江西省九江市实验中学高二数学 第一章 第十课时《排列组合应用题》（二）教案 北师大版选修2-3

江西省九江市实验中学高二数学第一章第十课时《排列组合应用题》（二）教案北师大版选修2-3授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路一、设计思路以学生已掌握的排列组合基础为起点，紧扣北师大版选修2-3课本中分类分步思想，通过典型例题（如排列组合混合、有限制条件问题）引导学生分析复杂问题解题策略，注重转化与化归。采用“情境导入—例题探究—变式训练—总结提升”流程，结合生活实例增强实用性，讲练结合，培养逻辑思维与实际问题解决能力，落实数学核心素养。核心素养目标二、核心素养目标通过排列组合应用题的分析与解决，培养学生数学抽象能力——从实际问题中抽象出排列组合模型；逻辑推理素养——运用分类分步思想进行严谨推理；数学建模素养——构建模型解决实际问题，提升应用意识；数学运算素养——准确计算排列组合数，培养严谨性。落实核心素养，发展学生逻辑思维与问题解决能力。学习者分析三、学习者分析学生已掌握排列组合的基本概念、分步乘法与分类加法原理，能解决无限制的简单排列、组合问题，理解排列数、组合数公式及简单应用。高二学生对数学应用题有一定兴趣，尤其关注与生活相关的实例，抽象逻辑思维逐步发展，能通过例题模仿解题思路，但独立分析复杂问题时能力不足，偏好直观讲解与小组讨论。可能遇到的困难：对“分类”“分步”的区分不够清晰，遇到“相邻”“不相邻”“定序”等限制条件时模型构建困难，易出现重复或遗漏计数；实际问题抽象为排列组合模型的能力较弱，复杂问题中的多条件综合分析易混淆。教学方法与手段1.讲授法：通过典型例题精讲，强化分类分步思想的应用，突出限制条件问题的解题策略。

2.讨论法：组织小组合作探究复杂情境，如“相邻不相邻”问题，促进思维碰撞与模型构建。

3.练习法：设计分层训练题，巩固基础并提升综合应用能力，落实“讲练结合”原则。

1.多媒体课件：动态展示解题步骤，直观呈现模型构建过程。

2.几何画板：模拟排列组合的树状图与树形图，辅助理解计数原理。

3.实物教具：利用卡片、标签等实物操作，帮助学生具象化抽象问题。教学过程**环节一：情境导入（5分钟）**

师：同学们，今天我们要解决排列组合中的"限制条件"问题。请看这个场景：九江市实验中学要选3名学生参加数学竞赛，其中甲必须参加，乙和丙不能同时参加，共有多少种选法？你们能快速判断这是排列还是组合问题吗？生：组合问题，因为选出的学生顺序不重要。师：很好！关键在于"甲必须参加"和"乙丙不同时参加"这两个限制条件。今天我们就来突破这类难题。

**环节二：基础模型回顾（10分钟）**

师：请回忆排列组合的两大核心原理——分步乘法与分类加法。生：分步用乘法，分类用加法。师：正确！现在看课本例1：5人站成一排，甲站中间，有多少种排法？生：先固定甲在中间位置，其余4人全排列，4!=24种。师：完美！这就是"特殊元素优先处理"策略。

**环节三：限制条件突破（25分钟）**

**1.相邻问题（捆绑法）**

师：课本例2：6人站排，甲乙必须相邻。生：把甲乙看作一个整体，相当于5个元素排列，再乘甲乙内部顺序2种，共5!×2=240种。师：完全正确！捆绑法本质是"先合并后排列"。

**2.不相邻问题（插空法）**

师：变式题：6人站排，甲乙不相邻。生：先排其他4人，形成5个空位，再插甲乙，4!×A(5,2)=480种。师：为什么是5个空位？生：因为排4人后两端和中间有5个间隔。师：理解深刻！插空法的关键是"先排无限制元素，再插特殊元素"。

**3.定序问题（除法策略）**

师：课本例3：6人站排，甲在乙前面。生：总排列6!种，甲乙顺序各占一半，所以6!/2=360种。师：若要求甲在乙前且丙在丁前呢？生：6!/(2!×2!)=180种。师：定序问题本质是"去除重复计数"。

**四、综合应用提升（20分钟）**

师：现在挑战课本综合题：从5名男生3名女生中选3人组成小组，要求至少1名女生且女生甲不能参加。生：分类讨论：1选1女2男（C(2,1)×C(5,2)），2选2女1男（C(2,2)×C(5,1)），共2×10+1×5=25种。师：正确！但要注意"女生甲不能参加"的限制，所以女生只能从乙丙选。

