高中数学必修4知识总结3

高中数学必修四知识点总结

正角：按逆时针力向旋转形成的角

1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角

2.角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几

象限角.第一象限角的集合为

第二象限角的集合为同h360+90<h360+180。,丘Z}

第三象限角的集合为卜卜360+180va<h360'+270/eZ}

第四象限角的集合为卜•360+270va<h360。+360,火Ez}

终边在x轴上的角的集合为{a|a=h180/wZ}

终边在y轴上的角的集合为{a|a=&J80+90MwZ}

终边在坐标轴上的角的集合为{a|a=H90,AEZ}

3.与角终边相向的角的集合为

4.已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的

上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第儿象限对应的标号即为终边所落在的

区域.

5.长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角.

6.半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是.

7、弧度制与角度制的换算公式：，，.

8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，

则，，

9、（一）设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点尸（x,y）,那么：（1）》叫做a的正弦,记做sina,

即sina=y；（2）x叫做a的余弦，记做cosa,即cosa=x：（3））叫做。的正切，记做tana,即

x

V

tana=—0）。

x

（-）设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则

10：三.函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象

限余弦为正.

11.三角函数线：，，.

12.同角三角函数的基本关系式：

9■•

13.三角函数的诱导公式：

口诀：函数名称不变，符号看象限.

口:诀：函数名改变，符号看象限.

14.图像变换的两种方式：

（一）函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象（＞0是左移；

＜0是右移）；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得

到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），

得到函数的图象.

（-）函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原夹的倍（纵坐标不变），得到函数的

图象：再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度（＞0是左移；＜0是右移）；得

到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），

得到函数的图象.

函数的性质：

①振幅；②周期：；③频率:；④相位：；⑤初相：.

函数，当时，取得最小值为当时，取得最大值为，则，，.

15、正弦函

数、余弦函

数和正切

y=sinxy=cosxy=tanx

函数的图

象与性质：

数

3J

图象n22Ji

0X

.IT._,

定义域RR

2

值域[-M]［-M］R

当时，；当当时，

时，.

y皿=1；当x=2kr+万

时，.

最值时，.既无最大值也无最小值

（2£Z）时，y=-1.

min时，.

（0Z）时,jmin=-1.

周期2乃27r71

奇偶性奇函数偶函数奇函数

c,乃C/兀在［2Qr-乃,2&司［&wZ）上是

在2k兀,2攵乃+一.1।.JT.7T

22_在|kjr,kjtH—

单调性122；

增函数；在［2版,2攵4+句

（丘Z）上是增函数;在上是增函数.

上是减函数.

知3乃］(ZEZ)上是减函数.(ZEZ)上是增函数.

L22J

上是减函数.

(ZcZ)上是减函数.

对称中心仕匹0)(8wZ)JT

对称中心k;i+2,0(ZEZ)对称中心,0)(kwZ)

<2/

对称性

对称轴x=及用+GZ)

对■称轴x=kji^kGZ)无对称轴

16.三角函数奇偶性规律总结(Aw0,ow0)

函数y=Asin(/x+。)为奇函数的条件为。=4肛攵£Z

函数y=Asin(s+0)为偶函数的条件为。=k7i+JkeZ

7T

函数y=Acos«"+。)为奇函数的条件为。=攵"十万,攵wZ.

函数y=Acos(ax+0)为偶函数的条件为。=攵4,攵WZ

函数为奇函数的条件为它不可能是偶函数.

17.向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为的向量.

单位向量：长度等于个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.

规定：零向量与任一向量平行.

相等向量：长度相等且方向相同的向量.相反向量：长度相等且方向相反的向量.

18、向量加法：⑴三角形法则的特点：首尾相连.⑵平行四边形法则的特点：共起点.

⑶三角形不等式：.

⑷运算性质：①交换律：

A

②结合律：；③.

⑸坐标运算：设，，则

a-b-AC-A^-BC

19、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向减向量的终点指向被减向量终点.(见上图)

⑵坐标运算：设，，则.

设、两点的坐标分别为，，则.

20、向量数乘运算：

⑴实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作.

①：②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.0二

⑵运算律：①；②；③.⑶坐标运算：设，则.

a

（4）。。狈向表示与涮方向的单位向量,表示与日反方向的单位向量。

同

21向量共线条件：（1）向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使.

⑵共线的坐标表示，设，，其中，则当且仅当时，向量、共线.

22.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意

向量，有且只有一对实数、，使.（不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的一组

基底）

小结论：（1）若、是同一平面内的两个不共线向量，

（2）若、是同一平面内的两个不共线向量，

23.分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，可推出点

的坐标是.（会写出向量坐标，会运算。）

24.平面向量的数量积：

⑴定义：.零向量与任一向量的数量积为.

：在方向上的投影：在方向上的投影

注意：务必要算对两个非零向量的夹角：设两个非零向量回与胤称（3为向量回与回的夹角回，注意在两向量的夹角

定义，两向量必须是同起点的。

⑵性质：设和都是非零向量,则①.

②当与同向时，；当与反向时，；

或.③.

⑶运算律：①；②；③.

⑷坐标运算：设两个非零向量，则

（5）若，则，或.

（6）设，，贝IJ.

（7）设、都是非零向量，是与的夹角,

则COS"%=/中2+工：

25.两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

(Dcos(cr-/7)=coscircos/7+sin6rsinp；(2)cos(cr+/)=cosacos/-sinasin/7；

(3)sin(a-/?)-sinacos4一cosasin/?；⑷sin(a+/)-sinacos£+cosasinP；

⑸变形：（）；

（6）变形：（）.

26.二倍角的正弦、余弦和正切公式:

⑴.变形：

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-\=1-2sin2a=(cosa+sina)(cosa-sina)

变形得到降易公式：

2tana

(3)tan2a=

1-tan2a

27、，其中.

[2010高考题解析，规范解题步骤]已知函数胤其图象过点（团屈）.（I）求回的值；（II）将函数回的图象上各点的

横坐标缩短到原来的团纵坐标不变，得到函数用的图象，求函数回在[0,回上的最大值和最小值.

解：（I）因为130

I+cos2x1

所以/(x)=—sin2xsin°+cos^?--cos^?

2

=1sin2xsin°+gcos2xcoscp

=—(sin2xsin(p+cos2xcos9)

=：cos(2x_p)

又函数图像过点（乙」）

62

所以g=gcos（2x^_Q）

即COS（y=\

又（）＜夕＜乃所以夕=工

（11）由（I）知团，将函数例的图像上各点的横坐标缩短到原来的（3,纵坐标不变，得到函数m的图像，可知

171

g。）=/（2x）=-c