四年级数学下册期末复习专题《以形助数以数解形-核心素养导向下的数形结合思想专项复习》教学设计

四年级数学下册期末复习专题《以形助数，以数解形——核心素养导向下的数形结合思想专项复习》教学设计

一、教学背景与学情分析

本设计针对小学四年级学生下学期的期末复习阶段。四年级是小学生数学思维发展的关键转折期，正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的桥梁阶段。根据皮亚杰认知发展理论，四年级儿童正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的时期，他们虽然已经具备了一定的逻辑推理能力，但这种推理仍然很大程度上依赖于具体事物的支持。在数学学习中，他们往往能够理解直观的图形信息，也能够进行基本的数量计算，但面对抽象的数学概念和复杂的数量关系时，常常难以建立两者之间的内在联系。数形结合思想正是连接具体与抽象的思维纽带，其核心价值在于将抽象的数学语言与直观的图形语言相互转化，把数量关系转化为图形的空间关系，或者把图形的性质问题转化为数量关系问题进行研究。通过前三个学年的学习，学生已经积累了初步的数形结合经验，如用图形表示数、用线段图解决简单实际问题、在方格纸上认识分数等，但这些经验往往是零散的、无意识的。本专题复习旨在帮助学生将已有的零散经验系统化，将无意识的运用转化为有意识的策略，使数形结合真正成为他们解决问题的自觉思维工具。根据课程改革理念，本设计强调以核心素养为导向，立足学生已有的认知基础，通过结构化的任务设计和深度的思维活动，帮助学生实现从知识回顾到能力进阶的跨越，从技能训练到思想感悟的升华【非常重要】。

二、教学目标定位

1、知识与技能目标：学生能够系统回顾并整理四年级下册教材中蕴含数形结合思想的重点知识，包括图形的运动、三角形内角和、运算定律、解决问题的策略等内容；能够熟练运用线段图、示意图、实物图等图形语言描述并分析抽象的数学问题；能够借助图形直观理解运算定律的算理，掌握几何图形的基本特征和计算方法；能够通过图形表征理解复杂应用题中的数量关系，形成正确的解题思路【基础】。

2、过程与方法目标：经历“以形助数”和“以数解形”的双向思维过程，体验数形结合思想在数学学习中的独特价值；在观察、操作、比较、归纳等数学活动中，感悟数形之间的内在联系，掌握将抽象问题具体化、复杂问题简单化的思维策略；通过自主探究与合作交流，提升几何直观能力、逻辑推理能力和问题解决能力【重要】。

3、情感态度与价值观目标：在数形转化的过程中感受数学的和谐美与统一美，增强学习数学的兴趣和自信心；体会数形结合思想的强大力量，养成遇到复杂问题主动画图思考的良好习惯；培养严谨求实的科学态度和勇于探索的创新精神，为后续学习奠定坚实的思维基础【重要】。

4、核心素养渗透目标：重点发展学生的几何直观、空间观念、推理能力、模型意识和应用意识。通过将数量关系图形化，培养学生的几何直观；通过从图形中发现数量规律，发展学生的推理能力；通过建立数形之间的联系模型，提升学生的模型意识；通过解决生活实际问题，强化学生的应用意识【非常重要】。

三、教学重点与难点定位

1、教学重点：沟通“数”与“形”之间的内在联系，建立数形转化的思维模式；系统梳理本册教材中蕴含数形结合思想的核心知识点，形成结构化的知识网络；掌握“以形助数”的基本方法，能够根据问题情境选择合适的图形表征方式，如线段图解决行程问题、面积图理解乘法分配律、集合图解决重叠问题等【高频考点】【热点】。

2、教学难点：理解数形转化的本质，即图形不仅是解题的工具，更是数学思维的一种表达方式；在较复杂的实际问题中灵活运用数形结合思想，特别是当数量关系比较隐蔽时需要创造性地构造图形；实现从“教师引导画图”到“学生自觉画图”的转变，使画图分析成为学生的内在需求；体会“以数解形”的思维过程，即借助数量计算来精确刻画图形关系【难点】。

四、教学准备与资源整合

教师需准备多媒体课件一套，内含动态演示数形转化的素材，如三角形内角和的拼接演示、乘法分配律的面积模型、相遇问题的线段图动画等；准备实物教具，包括七巧板、三角形学具、小棒、钉子板、方格纸等操作材料；设计分层练习题卡三组，分别对应基础巩固、综合运用和拓展探究三个层次；印制专题复习导学单，引导学生课前梳理相关知识；准备平板电脑或答题器，便于即时反馈学情。学生需准备三角尺、量角器、直尺、彩笔、草稿纸等学具，课前完成知识梳理任务，收集生活中蕴含数形结合思想的实例【基础】。

