2025~2026学年四川省雅安市高三上学期第一次诊断性考试数学试卷

2025~2026学年四川省雅安市高三上学期第一次诊断性考试数学试卷一、单选题1.已知集合，，则（）

A．B．C．D．2.若复数满足，则（）

A．B．C．D．3.若，则（）

A．B．C．D．4.已知平面向量与的夹角为，，则（）

A．2B．C．D．5.已知函数则方程的实数根的个数为（）

A．B．C．D．6.已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则其离心率的取值范围为（）

A．B．C．D．7.在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（）

A．B．C．D．8.在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（）

A．B．C．D．二、多选题9.如图，函数的图象过，两点，则（）

A．B．C．在区间上的值域为D．将的图象向右平移个单位后得到的函数的图象关于直线对称10.已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上异于长轴的顶点的一点，则下列说法正确的是（）

A．当时，椭圆的离心率为；B．当的面积的最大值为时，椭圆的长轴长的最小值为4；C．已知，当点位于第一象限时，四边形的面积的最大值为；D．已知，则直线与直线的斜率之积为.11.如图，已知正方体的棱长为，分别是的中点，是正方形内（含边界）一动点，则下列说法正确的是（）

A．当四点共面时，点的轨迹的长度为B．平面截正方体所得的截面的形状可能是五边形C．一定是锐角三角形D．当正方形内（含边界）一点满足平面平面时，的最小值为三、填空题12.计算：___________13.甲、乙两人分别从A，B，C，D，E五个景点中随机选择一个景点游玩，若这两人中至少有一人选择景点A，则他们选择的景点不相同的概率为____.14.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如图所示的曲线为卡西尼卵形线且过坐标原点，其中两定点为，，曲线上点在第一象限内且满足的面积为，则_______四、解答题15.已知等差数列的前n项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，为的前n项和，证明：.16.某高校为制定针对性的阅读推广方案，从全校随机抽取400名大学生开展“纸质书阅读偏好”专项调查，收集到的性别与专业交叉数据如下表（单位：人）：

专业类型阅读偏好合计喜欢阅读纸质书不喜欢阅读纸质书文科150120270理工科5080130合计200200400(1)依据的独立性检验，能否认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关？(2)从样本中“喜欢阅读纸质书”的大学生里，按专业类型用分层抽样抽取8人组建“纸质书推广志愿队”，再从这8人中随机抽取3人负责校园书展策划，记最后抽取的3人中，选中的文科学生人数为，求的分布列与数学期望.参考公式：，其中.参考数据：

0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.82817.如图所示，在中，，，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，使得二面角为直二面角.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.18.已知函数.(1)若，证明：；(2)令，若函数在区间上恰有一个零点，求k的取值范围；(3)若，证明：.19.已知曲线上的动点满足，其中，，抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上，线段与抛物线