【专项训练05】圆锥曲线（学生版）

圆锥曲线的综合应用题型归纳题型一：最值问题（24-25高三上·福建福州·月考）已知椭圆经过点，右焦点为(1)求椭圆的方程；(2)若直线与交于两点，且直线与的斜率互为相反数，求的中点与的最小距离．1．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且被的准线截得的弦长为.(1)求的方程；(2)若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围.2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补.(1)求抛物线在点处的切线方程；(2)求的值；(3)若，求面积的最大值.题型二：参数范围问题（23-24高三下·全国·模拟预测）已知椭圆.(1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长；(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.1．（23-24高三下·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)已知点，不过的直线与交于，两点，直线，，的斜率依次成等比数列，求到距离的取值范围.2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.(1)求抛物线的标准方程；(2)抛物线的准线与轴交于点，过的直线交抛物线于两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，求点的横坐标的取值范围.题型三：定值问题（24-25高三上·贵州毕节·期中）已知椭圆的焦距为4，为椭圆上一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的左焦点，直线，为椭圆上任意一点，点到的距离为，点到的距离为，若为定值，求此定值及的值.1．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小为坐标原点.直线过定点.(1)直线与曲线仅有一个公共点，求直线的方程；(2)曲线与直线交于两点，试分别判断直线的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由.2．（24-25高三上·甘肃张掖·模拟预测）已知双曲线的焦距为8，右焦点为，直线与双曲线在一､三象限的交点分别为，且．(1)求双曲线的方程及的面积；(2)直线与双曲线交于两点，若直线与轴分别交于点，且．证明：为定值．题型四：过定点问题（24-25高三上·河南驻马店·开学考试）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.(1)直线与圆相切于点Q，求的值；(2)求曲线C的方程；(3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.1．（24-25高三上·湖北襄阳·月考）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3．(1)求抛物线E的方程；(2)过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点．2．（24-25高三上·天津北辰·期中）已知椭圆：（）的一个焦点为，其短轴长是焦距的倍，点为椭圆上任意一点，且的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设动直线：与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问：轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.题型五：定直线问题（24-25高三上·北京·月考）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，一个焦点为，P是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知的面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆长轴的两个端点分别为，，与相交于点Q，求证：点Q在某条定直线上.1．（23-24高三下·湖南长沙·三模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，.(1)求的方程；(2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.2．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为.(1)求的方程；(2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积；(3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上.题型六：动点轨迹问题（23-24高三下·湖南益阳·一模）已知两点，及一动点，直线，的斜率满足，动点的轨迹记为.过点的直线与交于，两点，直线，交于点.(1)求的方程；(2)求的面积的最大值；(3)求点的轨迹方程.1．（23-24高三下·江西抚州·月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.(1)求的离心率；(2)若△的重心为，点，求的最小值；(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.2．（23-24高三下·安徽合肥·模拟预测）图1为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该接收器的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，以顶点为坐标原点，以直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)求该抛物线的方程；(2)设是该抛物线的准线与轴的交点，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程．题型七：角度关系证明问题（24-25高三上·云南昆明·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)已知点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明：.1．（23-24高三下·山西运城·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的左顶点，点为右支上一点（非顶点），的平分线交轴于(1)过右焦点作于，求；(2)求证：.2．（23-24高三下·广西·二模）已知抛物线，过点作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．(1)证明：P在定直线上；(2)若F为抛物线C的焦点，证明：．题型八：向量共线问题（24-25高三上·四川成都·模拟预测）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且．(1)求椭圆方程；(2)求的取值范围．1．（23-24高三下·山西太原·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为与，点在上，且直线与的斜率之和为.(1)求双曲线的方程;(2)过点的直线与交于两点(均异于点)，直线与直线交于点，求证:三点共线.2．已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点，直线交轴于，直线交轴于．(1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围；(2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值；(3)若直线过点，设，求的值．题型九：存在性问题探究（23-24高三下·上海·三模）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点.(1)求椭圆的离心率；(2)当，且点在轴上方时，求、两点的坐标；(3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.1．（24-25高三上·上海·月考）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点．(1)求双曲线C的方程；(2)求证：直线、的斜率之积为定值；(3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．2．（23-24高三下·西藏拉萨·月考）已知抛物线，准线与轴交于点为抛物线上一点，交轴于点.当时，.(1)求抛物线的方程；(2)设直线与抛物线的另一交点为（点在点之间），过点且垂直于轴的直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.题型十：“非对称”韦达定理（23-24高三上·陕西西安·期中）已知椭圆的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与椭圆相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．1．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．2．（24-25高三上·重庆·月考）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为.(1)求的值；(2)为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值.必刷大题1．（23-24高三下·河北·模拟预测）椭圆：左右顶点分别为，，且，离心率.(1)求椭圆的方程；(2)直线与抛物线相切，且与相交于、两点，求面积的最大值.2．（24-25高三上·河北石家庄·月考）已知焦距为的椭圆的右焦点为，右顶点为，过F作直线与椭圆交于、两点（异于点），当轴时，．(1)求椭圆的方程；(2)证明：是钝角．3．（24-25高三上·重庆·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程.(2)设过点的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．4．（24-25高三上·云南保山·期中）若为抛物线上一点，过作两条关于对称的直线分别另交于两点.(1)求抛物线的方程与焦点坐标；(2)判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.5．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知椭圆：的离心率为，点在上，直线与交于不同于A的两点，．(1)求的方程；(2)若，求面积的最大值；(3)记直线，的斜率分别为，，若，证明：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标．6．（24-25高三上·上海宝山·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点F₂到双曲线.渐近线的距离为(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线与椭圆C交于A、B两点.①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为求实数k的值；②若直线过定点P(0,2)，且k>0，在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形?若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.1．（2024·全国·高考真题）已知和为椭圆上两点.(1)求C的离心率;(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．2．（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为12．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．(1)求椭圆的方程．(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．4．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．5．（2024·上海·高考真题）已知双曲线左右顶点分别