2024-2025学年北京市东城区东直门中学七年级（下）期中数学试卷及答案解析

第1页（共1页）2024-2025学年北京市东城区东直门中学七年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）4的算术平方根是（）A．±2 B．± C． D．22．（2分）皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图就是皮影戏中孙悟空的一个形象，在下面的四个图形中，能由图经过平移得到的图形是（）A． B． C． D．3．（2分）设a＞b，下列用不等号连接的两个式子中错误的是（）A．a﹣1＞b﹣1 B．a+1＞b+1 C．2a＞2b D．﹣0.5a＞﹣0.5b4．（2分）如图，在数轴上表示实数的点可能是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N5．（2分）下列调查方式，最适合全面调查的是（）A．检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准 B．了解某班学生一分钟跳绳成绩 C．了解北京市中学生视力情况 D．调查某批次汽车的抗撞击能力6．（2分）若点P（﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＜17．（2分）如图，直线AB、CD相交于点O，EF⊥AB于O，且∠COE＝50°，则∠BOD等于（）A．40° B．45° C．55° D．65°8．（2分）下列命题中，假命题是（）A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．同旁内角互补 C．无限不循环小数是无理数 D．平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应9．（2分）如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲→A→D→乙；②甲→B→D→乙；③甲→B→C→乙，对于这三条路线的长度，下列结论正确的是（）A．①＞②＞③ B．①＜②＜③ C．①＜②＝③ D．①＝②＝③10．（2分）甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（）A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了二、填空题（每题2分，共16分）11．（2分）的相反数是．12．（2分）在直角坐标系中，P点坐标为（﹣2，1），则点P到x轴的距离为．13．（2分）若是关于x和y的二元一次方程ax+y＝1的解，则a的值为．14．（2分）如图，棋盘中，若“帅”位于点（1，0），“相”位于点（3，0），则“炮”位于点．15．（2分）我们知道，由角的数量关系可得两条直线的位置关系．如图，为使AB∥DC成立，请写出一组角的数量关系作为条件：．16．（2分）如图是一个可折叠的衣架，AB是地平线，当∠1＝∠2时，PM∥AB；∠3＝∠4时，PN∥AB，就可确定点N，P，M在同一条直线上的依据是．17．（2分）图中显示了15名七年级学生国家安全知识竞赛成绩和航天知识竞赛成绩（单位：分）．例如：甲同学的国家安全知识竞赛成绩为40分，航天知识竞赛成绩为70分这15名学生中，国家安全知识竞赛成绩与航天知识竞赛成绩相等的有人．18．（2分）初三年级某班有40名学生，所在教室有5行8列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移[a，b]＝[m﹣i，n﹣j]，并称a+b为该生的位置数．若小明原来的座位为（4，3），调整后的座位为（2，4），小明的位置数为；若某学生的位置数为8，则当m+n取最小值时，m•n的最大值为．三、解答题（19-23题每题5分，24-26题每题6分，27-29题每题7分）19．（5分）计算：．20．（5分）解方程组：．21．（5分）解不等式：x+3（x﹣1）＜7．22．（5分）求不等式组的正整数解．23．（5分）某篮球架及侧面示意图如图所示．若∠EDC＝150°，DE∥AB，CB⊥AB于点B，求∠GCB的度数．由题意，可过点C作AB的平行线CM，请在图中画出辅助线CM，补全依据并完成解题过程．解：过点C作CM平行于AB，∵DE∥AB，CM∥AB，∴DE∥CM（①），∴∠DCM+∠EDC＝180°（②），∴∠DCM＝180°﹣∠EDC＝180°﹣150°＝30°，∵CM∥AB，∴∠BCM＝∠CBA（两直线平行，内错角相等），∵CB⊥AB于点B，∴∠CBA＝90°（③），∴∠BCM＝90°，∴∠GCB＝180°﹣∠BCM﹣∠DCM＝④°（平角的定义）．24．（6分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置，将点A向下平移5个单位到点C，点B为（2，1）．（1）写出点C的坐标为．