五、教学实施过程

（一）唤醒经验，揭示课题——在回顾中感知数形之妙

上课伊始，教师通过课件呈现一组具有内在联系的图片：第一幅图是古人结绳计数的场景，绳结的数量与位置记录了猎物的多少；第二幅图是数轴的一部分，上面标有刻度与数字；第三幅图是一个长方形，长和宽分别标有数据，内部被分割成若干小方格；第四幅图是著名的“杨辉三角”，数中有形、形中有数。教师引导学生观察这组图片，思考它们共同揭示了数学中的什么奥秘。学生通过观察和讨论，初步感受到数离不开形、形也离不开数，二者相互依存、相互转化。教师顺势揭示课题：“今天我们就来上一节特别的复习课，专门研究数与形这对好朋友，题目叫做《以形助数，以数解形——数形结合思想专项复习》。”接着，教师引导学生回忆在本学期学习过程中，哪些地方曾经用到过这种“画图帮助思考”的方法。学生可能提到学习三角形内角和时把三个角拼在一起成一个平角，学习乘法分配律时用长方形的面积来解释，学习相遇问题时画线段图分析等。教师将这些零散的回忆进行梳理和归类，板书三个板块：“图形中的计算”、“计算中的图形”、“解决问题中的图形”，为后续的系统复习搭建框架【重要】。

（二）以形助数，理解算理——在图形中看见计算的道理

本环节聚焦于“计算中的图形”，重点复习运算定律和简便计算中蕴含的数形结合思想。教师首先呈现一个长方形，长标注为25厘米，宽标注为12厘米，要求学生计算这个长方形的面积。学生很快得出25×12=300平方厘米。教师接着问：“除了直接计算，你还能用其他方法求出这个长方形的面积吗？”这个问题引发了学生的思考，有学生提出可以把12拆成4×3，先算25×4再乘3；有学生提出可以把12拆成10+2，先算25×10再加25×2。教师根据学生的回答，在课件上动态演示长方形的分割：将宽平均分成3份，每份是4厘米，得到三个小长方形，每个小长方形的面积是25×4，总面积是25×4×3；或者将长方形纵向分割成两部分，一部分宽10厘米，面积25×10，另一部分宽2厘米，面积25×2，总面积25×10+25×2。通过图形的直观演示，学生清晰地看到乘法结合律和乘法分配律的几何意义，体会到这些运算定律不是抽象的字母公式，而是来源于现实空间的真实关系【非常重要】。

接着，教师呈现第二个图形：一个长方形被平均分成8行，每行又被平均分成若干列，形成网格。其中一部分网格被涂上阴影，涂色部分占整个长方形的几分之几？学生通过数格子得出答案后，教师引导学生思考分数乘法的算理。例如，要求1/2公顷的3/5是多少，可以画一个长方形表示1公顷，先平均分成2份取其中1份表示1/2公顷，再把这1/2公顷平均分成5份取其中3份。从图中可以看出，最终涂色部分是把整个长方形平均分成了2×5=10份，取了其中的1×3=3份，因此结果是3/10。通过这样的图形直观，学生不仅记住了分数乘法的计算方法，更深刻理解了“求一个数的几分之几是多少”的算理内涵【热点】。

教师再呈现一组对比练习：不用计算，直接在图形中找到25×12、25×4×3、25×10+25×2所对应的面积，并说说它们为什么相等。学生通过观察图形，直观感受到无论怎样分割，总面积不变，从而加深对乘法分配律、结合律的理解。在此基础上，教师引导学生回顾除法的运算性质，如a÷b÷c=a÷(b×c)，同样可以用图形来解释：一个大长方形面积300，平均分成3行，每行再平均分成5列，每一小块的面积是300÷3÷5；也可以看成把长方形平均分成15个小格，每一小块的面积是300÷(3×5)。图形的直观使学生深刻体会到运算定律的合理性，实现从机械记忆到意义理解的转变【难点】。

