2026年辽宁大连市高三一模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年大连市高三综合模拟考试数学命题人：申丽萍张振华李强刘梅注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效；2.本试卷共150分，考试时间120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．的虚部为（

）A． B． C． D．32．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知等差数列，若，则（

）A．6 B．4 C．3 D．24．若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．5．“的展开式中的系数为”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．8．已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．某人工智能公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示：第x年1234567利润y/亿元2.93.33.64.44.85.25.9根据表中的数据得到y关于x的回归直线方程，则（

）A．y与x之间的相关系数B．回归系数的意义是x增大一个单位，增大0.5个单位C．第8年的利润一定为6.3亿元D．第6年利润的残差为亿元10．已知函数（，，）的图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则（

）A．B．C．将的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象D．当时，函数的值域为11．在正四棱台中，，侧棱与底面所成角为，是的中点，动点满足（其中，），且，则（

）A． B．点轨迹的长度为C．当线段的长度最大时，， D．当线段的长度最小时，，三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知幂函数的图象过点，则___________.13．在中，已知．则______．14．已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是________.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．在数列中，．(1)求证：数列为等比数列；(2)设，求数列的前项和．16．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，D为AB的中点.(1)求证：；(2)若二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.17．已知A盒中有3个红球和2个白球，B盒中有3个白球，这8个球除颜色外完全相同.(1)若每次从A盒中任取1个球，记录颜色后放回A盒，共取球三次，求恰好有两次取出的球颜色相同的概率；(2)现设计如下试验流程：每次从A盒中任取2个球，将取出的红球用B盒中的白球替换；取出的白球不进行替换，然后把得到的2个球放回A盒，记作一次试验结束.设两次试验结束后A盒中红球的个数为X，求X的分布列及数学期望.18．已知抛物线（）的焦点为，准线为，直线与相交于两点，点.(1)求的方程；(2)若，求证：过定点；(3)若线段的中点在直线上，求面积的最大值.19．在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量（单位：千只）与时间x（单位：月）满足函数（），其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征.已知函数在上可导，且满足：①震荡性：在上无限次正负交替；②衰减性：任意给定正实数m，存在实数n，使得当时，.则称为震荡衰减函数.(1)求在内的极值点；(2)根据定义判断函数在上是否为震荡衰减函数.如果是，给出证明；如果不是，说明理由；(3)设（）.求证：无最大值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【详解】因为，所以的虚部为.2．A【分析】由对数函数的性质及补集的定义可得.【详解】因为集合是函数的定义域，根据对数函数性质，得，即.因为全集，由补集的定义得3．C【详解】在等差数列中，，解得，所以.4．D【详解】因为双曲线的渐近线为，所以设双曲线方程为，又双曲线经过点，所以，解得，所以双曲线方程为，化为标准方程为.5．B【详解】的展开式中的系数为，若的系数为，则，故，所以“的展开式中的系数为”推不出“”，反之，若，则展开式中的系数为，故“”能推出“的展开式中的系数为”，故“的展开式中的系数为”是“”的必要不充分条件.6．A【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得所成角的余弦值.【详解】由于，所以，设分别是的中点，连接，则，所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角），在中，，所以，所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为.7．D【详解】由图像可知函数关于原点对称，是奇函数，对于选项C，，，故是偶函数，不符合，排除C；对于选项A，，求导得，故在上单调递增，不符合图像中时先增后减的趋势，排除A；根据图像，极大值点在左侧，对于选项B，，求导得，令，得，10单调递增单调递减故的极大值点为，不符合图像，排除B.8．A【分析】把看成两点距离的平方，其最小值可转化为点到直线的距离的平方，利用导数的几何意义求出切点，利用点到直线的距离公式即可求得.【详解】由，进而，又在上，故的最小值可以看成是图像上的点离直线的最近距离的平方，，所以图像上离直线的最近的点为斜率为2的切线的切点令，即得，令，单调递增且，所以，即切点横坐标为，切点为，所以的最小值为.9．ABD【详解】由可知y与x之间的相关系数，故A正确；回归系数的意义是x增大一个单位，增大0.5个单位，故B正确；将代入回归方程，得，第8年的利润估计约为6.3亿元，第8年的利润不一定为6.3亿元，故C错误；将代入回归方程，得，由表可知实际值为5.2，残差为，故D正确；10．BC【分析】根据给定条件，结合“五点法”作图求出函数，再逐项分析判断.【详解】由函数的图象在y轴右侧的第一个最低点为，得，又函数的图象过点，在y轴右侧的第一个零点为，得此零点在的递减区间上，则周期，对于A，，则，A错误；对于B，由，得，而，则，B正确；对于C，函数，，此函数为偶函数，C正确；对于D，当时，，，因此函数的值域为，D错误.11．ABC【分析】对于A选项，通过将棱台补成棱锥，得棱锥的对角面为等腰直角三角形可得；对B选项，先由得点在一个球面上，再由可得点在一个平面内，从而可得点的轨迹为以为圆心，以1为半径的一个圆弧，进而可计算其长度；对CD选项，先将平面延展，与交于点，进而可得是中点，所以，再由平面多边形判断的最大最小值可得.【详解】取的中点，则，由，，所以，即，所以点在以为直径的球面上.因为，，，所以点在以，为相邻两边的平行四边形及其内部.取中点，连接，.

