立单元知识网络图和个人错题本，为后续学习打下坚实基础。

三、分层练习设计（学案示例）

（一）基础练（面向全体，夯实双基）

1.直接计算：在Rt△ABC中，∠C=90°。

(1)已知a=5,c=13，则sinA=，cosB=，tanA=。

(2)已知∠A=30°,b=√3，则a=，c=____。

2.解三角形：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据条件解三角形（角度精确到1°，边长保留两位小数）。

(1)a=5,b=12。

(2)c=15,∠A=42°。

3.概念辨析：

(1)坡度i=1:0.75，则坡角α的正切值为____。

(2)从楼顶看地面一物体的俯角为37°，则从地面看楼顶的仰角为____。

（二）提升练（面向中等及以上，注重应用与综合）

1.实际应用：

(1)如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进20米到达D，在D处测得塔顶A的仰角为45°，求铁塔AB的高。

(2)一段路基的横断面是等腰梯形ABCD，AD∥BC，坡面AB的坡度i=1:√3，路基高AE=3米，底宽BC=10米，求路基顶宽AD。

2.几何综合：在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=45°，∠C=60°，BC=10。求AD的长和△ABC的面积。

（三）拓展练（面向学有余力者，强调探究与创新）

1.方案设计：请利用解直角三角形的知识，设计一个测量学校旗杆高度的方案。要求写出测量工具、步骤、需要测量的数据，以及计算高度的公式。

2.综合探究：如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=