（2）画出三角形ABC，并求出三角形ABC的面积．（3）若点D在y轴上，且三角形ABD的面积等于三角形ABC面积的一半，直接写出点D的坐标．25．（6分）3月14日是国际数学日，也称“π日”．今年3月14日某校七年级300名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生可获得“π日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了m名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）：根据以上信息，完成下列问题．（1）下列抽取样本的方式中，最合理的是（填写序号）；①从七年级的学生中抽取m名男生；②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取m名学生；③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取m名学生．（2）写出m的值，并补全频数分布直方图；（3）100≤x≤120这一组对应的扇形的圆心角度数是；（4）80≤x＜100这一组的学生积分是：81，82，90，93，93，93，96，98，98，请估计七年级学生获得“π日”徽章的人数．26．（6分）北京丰台站是亚洲最大铁路枢纽客站，北京丰台站交通枢纽是北京丰台站的重要配套工程，设计施工中采用了绿色建筑设计及建造技术，通过设置空气源热泵、节能灯具、高性能建材等，节约能源及建筑材料．北京丰台站交通枢纽将在2023年年内实现主体结构封顶．施工单位租用两种车型为交通枢纽运送高性能建材，若用2辆A型车和1辆B型车载满高性能建材，一次可运送10吨：用1辆A型车和2辆B型车载满高性能建材，一次可运送11吨．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都载满高性能建材，一次分别可运送多少吨？（2）现有高性能建材31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满高性能建材．①请你帮施工单位列出所有可能的租车方案；②若1辆A型车需租金300元/次，1辆B型车需租金320元/次，则最少的租车费是元．27．（7分）设x是实数，现在我们用{x}表示不小于x的最小整数，如{3.2}＝4，{﹣2.6}＝﹣2，{4}＝4，{﹣5}＝﹣5．在此规定下任一实数都能写出如下形式：x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1．（1）{x}与x，x+1的大小关系是以下哪种情况：；①x≤{x}≤x+1；②x≤{x}＜x+1；③x＜{x}≤x+1．（2）根据（1）中的关系式解决下列问题；①求满足{x+1}＝4的x取值范围；②解方程：{3.5x﹣2}＝2x．28．（7分）如图1，对于两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角∠α，∠β满足∠β＝∠α+30°，则称∠β是∠α的关联角．（1）已知∠β是∠α的关联角．①当∠α＝50°时，∠β＝°；②当2∠α﹣∠β＝45°时，直线l1，l2的位置关系为；（2）如图2，已知∠AGH是∠CHG的关联角，点O是直线EF上一定点．①求证：∠DHG是∠BGH的关联角；②过点O的直线MN分别交直线CD，AB于点P，Q，且∠CHG＝80°．当∠EOP是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的∠EOP的度数为．29．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），对于点P（x，y），将点Q（x+a，y﹣b）称为点P关于点M的关联点．（1）点P（﹣6，7）关于点M（2，3）的关联点Q的坐标是；（2）点A（1，﹣1），B（5，﹣1），以AB为边在直线AB的下方作正方形ABCD．点E（﹣4，1），F（﹣2，2），G（﹣1，0）关于点M（a，4）的关联点分别是点E1，F1，G1．若三角形E1F1G1与正方形ABCD有公共点，直接写出a的取值范围；（3）点P（﹣1，t﹣1），N（2t，5t）关于点M（3，b）的关联点分别是点P1，N1，且点P1在x轴上，点O为原点，三角形OP1N1的面积为3，求点N1的坐标．