因为且，所以四边形为所求平行四边形.将棱台补成正四棱锥，因为与底面成角为，所以是等腰直角三角形，所以，即，故A选项正确；因为棱锥是正四棱锥，所以平面，所以，因为，所以，所以平行四边形为矩形.因为，所以，因为平面，所以.因为，所以，平面，所以平面.由底面是边长为4的正方形，得，再由是等腰直角三角形，得棱锥的侧棱，所以棱锥的侧面为正三角形，得.取中点，连接，则球心为与的交点，且.在中，，所以球半径.因为，所以平面，所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆在矩形内部的弧（含端点）.因为，，所以弧所对的圆心角为，所以点轨迹的长度为，故B选项正确；将平面延展，与交于点.因为平面，所以，且是正三角形，所以是的中点，得，.所以线段长度最大时，线段长度最大，线段长度最小时，线段长度最小.如图所示，在多边形中，，，

设，则.中，，即在单调递增.所以当时，最大时，点在上，此时为中点，所以，，故C选项正确；当时，最小时，点在上，此时，，故D选项错误.综上所述，ABC正确.12．##0.25【分析】设，代入点求解即可.【详解】设幂函数，因为的图象过点，所以，解得所以，得.故答案为：13．##【分析】利用正弦定理和三角函数二倍角公式求解.【详解】在中，由正弦定理，可得：因为，由二倍角公式得，所以代入，得：因为，故，所以，即.14．【分析】根据椭圆的定义及所给条件，可表示出和的长度，根据旁切圆的切线长性质，可建立与、、的关系，又因为，所以可将用和表示，进而得到离心率与的函数关系，最后结合的取值范围，根据函数的单调性可求出离心率的取值范围.【详解】解法一：设，因为，所以，由圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，所以，，因为，且，所以，又因为，所以，即，所以椭圆的离心率因为函数在上，所以即椭圆离心率的取值范围是.解法二：切线长定理、向量条件由椭圆定义求焦半径根据椭圆定义，结合，解得，应用切线长定理设圆与延长线切于，与延长线切于，与切于.根据切线长定理：，，设，.从点出发的切线长从点出发的切线长由，得：又在线段上，故.联立方程，解得由，可知.代入和得整理得.因此，离心率为已知，则.代入，得解法三：旁切圆性质公式确定旁切圆切点位置圆是的一个旁切圆，与边相切.对于三角形的旁切圆，其与一边的切点到对应顶点的距离公式为代入，，得结合向量条件，由得.联立，整理得因此离心率为，已知，则，代入，即椭圆的离心率取值范围是.15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用等比数列的定义证明.（2）利用分组求和法求数列的前项和.【详解】（1）因为，且，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）得，.所以.所以.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出平面，再应用线面垂直判定定理得出平面，即可得出线线垂直；（2）先根据二面角计算边长得出△ABC是等腰直角三角形，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而得出线面角正弦即可.【详解】（1）取AC中点E，连接，DE.因为，，所以为等边三角形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以.因为，所以.因为，，平面，所以平面.因为平面，所以.（2）由（1）得为二面角的平面角，因为，所以，所以，所以.中，，所以△ABC是等腰直角三角形.连接BE，以E为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.，，，，，所以，，设平面的一个法向量，则，即，令，则，，所以，.设直线与平面所成角为，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.17．(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）利用并事件的概率公式求解；（2）先求出的取值范围,再求出每个的取值的概率，列出分布列，利用期望公式求出期望.【详解】（1）记恰好有两次取出红球，恰好有两次取出白球，从5个小球中任取一个球，为红球的概率是，为白球的概率是，则两次取出的球颜色相同的概率为：.（2）的取值范围是.，，，.所以的分布列为X0123P.18．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）可通过准线方程建立等式求出的值，进而得到抛物线的方程；（2）先求出焦点的坐标，设出直线的方程以及、两点坐标；因为，利用向量夹角公式可得到，方法1：将等式用坐标表示后，结合抛物线方程化简，方法1：再联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理代入化简结果，得到直线中参数的关系，从而确定直线所过的定点；方法2：利用抛物线的焦半径公式以及坐标代换后，因式分解，得到直线中参数的关系，从而确定直线所过的定点；（3）方法1：设出、两点坐标以及直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理求出中点的坐标；因为的中点在直线上，所以可得到直线参数的关系；再求出弦长以及点到直线的距离，进而表示出的面积，最后利用导数求函数最值的方法求出面积的最大值；方法2：设AB的中点为，，，利用条件建立起的关系式，弦长以及点到直线的距离都用表示出来，进而用表示出的面积，最后利用导数求函数最值的方法求出面积的最大值.【详解】（1）由题意可知，，，所以C的方程为.（2）方法1：设，，由题意得l存在斜率，设l：，联立得，令，则，因为，所以，即.因为，，所以，整理得.因为，所以，所以，得.所以，所以直线过定点.方法2：设，，由题意得l存在斜率，设l：，因为，所以，，即.因为，，所以，即，整理得，因为，所以，所以，所以，所以直线过定点.（3）方法1：设，，由题意得l存在斜率，设l：，联立得，令，则，由中点在上，得.所以，点P到直线l的距离.面积，.令，则，.所以，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.所以当时，有最大值，即△PAB面积的最大值为.方法2：设AB的中点为，，，则，.因为，，所以，.因为抛物线与直线交点为，，所以.所以,，.因为直线l的斜率，且经过点，所以直线l的方程为，即：，所以点到直线的距离，所以面积，.令，则，.则，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.所以当时，有最大值，即△PAB面积的最大值为.

19．(1)极小值点为，极大值点为(2)是，证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出导函数，再根据导数正负得出函数单调性进而得出极值点；（2）先求出导函数，再结合正弦函数的值域结合新定义证明即可；（3）根据正弦函数的周期性分和及分类讨论单调性及