2026年重庆市高三二模高考模拟数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026届重庆市高三下学期二模考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，若，则（）A． B． C． D．2．已知向量与满足，且，则（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知，则（）A． B．C． D．4．树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力比赛顺序有（）A．8种 B．种 C．种 D．种5．已知中，，则的面积为（）A． B． C． D．6．已知等比数列的首项，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（）A． B．1 C．2 D．8．球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9．已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布，则（

）A． B．C． D．10．在平面直角坐标系中，经过点的直线交坐标轴于点（可重合），若点满足，记的轨迹为曲线C，则（）A．曲线C的方程是B．直线是曲线C的切线C．曲线C关于直线对称D．曲线C关于点对称11．已知数列满足，则（）A．存在，使得是常数列B．存在，使得是递减的等比数列C．不存在，使得是递增的等差数列D．存在，使得，且三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数，则______．13．已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可）14．已知抛物线，直线与交于两点，则以为邻边的平行四边形面积的最大值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数．(1)求的最小正周期；(2)若曲线关于直线对称，求以及的值域．16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．(1)若是棱的中点，证明：面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．17．已知函数．(1)讨论在其定义域上的单调性；(2)当时，若，求实数的取值范围．18．小明拥有1个电动玩具，厂家配备了一个装电池的盒子，内装满原装4块电池，其中2块为可充电电池，2块为一次性电池、为了保证随时可玩耍，小明又购买了2块可充电电池备用，他每次玩玩具时就随机从装满电池的盒子中取出1块使用，若为一次性电池，则使用完毕后丢弃，并补充1块可充电电池装入盒中；若为可充电电池，则使用完毕后充电，并放入盒中以备下次使用．(1)记第次使用后一次性电池剩余的块数为，求的数学期望；(2)记第次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为．（i）求；（ii）分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大．19．已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，短轴长为2．(1)求的离心率；(2)已知是以为直径的圆上一点，是射线上一点，满足．（i）求点的轨迹方程；（ii）当点在轴上方时，过点作轴的垂线，若与椭圆在第一象限内有一个交点，直线与轴相交于点，求证：的外接圆经过异于的一个定点．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【详解】，解得或，当时，此时，不合题意.当时，此时，要使，则.综上.2．C【详解】因为，且，所以.3．C【分析】对于ABD，举反例即可，对于C，利用不等式的基本性质即可证明.【详解】对于A：当时，不等式不成立，故A错误；对于B：取，则，故B错误；对于C：因为，所以，即，故C正确；对于D：取，则，故D错误.4．D【详解】4名学生排列总数：，甲跑第一棒的情况：，丁跑第四棒的情况：，甲跑第一棒且丁跑第四棒的情况：，总顺序数：．5．A【分析】根据题意，利用两角和的正弦公式，求得，得到为直角三角形，结合直角三角形的面积公式，即可求解.【详解】在中，因为，所以均为锐角，可得，，所以，又因为，所以，所以为直角三角形，因为，可得，所以的面积为.6．B【详解】由题意可知，可知等比数列为单调递减数列，由，要使取得最大值，需满足，则，即且，即且，因为，所以当时满足要求.7．C【分析】设曲线的切点为，曲线的切点为，利用导数的几何意义，分别求得在切点处的切线方程，结合切线过，得出关系式，即可求解.【详解】设曲线的切点为，则由，可得切线方程为，因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为；设曲线的切点为，由，所以切线的斜率为，因为直线的方程为，可得，解得，即切点所以切线方程为，即，所以，解得.8．A【分析】根据题意可得球的半径以及平面截外接球所得圆的半径，然后求出球心与截面圆的圆心间距离，再求出球缺的高，最后代入公式求解结果.【详解】设外接球圆心为，平面截外接球所得圆圆心为.由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为.到的距离，则球缺的高.所以．9．