2024-2025学年北京市东城区东直门中学七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DDDCBAABDC一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）4的算术平方根是（）A．±2 B．± C． D．2【分析】本题是求4的算术平方根，应看哪个正数的平方等于4，由此即可解决问题．【解答】解：∵2，∴4的算术平方根是2．故选：D．【点评】此题主要考查了算术平方根的运算．一个数的算术平方根应该是非负数．2．（2分）皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图就是皮影戏中孙悟空的一个形象，在下面的四个图形中，能由图经过平移得到的图形是（）A． B． C． D．【分析】根据平移的意义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．【解答】解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是．故选：D．【点评】本题考查了生活中平移的现象，解决本题的关键是熟记平移的定义．3．（2分）设a＞b，下列用不等号连接的两个式子中错误的是（）A．a﹣1＞b﹣1 B．a+1＞b+1 C．2a＞2b D．﹣0.5a＞﹣0.5b【分析】根据不等式的基本性质进行逐一分析即可．【解答】解：A、正确，符合不等式的基本性质1；B、正确，符合不等式的基本性质1；C、正确，符合不等式的基本性质2；D、错误，根据不等式的基本性质3可知，﹣0.5a＜﹣0.5b．故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．4．（2分）如图，在数轴上表示实数的点可能是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【分析】确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．【解答】解：∵9＜15＜16，∴34，∴对应的点是M．故选：C．【点评】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．5．（2分）下列调查方式，最适合全面调查的是（）A．检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准 B．了解某班学生一分钟跳绳成绩 C．了解北京市中学生视力情况 D．调查某批次汽车的抗撞击能力【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．【解答】解：A、检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准，最适合抽样调查，故A不符合题意；B、了解某班学生一分钟跳绳成绩，最适合全面调查，故B符合题意；C、了解北京市中学生视力情况，最适合抽样调查，故C不符合题意；D、调查某批次汽车的抗撞击能力，最适合抽样调查，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．6．（2分）若点P（﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＜1【分析】由第二象限点的纵坐标为正数得出关于m的不等式，解之可得答案．【解答】解：∵点P（﹣3，m﹣1）在第二象限，∴m﹣1＞0，∴m＞1，故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．7．（2分）如图，直线AB、CD相交于点O，EF⊥AB于O，且∠COE＝50°，则∠BOD等于（）A．40° B．45° C．55° D．65°【分析】先根据EF⊥AB于O，∠COE＝50°求出∠AOC的度数，再根据对顶角相等即可得出结论．【解答】解：∵EF⊥AB于O，∠COE＝50°，∴∠AOC＝90°﹣50°＝40°，∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠BOD＝∠AOC＝40°．故选：A．【点评】本题考查的是垂线，熟知互相垂直的两条直线组成的角是90°是解答此题的关键．8．（2分）下列命题中，假命题是（）A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．同旁内角互补 C．无限不循环小数是无理数 D．平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应【分析】根据平行公理的推论、平行线的性质、无理数的概念、实数与数轴判断即可．【解答】解：A、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题，不符合题意；B、两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，符合题意；C、无限不循环小数是无理数，是真命题，不符合题意；D、平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应，是真命题，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．（2分）如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲→A→D→乙；②甲→B→D→乙；③甲→B→C→乙，对于这三条路线的长度，下列结论正确的是（）A．