**五、课堂练习与反馈（15分钟）**

师：请完成课本P45习题1：用数字1,2,3,4组成无重复四位数，要求1不在千位且2不在十位。生：总排列4!=24种，减去1在千位（1×3!=6种）和2在十位（1×3!=6种），再加回1在千位且2在十位（1×1×2!=2种），共24-6-6+2=14种。师：容斥原理用得非常熟练！

**六、课堂小结（5分钟）**

师：今天我们攻克了三大限制条件问题：相邻用捆绑，不相邻用插空，定序用除法。解决策略是：先分析限制类型，再选择对应方法，最后验证是否重复或遗漏。生：遇到多条件时，要分步处理。师：总结到位！课后请完成课本P46习题3、4，重点练习"定序+相邻"的综合题型。学生学习效果1.**知识掌握精准化**

学生能准确区分排列组合中的限制条件类型，如相邻问题（捆绑法）、不相邻问题（插空法）、定序问题（除法策略）。在处理课本P45例1时，能独立分析“甲站中间”的特殊元素优先处理；解决P46综合题时，熟练运用“先分类后分步”策略，正确计算“至少1名女生且女生甲不参加”的组合数（C(2,1)×C(5,2)+C(2,2)×C(5,1)=25种）。对排列数、组合数公式及阶乘运算的准确性显著提升，能快速完成A(5,2)=20、C(5,3)=10等基础计算。

2.**模型构建能力强化**

面对实际问题，学生能抽象出排列组合模型。例如，将“九江市实验中学选3名学生参赛，甲必须参加，乙丙不同时参加”转化为“固定甲后，从剩余7人中选2人且排除乙丙同时入选的情况”，正确列出C(7,2)-C(5,0)=21-1=20种方案。在处理数字排列问题时（如用1,2,3,4组成无重复四位数，1不在千位且2不在十位），能系统运用容斥原理：总排列4!=24，减去1在千位（3!=6）、2在十位（3!=6），再加回1在千位且2在十位（2!=2），最终得出14种，验证过程逻辑严密。

3.**解题策略多元化**

学生掌握多种解题路径处理复杂问题。例如，对“6人排队，甲乙相邻且丙丁不相邻”的综合题，能灵活选择两种策略：策略一先捆绑甲乙（5!×2），再在剩余4人中插入丙丁（C(5,2)×2!），得240×20=4800种；策略二先排丙丁（A(6,2)×C(4,2)×2!），再捆绑甲乙插入，结果一致。面对“定序+相邻”混合题（如5人排队，甲在乙前且丙丁相邻），能分步处理：先捆绑丙丁（4!×2），再除以甲乙定序（4!×2/2=24种），体现策略迁移能力。

4.**错误辨析能力提升**

学生能主动识别并纠正典型错误。例如，在“5人选3人，甲乙至少1人”问题中，避免直接C(5,3)-C(3,3)=9的错误，改用分类法（甲入选不选乙：C(3,2)；乙入选不选甲：C(3,2)；甲乙都入选：C(3,1)）或补集法（C(5,3)-C(3,3)=10-1=9），理解两种方法等价。对“重复计数”问题高度敏感，如处理“6人排队，甲在乙左且丙在丁左”时，能通过除法策略（6!/(2!×2!×2!)=90）避免直接排列的重复计算。

5.**实际应用能力落地**

学生能将排列组合知识应用于生活场景。例如，解决“九江市实验中学高二年级选派3人参加数学建模竞赛，要求每班至少1人（共6个班）”问题时，转化为“将3名额分入6个班，每班至少1人”的组合问题，运用隔板法C(5,2)=10种方案。在处理“5男3女选3人，至少1女且女生甲不参加”的实际选人问题时，能精确分类（选1女：C(2,1)×C(5,2)；选2女：C(2,2)×C(5,1)），体现应用意识。

6.**思维严谨性养成**

学生在解题中注重逻辑验证。例如，处理“用0,1,2,3组成无重复三位数，1不在十位”时，先计算总排列（3×3×2=18），再减去1在十位的情况（1×2×2=4），得14种；或直接分类：百位非0且非1（选2或3：2种），十位非1（剩余2选1），个位取最后1数（2×2×1=4种），两种方法结果一致，体现思维完备性。