BC【详解】因为，则，，所以A错误，又，则，所以，所以B正确，又因为，所以C正确，D错误.10．ACD【分析】根据条件，利用直接法推理计算即得曲线C的方程判断A，将直线方程与曲线方程联立，利用判别式推得当且仅当时直线与曲线相切排除B；利用轴对称与中心对称的判断方法判断CD即可.【详解】对于A，如图，当不重合时，设，则过的直线满足，因点在直线上，则，设点坐标为，由可知点为的中点，则，故点的坐标满足，即，当重合时，也满足该方程，故A正确；对于B，由联立消去得，由，当时，曲线的轨迹为一个点，不具有切线，所以且，上式两边同除有，即，因为，所以，所以仅当直线的方程为时，直线才与相切，故B错误；对于C，设点满足方程，因为点关于直线对称的点也满足方程，所以曲线关于直线对称，C正确；对于D，设点满足方程，则，把代入中，可得，故也满足方程，即曲线关于点对称，故D正确．11．ACD【分析】利用特殊值法验证判断选项A：利用等比数列的性质，结合特殊值法验证判断选项B；利用等差数列的性质结合数列递增判断选项C；利用特殊值法结合三角函数的性质判断选项D．【详解】当或时，是常数列，故A正确；若是等比数列，则，即，化简得，是递减数列，，则，同理，从而，矛盾，B错误；若是递增等差数列，则，，，，同理，，矛盾，C正确；当时，令，其中，则，令，则，，D正确．12．5【详解】由题意复数，则，故.13．（任意满足条件的即可）【分析】利用函数的函数方程、奇偶性、单调性三个条件，找出满足条件的具体函数.【详解】，则在上满足指数函数性质，又时，，则在上是增函数，可取，因为是偶函数，所以可取．（任意满足条件的即可）14．##【分析】联立直线与抛物线方程，得，，从而得，构造函数，利用导数，求出的最大值，即可求解.【详解】设，由，消得到，所以，即，且，则以为邻边的平行四边形面积．令，则，当时，，当，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故当最大，最大值为，所以的最大值为．15．(1)(2)，【分析】（1）根据三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的周期公式得解；（2）根据对称性取特殊值求解，再检验得出函数解析式，根据正弦型函数值域求解.【详解】（1）因为，（其中）所以最小正周期；（2）因为曲线关于直线对称，所以，即，所以，解得，此时，当时，，符合题意，因为，所以．即的值域为．16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）设与的交点为，根据中位线求证，再利用线面平行的判定定理求证；（2）过作，先证明平面，再求证平面，即可以为原点建系，计算两个平面的法向量，根据向量夹角和平面夹角的关系求出.【详解】（1）设与的交点为，连接，因为是菱形，所以是线段的中点，又是棱的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；．（2）过作，连接，因为，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，所以平面，作，则有平面，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，所以，因为，所以，则，则，则，，设平面的法向量为，则，取，可得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，取，可得平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，所以，综上，平面与平面夹角的余弦值为．17．(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出函数导数，再利用导数研究导函数的极值，判断的符号即可得解；（2）转化为，构造函数，利用导数，分类讨论函数的最大值即可得解.【详解】（1）的定义域为求导有，令，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，则有，所以在单调递减；（2）当时，等价于，即，令，则，①若，即，则，在上单调递减，所以，满足题意；②若，即，令，得，当时，，在单调递增，当时，在单调递减，所以，令，是减函数，又，所以，与条件矛盾，综上，所以．18．(1)(2)（i）（ii）第3次【分析】（1）根据的可能取值求出对应的概率，再由数学期望公式计算；（2）（i）记事件，，，分析在不同抽取次数下各事件发生的情况，分别考虑时一次性电池恰好使用完毕的概率，利用全概率公式求出的表达式，借助于等比数列求和公式计算即得；（ii）在（i）求得的基础上，利用作差比较法判断其增减性即得结果.【详解】（1）的可能取值为0，1，2，所以，，所以；（2）（i）记事件：第一次取到一次性电池，事件：取到可充电电池，事件：第二次取到一次性电池，由条件，假设第次抽取时，事件发生，概率，第次抽取时，事件发生，概率，在事件前面每次发生事件的概率为，后面每次发生事件的概率为，则有抽取次数12．．．．．．事件．．．．．．所以即（ii）令，即，所以，所以第3次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大．【点睛】关键点点睛：在求解的表达式时，关键在于弄清在时一次性电池恰好使用完毕的概率，再求和.19．(1)(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）由已知可求得，进而可求离心率；（2）（i）设，且，代入计算可得，进而得点的轨迹方程；（ii）设