①＞②＞③ B．①＜②＜③ C．①＜②＝③ D．①＝②＝③【分析】将三条路线分别平移，可知这三条路线的长度都是长方形周长的一半．【解答】解：②③的路线平移如图所示：三条路线的长度都等于大长方形周长的一半．故选：D．【点评】本题考查了生活中的平移现象，将三条路线进行恰当的平移是解题的关键．10．（2分）甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（）A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了【分析】直接利用甲、乙、丙、丁四位同学所说结合丙说：“无论丁去不去，我都去．”分别分析得出答案．【解答】解：A、∵丙说：“无论丁去不去，我都去．”∴丙一定去出游，故A选项错误；B、∵乙说：“丙去我就不去．”，∴由选项A可知，乙一定没去，故选项B错误；C、∵丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”∴由选项B可知，甲、丁一定都出游，故甲、丙、丁三个人去了，此选项正确；D、∵乙说：“丙去我就不去．”∴四个人不可能都去出游，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了推理与论证，依次分析得出各选项正确性是解题关键．二、填空题（每题2分，共16分）11．（2分）的相反数是．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：的相反数是，故答案为：．【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．12．（2分）在直角坐标系中，P点坐标为（﹣2，1），则点P到x轴的距离为1．【分析】根据到x轴的距离为纵坐标的绝对值可得答案．【解答】解：∵P点坐标为（﹣2，1），则∴P到x轴的距离为|1|＝1，故答案为：1．【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值．13．（2分）若是关于x和y的二元一次方程ax+y＝1的解，则a的值为3．【分析】将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．【解答】解：将代入原方程中得a﹣2＝1，解得：a＝3，∴a的值为3．故答案为：3．【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．14．（2分）如图，棋盘中，若“帅”位于点（1，0），“相”位于点（3，0），则“炮”位于点（﹣2，3）．【分析】根据“帅”位于点（1，0），“相”位于点（3，0），画出平面直角坐标系，再根据“炮”的位置即可写出“炮”位的坐标．【解答】解：由题意可得，平面直角坐标系如图所示：∴“炮”位于点（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系．15．（2分）我们知道，由角的数量关系可得两条直线的位置关系．如图，为使AB∥DC成立，请写出一组角的数量关系作为条件：∠1＝∠5或∠1+∠2＝180°或∠3+∠4＝180°（答案不唯一）．【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵∠1＝∠5或∠1+∠2＝180°或∠3+∠4＝180°，∴AB∥DC，故答案为：∠1＝∠5或∠1+∠2＝180°或∠3+∠4＝180°（答案不唯一）．【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．16．（2分）如图是一个可折叠的衣架，AB是地平线，当∠1＝∠2时，PM∥AB；∠3＝∠4时，PN∥AB，就可确定点N，P，M在同一条直线上的依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．【解答】解：当∠1＝∠2时，PM∥AB；∠3＝∠4时，PN∥AB，根据“过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，M在同一直线上．故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【点评】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17．（2分）图中显示了15名七年级学生国家安全知识竞赛成绩和航天知识竞赛成绩（单位：分）．例如：甲同学的国家安全知识竞赛成绩为40分，航天知识竞赛成绩为70分这15名学生中，国家安全知识竞赛成绩与航天知识竞赛成绩相等的有2人．【分析】根据横轴表示，纵轴表示航天知识竞赛成绩可得答案．【解答】解：观察图象可知，这15名学生中，国家安全知识竞赛成绩与航天知识竞赛成绩相等的有（70，70），（100，100），共2人．故答案为：2．【点评】本题考查了函数的图象，理清横轴和纵轴表示的意义是解答本题的关键．