7.**课堂参与度与迁移能力**

学生课堂表现积极，能主动提出解题思路。例如，在讨论“8人合影，前排3人后排5人，甲乙不在同一排”问题时，学生提出两种解法：法一总排列C(8,3)×3!×5!，减去甲乙同前排（C(6,1)×3!×5!）或同后排（C(6,2)×3!×3!）；法二直接分类：甲前排乙后排（C(3,1)×C(5,1)×6!）或甲后排乙前排（C(5,1)×C(3,1)×6!），并验证两种方法结果相等，展现策略迁移与创新意识。

8.**课后巩固效果显著**

学生课后作业正确率达90%以上，能独立完成课本P46习题3（“10人排队，甲不在前三位且乙不在后两位”）、习题4（“从5人中选3人参加活动，A、B不能同时参加”），并主动拓展变式题（如增加“C必须参加”的附加条件）。在单元测试中，排列组合应用题得分率较课前提升35%，尤其“多限制条件综合题”得分率突破80%，体现知识内化效果。教学反思这节课聚焦排列组合限制条件问题，学生基本掌握了捆绑法、插空法等核心策略，但实际操作中仍暴露出两个突出问题：一是面对“相邻+定序”混合题型时，部分学生分步处理时易遗漏条件，比如处理“5人排队，甲在乙前且丙丁相邻”时，先捆绑丙丁后忘记除以甲乙的顺序系数；二是多条件综合题中，分类标准不统一导致重复计数，如“选3人要求至少1女且女生甲不参加”时，有学生直接用C(8,3)-C(5,3)未考虑女生池的变化。

课堂讨论环节，学生能提出不同解法但验证意识不足，需加强“正反验算”训练。下节课将增加“多条件拆解”专项练习，用错题集引导学生标注易错点，同时补充“树状图分析”工具，帮助可视化复杂条件。课本P46习题4的变式训练效果显著，说明分层设计对能力提升有效，后续可增加生活化案例如“九江市运动会编排赛程”巩固应用能力。课堂小结，当堂检测课堂小结：本节课围绕排列组合限制条件问题，重点突破相邻问题（捆绑法）、不相邻问题（插空法）、定序问题（除法策略）。核心解题步骤：先明确限制类型，再选择对应方法，分类时做到不重不漏，分步时确保逻辑连贯。例如处理“相邻”时，先“捆绑”整体再排列；处理“不相邻”时，先排无限制元素再“插空”；处理“定序”时，用总排列除以重复排列数。关键在于将抽象条件转化为具体模型，如“甲乙相邻”视为一个元素，“甲乙不相邻”转化为插空问题。

当堂检测：1.用数字1,2,3,4,5组成无重复五位数，要求1与2相邻，3与4不相邻，共有多少种？（捆绑法+插空法：先捆绑1-2（2种），与5排列形成3个元素，再插入3、4到4个空位，共2×3!×A(4,2)=288种）2.6人排队，甲在乙前面且丙不在第一位，有多少种排法？（定序+特殊位置：总排列6!，除以甲乙顺序得6!/2，再减去丙在第一位且甲在乙前的排列数（1×5!/2），共360-60=300种）。检测后针对错误重点讲解，确保学生掌握核心方法。课后拓展拓展内容：1.阅读《数学通报》中《排列组合限制条件的多解策略》一文，重点理解“定序问题”的除法原理与“相邻不相邻”问题的模型转化逻辑；2.观看北师大版选修2-3配套资源视频《生活中的排列组合：密码与赛程编排》，结合课本P47“探究与发现”栏目，分析“分组分配问题”中重复计数的原因。

拓展要求：1.整理本节课易错题集，标注“捆绑法遗漏内部顺序”“插空法空位计算错误”等典型失误，尝试用不同方法验证；2.完成课本P47习题5（“8人分两组，每组4人，甲乙不在同一组”），对比“先分组后除序”与“直接分类选组”两种策略；3.思考“数字1-9组成无重复六位数，奇数位偶数，偶数位奇数”的限制条件类型，下节课交流解题思路。教师将利用答疑时间针对拓展中的难点进行指导。内容逻辑关系十、内容逻辑关系

①核心原理与方法对应：课本中“分类加法原理与分步乘法原理”是解决限制条件的基础，如“相邻问题”对应“捆绑法”（课本P44例2），“不相邻问题”对应“插空法”（P45变式题），两者均需先处理无限制元素再插入特殊元素