2026年上海市高三二模高考模拟数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025学年第二学期高三数学考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2．本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1∼6题每题4分，7∼12题每题5分）1．集合，，则________.2．不等式的解为________．3．若复数满足（为虚数单位），则_____.4．已知向量，，若，则实数____________.5．若，，且，则的最小值为________．6．已知，则的值为__________.7．从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为______.8．在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________．9．已知则_______.10．如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____．11．设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________．12．已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）13．在空间内，异面直线所成角的取值范围是（

）A． B． C． D．14．下列函数中，在上为严格增函数的是（

）A． B． C． D．15．已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（

）A． B．C． D．16．已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（

）A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．18．2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表：每周活动总时长（单位：时）

频率0.150.250.350.150.1同时，对这100名学生的视力进行了检查，将视力达到5．0及以上定为“视力良好”，低于5．0定为“视力一般”，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：视力良好视力一般合计活动时间达标（不少于14小时）40活动时间未达标（低于14小时）30合计100(1)从活动时长在和的学生中，按比例分层随机抽样抽取5人进行座谈.若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望；(2)依据的独立性检验，判断是否有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关.参考公式及数据：①，其中．②，，，．19．设函数．(1)若，求的图象在处的切线方程；(2)若在上恒成立，求a的取值范围；20．已知椭圆．(1)求椭圆C的离心率；(2)已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标；(3)已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴．21．函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有．(1)若，求实数a的取值范围；(2)是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由；(3)设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【分析】根据交集的概念运算.【详解】由题意得，.故答案为：2．【详解】解：，，解得，故不等式的解为．3．【分析】利用复数的乘法运算化简求值．【详解】因为，所以，所以；故答案为：4．【分析】根据向量垂直的坐标表示，由可得即可得解.【详解】由得，，.故答案为：5．【详解】由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.6．【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求得结果．【详解】由，则故答案为：7．##0.25【分析】计算出，利用条件概率公式进行求解.【详解】，，故.故答案为：8．2【详解】由正弦定理得，解得.9．5【分析】由题意，为的系数，和的展开式中都包含项，利用二项式展开的通项公式，即可得解.【详解】由题意，为的系数，和的展开式中都包含项，故，故故答案为：10．【分析】由正弦函数的最值和周期求得圆柱的高和底面半径，进而求得椭圆的长轴和短轴，即可得离心率.【详解】函数的值域为，最小正周期，依题意，圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则，解得，椭圆短轴长，即，长轴长，即，所以椭圆的离心率.11．【分析】先找出两个函数的单调区间的分界点，再进行排序，找到相邻两分界点的最小间距即可【详解】，由正弦函数的性质得到单调区间的分界点，相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为；，令，则，故单调区间的分界点，相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为.两类分界点合并排序，可发现它们交替排列，相邻两个不同类型的分界点的间隔交替为和，所以两类分界点之间的最小距离为，所以，又，所以a的取值范围是.12．【分析】取特殊情况结合指数函数与一次函数性质可得，再证明时，对任意的正整数m，n都有恒成立即可得.【详解】由题意可得，取，当时，有，当时，有，故；若，则当时，指数函数增速会大于一次函数，故不可能恒成立，故；综上可得；下证充分性：当时，不妨设，则，故需满足，即，令，则只需满足数列为非递减数列即可，，由，则，，则，故数列为非递减数列，即时符合题意.13．B【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.【详解】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是,故选B.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题.14．D【详解】对于A，是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A不符合题意；对于B，是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故B不符合题意；对于C，是定义在上的周期函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C不符合题意；对于D，在上为严格增函数，故D符合题意.15．C【分析】根据椭圆的定义可判断A的真假；求点的轨迹方程，判断BCD的真假.【详解】对于A，因为，所以点轨迹为线段，故A错误；对于B，设，则由，所以点轨迹为圆，故B错误；对于C，由，因为，方程可化为，所以点轨迹为椭圆，故C正确；对于D，由，①当且，即时，去绝对值可得，即，此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段；②当且，即且，去绝对值可得，即，此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段；③当且，即且，去绝对值可得，即，此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段；④当且，即且，去绝对值可得，即，此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段；综上可知点轨迹为四条线段，故D错误.16．A【详解】根据题意可知集合为函数的非严格单调递增区间，不妨令函数，易知,因此当时，，当或时，，可知在上单调递增，在和上单调递减，此时函数满足在上单调递减，满足题意，即存在函数在处取极小值，且是连续曲线，因此①②都真.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，则可得，再利用线面平行判定定理即可得证；（2）由为的中点，可得，再利用等体积法计算即可得解.【详解】（1）由直三棱柱性质可得，，由D，E分别是，的中点，则，，则四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面；（2）由，，则，故为等腰直角三角形，则点到的距离为，则点到的距离为，由为的中点，则点与点到平面的距离相等，故.18．(1)012(2)有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关.【分析】（1）通过按比例分层随机抽样确定5人各有几人来自和，再确定的可能取值，求得相应概率即可求解；（2）先补全列联表，求得相应，再对比数据即可求解.【详解】（1）由于和频率分别为，，则按比例分层随机抽样，抽取5人进行座谈，有3人来自，2人来自，由题意的可能取值为0，1，2，,,,所以的分布列是：012.（2）由题意活动时间达标人数为，活动时间未达标人数为，故列联表如下：视力良好视力一般合计活动时间达标（不少于14小时）402060活动时间未达标（低于14小时）103040合计5050100零假设：“视力情况”与“体育活动时长是否达标”无关．根据列联表数据，计算，根据小概率值的独立性检验，判断不成立，所以有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关.19．(1)(2)【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程.（2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分两种情况讨论求解不等式恒成立时的范围.【详解】（1）时，，对函数求导得.所以.所以的图象在处的切线方程为，即.（2）由得.因为在上单调递增，所以.若，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，若，令得或，且.当时，，单调递减，所以，与在上恒成立矛盾，综上所述，的取值范围是.20．(1)；(2)；(3)证明见详解.【分析】（1）根据离心率定义直接计算可得；（2）设利用向量关系表示出点坐标，代入椭圆方程即可得解；（3）利用韦达定理表示出点的纵坐标，利用向量共线表示出点的纵坐标，证明和的纵坐标相等即可得证.【详解】（1）记椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，所以离心率.（2）由题知，，设，，因为，，所以，得，代入椭圆方程得，解得（负根舍去）（3）易知，当直线斜率为0时，为长轴端点，与右焦点重合，满足题意；设直线的方程为，，联立得：，由得或，则，所以，则，设，因为三点共线，则，，所以，则，所以，所以轴.21．(1)(2)不存在，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数恒小于或等于即可得到取值范围；（2）结合单调性和奇偶性判断出为常值函数，进一步判断不恒成立；（3）根据周期函数性质