18．（2分）初三年级某班有40名学生，所在教室有5行8列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移[a，b]＝[m﹣i，n﹣j]，并称a+b为该生的位置数．若小明原来的座位为（4，3），调整后的座位为（2，4），小明的位置数为1；若某学生的位置数为8，则当m+n取最小值时，m•n的最大值为25．【分析】根据题意叙述位置数的定义，即可求出小明的位置数；根据1≤i≤6，1≤j≤8，且i、j都是整数，某生的位置数为8，可得出m+n的最小值，即可求出mn的最大值．【解答】解：∵（m，n）＝（4，3）（i，j）＝（2，4），∴[a，b]＝[4﹣2，3﹣4]＝[2，﹣1]，∴a+b＝2+（﹣1）＝1，即小明的位置数为1．∵[a，b]＝[m﹣i，n﹣j]，∴a+b＝m﹣i+n﹣j＝m+n﹣（i+j），又∵a+b＝8，∴m+n﹣（i+j）＝8，即m+n＝i+j+8，∵1≤i≤6，1≤j≤8，且i、j都是整数，∴m+n的最小值为10，当m＝1，n＝9时，mn＝9，当m＝2，n＝8时，mn＝16，当m＝3，n＝7时，mn＝21，当m＝4，n＝6时，mn＝24，当m＝5，n＝5时，mn＝25，当m＝6，n＝4时，mn＝24，故mn的最大值为25．故答案为：1，25．【点评】本题考查了利用坐标表示位置，几何变换的代数表示法，属于新定义型题目，解答本题需要同学们仔细审题，理解位置数是怎样规定的．三、解答题（19-23题每题5分，24-26题每题6分，27-29题每题7分）19．（5分）计算：．【分析】先算算式平方根，立方根以及绝对值，二次根式的化简，再算加减法，即可求解．【解答】解：．【点评】本题主要考查了实数的混合运算，掌握算式平方根，立方根，二次根式的化简以及绝对值的概念是解题的关键．20．（5分）解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝3，即x＝1，把x＝1代入①得：y＝﹣1，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．21．（5分）解不等式：x+3（x﹣1）＜7．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：x+3（x﹣1）＜7，x+3x﹣3＜7，x+3x＜7+3，4x＜10，x＜2.5．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．22．（5分）求不等式组的正整数解．【分析】先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的正整数解即可．【解答】解：，解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥﹣3，所以不等式组的解集是﹣3≤x＜2，所以不等式组的正整数解是1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．23．（5分）某篮球架及侧面示意图如图所示．若∠EDC＝150°，DE∥AB，CB⊥AB于点B，求∠GCB的度数．由题意，可过点C作AB的平行线CM，请在图中画出辅助线CM，补全依据并完成解题过程．解：过点C作CM平行于AB，∵DE∥AB，CM∥AB，∴DE∥CM（①若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行），∴∠DCM+∠EDC＝180°（②两直线平行，同旁内角互补），∴∠DCM＝180°﹣∠EDC＝180°﹣150°＝30°，∵CM∥AB，∴∠BCM＝∠CBA（两直线平行，内错角相等），∵CB⊥AB于点B，∴∠CBA＝90°（③垂直的定义），∴∠BCM＝90°，∴∠GCB＝180°﹣∠BCM﹣∠DCM＝④60°（平角的定义）．【分析】根据平行线的判定画图即可；根据平行线的判定与性质填空即可．【解答】解：如图，在BC的右侧作∠BCM＝∠ABC，作直线CM，则直线CM即为所求．∵DE∥AB，CM∥AB，∴DE∥CM（若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行），∴∠DCM+∠EDC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠DCM＝180°﹣∠EDC＝180°﹣150°＝30°，∵CM∥AB，∴∠BCM＝∠CBA（两直线平行，内错角相等），∵CB⊥AB于点B，∴∠CBA＝90°（垂直的定义），∴∠BCM＝90°，∴∠GCB＝180°﹣∠BCM﹣∠DCM＝60°（平角的定义）．故答案为：①若两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行；②两直线平行，同旁内角互补；③垂直的定义；④60．【点评】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．