（三）以数解形，探究规律——在计算中发现图形的奥秘

本环节聚焦于“图形中的计算”，重点复习三角形的内角和、多边形的内角和以及点阵中的规律等知识。教师首先呈现一组三角形：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个。提出问题：“三角形的内角和是多少度？你能用几种方法证明？”学生回忆并操作：可以用量角器分别量出三个角的度数再相加；也可以把三个角撕下来拼在一起，看是否能拼成一个平角；还可以通过折纸的方法，把三个角折到同一个顶点。教师引导学生思考：无论用哪种方法，都证明了三角形的内角和是180°。那么，这个结论背后蕴含着怎样的数形关系？三个角拼成一个平角，就是180°，这是用“形”来验证“数”；而180°这个固定的数值，又反过来揭示了所有三角形共有的图形特征，这是用“数”来刻画“形”【基础】。

接着，教师引导学生将知识迁移到多边形内角和的研究中。呈现四边形、五边形、六边形，提出问题：“你能用三角形内角和的知识求出这些多边形的内角和吗？”学生通过连接对角线，将多边形分割成若干个三角形，发现四边形的内角和等于2×180°=360°，五边形的内角和等于3×180°=540°，六边形的内角和等于4×180°=720°。教师引导学生观察规律：多边形的内角和等于（边数-2）×180°。这个规律的发现过程，正是典型的“以数解形”——通过数量计算来揭示图形的内在规律。学生经历从特殊到一般的归纳过程，体验数学模型的建构方法，培养合情推理能力【重要】。

教师再呈现一个更具挑战性的问题：点阵图规律探究。课件出示一个正方形点阵，第一层1个点，第二层3个点，第三层5个点，第四层7个点。教师要求学生观察这个点阵，写出每层的点数，并尝试用算式表示这个点阵的总点数。学生通过观察发现，这是一个连续奇数相加的数列，1+3+5+7=16，而16正好是4的平方。教师追问：“如果这个点阵有n层，总点数是多少？”学生根据规律归纳出1+3+5+……+(2n-1)=n²。教师引导学生思考：为什么连续奇数相加会得到平方数？通过观察点阵图，学生发现这些点正好排列成一个正方形，每层的点数正好是正方形边框上的点数，所以总点数就是正方形的面积。这就是“形”中藏“数”，“数”中显“形”的完美例证【热点】。

（四）数形互助，解决问题——在应用中提升思维品质

本环节是本课的核心环节，聚焦于综合运用数形结合思想解决实际问题，包括行程问题、植树问题、重叠问题、最优方案问题等典型应用题。教师按照由易到难的层次，设计三个梯度的实际问题，引导学生在画图分析中掌握解决问题的策略【非常重要】。

第一层次：线段图解决行程问题。教师呈现问题：“甲乙两车同时从相距450千米的两地相对开出，甲车每小时行65千米，乙车每小时行55千米，几小时后两车相遇？”学生读题后，教师不急于让学生列式，而是要求学生先画线段图表示题意。学生画图过程中，教师巡视指导，重点关注线段图是否准确反映出两地距离、两车行驶方向、速度大小等关键信息。展示学生作品后，教师引导全班评议：线段图中应该标出哪些数据？用什么符号表示两车行驶的方向？如何表示相遇的位置？通过讨论形成规范的线段图画法。然后学生根据线段图分析数量关系：两车每小时共行65+55=120千米，相距450千米，需要的时间就是450÷120=3.75小时。教师引导学生总结：线段图把抽象的文字变成了直观的图形，帮助我们理清了路程、速度、时间三者之间的关系【高频考点】。

接着，教师呈现变式问题：“甲乙两车同时从相距450千米的两地相对开出，甲车每小时行65千米，乙车每小时行55千米，甲车先行1小时后乙车才出发，两车相遇时乙车行了多少小时？”学生再次尝试画线段图分析。这次的情况更复杂，需要表示出甲车先行的路程。通过线段图的直观呈现，学生清晰地看到：总路程450千米减去甲车先行的65千米，剩下的路程才是两车共同行驶的，所以列式为(450-65)÷(65+55)。通过两次画图分析，学生深刻体会到面对复杂的行程问题，画线段图是最有效的分析工具【重要】。

第二层次：示意图解决植树与方阵问题。教师呈现问题：“在一条长120米的道路一边每隔8米栽一棵树，两端都栽，需要多少棵树苗？”学生读题后，教师引导学生画示意图。可以用小竖线表示树，用线段表示道路，标出间隔长度和总长度。从图中学生直观看到：120米的道路，每隔8米分成一段，可以分成120÷8=15段，两端都栽树时，棵树比段数多1，所以是16棵。教师追问：“如果一端不栽，或者两端都不栽，棵树和段数又是什么关系？”学生通过画图比较，自己总结出三种情况下棵树与段数的关系，不再死记硬背公式【基础】。

