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文档简介
蝴蝶定理及其推广和应用阳友雄广东省珠海市第一中学平沙校区一、蝴蝶定理1815年在英国的一份通俗杂志《男士日记》征解栏内刊出一道命题，征解当年由英国一个自学成才的中学数学教师霍纳（W.G.Horner）给出了第一个证明,其后各种证法不断出现，1944年第2期的《美国数学月刊》由其图形像一只翩翩飞舞的蝴蝶而命名为蝴蝶定理(蝴蝶定理)如图，过圆的弦的中点任作两弦，连接分别交弦于，求证：证明：设,，则有，在中，由正弦定理得由相交弦定理得同理可得得二、蝴蝶定理在圆上的推广如图，是圆内的任意一点，是过点的两条弦，且分别与交于，连接依次交于，记,，则证明：连接，则即，设，代入上述比例式中得，化简得注意到，则上式可化为即，两边同除以，则,即，推论1：（坎迪定理），当在上时，重合,所以，则，推论2：（蝴蝶定理）若为中点，此时，立得，也即有名的蝴蝶定理三、蝴蝶定理在圆锥曲线上的推广（圆锥曲线蝴蝶定理）过二次曲线的弦的中点任作两弦和，若过的任意二次曲线与交于，则有证明：以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，设,方程为,方程为设二次曲线方程为，令,则与是方程的两根，故则过的二次曲线系方程为令,得，则与是方程的两根所以,即四、蝴蝶定理的应用例1：设在四边形中，对角线与交于的中点,是过的任意两条直线，分别交于,连接分别交于,则证明：如图，因为六边形的三组对边与，与，与的交点在同一直线上，故在同一二次曲线上,又因为是的中点,所以,由蝴蝶定理可知2003年北京高考数学卷第18（=3\*ROMANIII）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明例2:在圆锥曲线中，过弦中点任作两条弦和，直线与交直线于，则有.证明：如图，以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为(*)，设，则是的两根，故.若和有一条斜率不存在，则与重合，结论成立.若和斜率
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