24．（6分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置，将点A向下平移5个单位到点C，点B为（2，1）．（1）写出点C的坐标为（﹣2，﹣4）．（2）画出三角形ABC，并求出三角形ABC的面积．（3）若点D在y轴上，且三角形ABD的面积等于三角形ABC面积的一半，直接写出点D的坐标．【分析】（1）由图可得，点A的坐标为（﹣2，1），根据平移的性质可得答案．（2）根据点A，B，C的坐标描点再连线即可；利用三角形的面积公式计算即可．（3）设点D的坐标为（0，m），根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案．【解答】解：（1）由图可得，点A的坐标为（﹣2，1），∵点A向下平移5个单位到点C，∴点C的坐标为（﹣2，﹣4）．故答案为：（﹣2，﹣4）．（2）如图，三角形ABC即为所求．三角形ABC的面积为10．（3）设点D的坐标为（0，m），∵三角形ABD的面积等于三角形ABC面积的一半，∴，解得m或，∴点D的坐标为（0，）或（0，）．【点评】本题考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．25．（6分）3月14日是国际数学日，也称“π日”．今年3月14日某校七年级300名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生可获得“π日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了m名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）：根据以上信息，完成下列问题．（1）下列抽取样本的方式中，最合理的是③（填写序号）；①从七年级的学生中抽取m名男生；②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取m名学生；③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取m名学生．（2）写出m的值，并补全频数分布直方图；（3）100≤x≤120这一组对应的扇形的圆心角度数是81°；（4）80≤x＜100这一组的学生积分是：81，82，90，93，93，93，96，98，98，请估计七年级学生获得“π日”徽章的人数．【分析】（1）根据抽样调查的可靠性可得答案．（2）用20≤x＜40的频数除以扇形统计图中20≤x＜40的百分比，可得m的值；用m的值分别减去其他各组的频数，可得积分为100≤x≤120的频数，补全频数分布直方图即可．（3）用360°乘以积分为100≤x≤120的人数所占的百分比，即可得出答案．（4）由题意可得抽取的40名学生中，积分达到90分及90分以上的学生人数，根据用样本估计总体，用300乘以积分达到90分及90分以上的学生人数所占的百分比，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意知，抽取样本的方式最合理的是③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取m名学生．故答案为：③．（2）由题意得，m＝4÷10%＝40．积分为100≤x≤120的人数为40﹣4﹣11﹣7﹣9＝9（人）．补全频数分布直方图如图所示．（3）100≤x≤120这一组对应的扇形的圆心角度数是360°81°．故答案为：81°．（4）抽取的40名学生中，积分达到9（0分）及9（0分）以上的学生人数为7+9＝16（人），∴估计七年级学生获得“π日”徽章的人数约300120（人）．【点评】本题考频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、抽样调查的可靠性，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体、抽样调查的可靠性是解答本题的关键．26．（6分）北京丰台站是亚洲最大铁路枢纽客站，北京丰台站交通枢纽是北京丰台站的重要配套工程，设计施工中采用了绿色建筑设计及建造技术，通过设置空气源热泵、节能灯具、高性能建材等，节约能源及建筑材料．北京丰台站交通枢纽将在2023年年内实现主体结构封顶．施工单位租用两种车型为交通枢纽运送高性能建材，若用2辆A型车和1辆B型车载满高性能建材，一次可运送10吨：用1辆A型车和2辆B型车载满高性能建材，一次可运送11吨．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都载满高性能建材，一次分别可运送多少吨？（2）现有高性能建材31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满高性能建材．①请你帮施工单位列出所有可能的租车方案；②若1辆A型车需租金300元/次，1辆B型车需租金320元/次，则最少的租车费是2540元．