教师再呈现方阵问题：“同学们排成方队做操，最外层每边有8人，最外层一共有多少人？”学生尝试画出示意图，可以用圆圈表示人，画出每边8人的正方形点阵。通过数点，学生发现最外层的人数不等于8×4，因为四个角上的人被重复计算了。正确的算法是(8-1)×4=28人，或者8×4-4=28人。通过示意图，学生清晰地看到角上人数的特殊性，避免了常见的计算错误【热点】。

第三层次：集合图解决重叠问题。教师呈现问题：“四（1）班有45人，喜欢语文的有28人，喜欢数学的有32人，两科都喜欢的有18人。这个班有多少人至少喜欢一科？有多少人两科都不喜欢？”这是典型的包含与排除问题，学生理解起来有一定困难。教师引导学生画集合图（韦恩图）：用一个圆圈表示喜欢语文的人，另一个圆圈表示喜欢数学的人，两个圆圈相交的部分表示两科都喜欢的人。学生根据题意填图：相交部分填18，那么只喜欢语文的是28-18=10人，只喜欢数学的是32-18=14人。从图中直观看到，至少喜欢一科的人数是10+18+14=42人，两科都不喜欢的人数是45-42=3人。通过集合图，抽象的数量关系变得一目了然，学生轻松掌握了包含与排除问题的解题方法【难点】。

（五）智慧课堂，即时反馈——在技术支持下深化理解

本环节借助智慧课堂技术手段，实现即时反馈和精准指导。教师通过平板电脑推送一组分层练习题，学生在线作答，系统实时统计正确率和完成时间。教师根据数据反馈，精准把握学情，针对错误率较高的题目进行重点讲评【重要】。

第一层：基础练习。1、根据算式25×24=600，在下图中找出对应的部分，并说明25×24还可以写成哪些算式？2、一个三角形的两个角分别是35°和65°，第三个角是多少度？这是一个什么三角形？3、在一条50米长的跑道一边每隔5米插一面彩旗（两端都插），一共需要多少面彩旗？学生在线作答，正确率达到90%以上，说明基础知识掌握扎实【基础】。

第二层：综合练习。1、用两种方法计算下图的面积（图略），并说明运用了什么运算定律。2、四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，请根据规律计算十边形的内角和是多少度？3、甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，甲每分钟走60米，乙每分钟走40米，20分钟后两人相遇。请画出线段图，并计算A、B两地的距离。这一层题目需要一定的综合能力，正确率在75%左右，部分学生在画线段图时存在数据标注不全的问题，教师针对性指导【重要】。

第三层：拓展练习。1、如下图（点阵图），第10个点阵图共有多少个点？2、四（2）班有52人，参加书法小组的有30人，参加绘画小组的有28人，两个小组都参加的有15人。有多少人两个小组都没有参加？3、一个长方形操场长80米，宽60米，现在要在操场的四周每隔5米插一面彩旗（四个角都要插），一共需要多少面彩旗？这一层题目思维含量高，正确率约60%，教师引导学生小组讨论，鼓励多种解法，并在全班展示交流【拓展】【热点】。

通过智慧课堂的数据反馈，教师发现学生普遍存在的问题主要集中在：复杂情境中画图不够规范，数据标注不全；数形转化的灵活性有待提高，遇到新问题不知如何构造图形；部分学生仍然习惯于直接列式，缺乏主动画图的意识。针对这些问题，教师在后续的讲评中进行了强化指导【重要】。

（六）总结提升，构建网络——在反思中升华数学思想

本环节引导学生对全课所学进行系统梳理和总结提升。教师提出问题：“通过今天的学习，你对数形结合有了哪些新的认识？在什么情况下你会想到用图形来帮助思考？”学生畅谈收获：有的说原来运算定律可以用面积图来解释，理解得更深刻了；有的说遇到复杂的应用题，画图能让数量关系变得清清楚楚；有的说发现图形中藏着许多数学规律，用计算可以找到这些规律。教师引导学生将这些收获整理成知识网络图，将零散的认知结构化【非常重要】。

教师进一步升华：“数与形是数学的两大支柱，它们就像一对形影不离的好朋友。华罗庚爷爷说过一句话——‘数缺形时少直观，形少数时难入微’。意思是说，只有数没有形，数学就缺少直观；只有形没有数，数学就不够精确。所以，我们要学会在数和形之间自由穿梭，让它们互相帮助、互相补充。”学生齐读华罗庚的名言，加深对数形结合思想的理解和认同【重要】。

最后，教师布置课后作业：1、整理本册教材中用到数形结合的知