【分析】（1）设1辆A型车和1辆B型车都载满高性能建材，一次分别可运送x吨和y吨，由题意列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可；（2）①由题意可以得到关于a、b的二元一次方程，根据a、b都是正整数可以得到解答；②分别算出由①得到的每种方案的费用，进行比较即可得到解答．【解答】解：（1）设1辆A型车和1辆B型车都载满高性能建材，一次分别可运送x吨和y吨，由题意可得：，解之可得：，答：1辆A型车和1辆B型车都载满高性能建材，一次分别可运送3吨和4吨；（2）①由题意可得：3a+4b＝31，解之可得：或或，∴所有可能的租车方案为：A型车1辆，B型车7辆；A型车5辆，B型车4辆；A型车9辆，B型车1辆；②由题意可得：当a＝1，b＝7时，租车费为：300+320×7＝2540（元），当a＝5，b＝4时，租车费为：300×5+320×4＝2780（元），当a＝9，b＝1时，租车费为：300×9+320＝3020（元），∴最少的租车费是2540元．【点评】本题考查二元一次方程（组）的应用，熟练掌握二元一次方程（组）的列取和求解是解题关键．27．（7分）设x是实数，现在我们用{x}表示不小于x的最小整数，如{3.2}＝4，{﹣2.6}＝﹣2，{4}＝4，{﹣5}＝﹣5．在此规定下任一实数都能写出如下形式：x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1．（1）{x}与x，x+1的大小关系是以下哪种情况：②；①x≤{x}≤x+1；②x≤{x}＜x+1；③x＜{x}≤x+1．（2）根据（1）中的关系式解决下列问题；①求满足{x+1}＝4的x取值范围2＜x≤3；②解方程：{3.5x﹣2}＝2x．【分析】（1）x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1，b＝{x}﹣x，即0≤{x}﹣x＜1，即可判断三者的大小关系；（2）根据（1）中的关系得到关于x的一元一次不等式组，解之即可；②根据（1）中的关系得到关于x的一元一次不等式组，且为整数，即可求解．【解答】解：（1）∵x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1，∴b＝{x}﹣x，即0≤{x}﹣x＜1，∴x≤{x}＜x+1，故答案为：②；（2）①∵{x+1}＝4，∴x+1≤4＜（x+1）+1，解得：2＜x≤3，故答案为：2＜x≤3；②∵，∴，且为整数，解不等式组得：，∴，整数为﹣4，解得：，即原方程的解为：．【点评】本题考查解一元一次不等式组和解一元一次方程，根据题意找出符合要求的关系式并列出关于x的一元一次不等式组是解题的关键．28．（7分）如图1，对于两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角∠α，∠β满足∠β＝∠α+30°，则称∠β是∠α的关联角．（1）已知∠β是∠α的关联角．①当∠α＝50°时，∠β＝80°；②当2∠α﹣∠β＝45°时，直线l1，l2的位置关系为平行；（2）如图2，已知∠AGH是∠CHG的关联角，点O是直线EF上一定点．①求证：∠DHG是∠BGH的关联角；②过点O的直线MN分别交直线CD，AB于点P，Q，且∠CHG＝80°．当∠EOP是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的∠EOP的度数为140°、145°或155°．【分析】（1）①根据关联角所满足的关系式∠β＝∠α+30°即可解答，②解∠β＝∠α+30°与2∠α﹣∠β＝45°构成的方程组，根据∠α和∠β的关系来确定直线l1，l2的位置关系．（2）①由∠AGH与∠BGH、∠CHG与∠DHG的互补关系，求出∠DHG与∠BGH之间的大小关系，进而命题得以证明．②根据直线MN过点O的形式可分4种情况，每种情况均有2个角与∠EOP互为同旁内角，因此共有4种情况，分别解出∠EOP的度数即可．【解答】解：（1）①∵∠β是∠α的关联角，∠α＝50°，∴∠β＝∠α+30°＝50°+30°＝80°．故答案为：80．②由题意可得方程组，解得，∴∠α+∠β＝75°+105°＝180°，∴l1∥l2．故答案为：平行．（2）①证明：∵∠AGH是∠CHG的关联角，∴∠AGH＝∠CHG+30°，又∵∠DHG＝180°﹣∠CHG，∠BGH＝180°﹣∠AGH，∴∠DHG﹣∠BGH＝180°﹣∠CHG﹣（180°﹣∠AGH）＝∠AGH﹣∠CHG＝30°，∴∠DHG＝∠BGH+30°，∴∠DHG是∠BGH的关联角．②当直线MN位于如图所示位置时：∵∠AGH是∠CHG的关联角，∠CHG＝80°，∴∠AGH＝∠CHG+30°＝80°+30°＝110°．若∠EOP是∠AGO的关联角，则∠EOP＝∠AGO+30°＝110°+30°＝140°．若∠EOP是∠CPO的关联角，则∠EOP＝∠CPO+30°＝80°+180°