2025-2026学年北京市清华附中志新学校高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市清华附中志新学校高二（下）3月月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1,−1)，则2iz=(

)A.−1+i B.−2+2i C.1−i D.2−2i2.设集合A={0,1,2,3}，B={x|log3x<1}，则A∩(A.{0,1} B.{1,2} C.{1,3} D.{0,3}3.在梯形ABCD中，AB/​/CD，AD=DC=BC=2，AB=4，则AB⋅AC=A.43 B.8 C.12 4.设抛物线y2=4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF=30°，则|PQ|=(

)A.23 B.233 C.5.(x2−2x)A.10 B.20 C.40 D.806.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，PA.−53 B.53 C.−7.设α，β均为锐角，则“α>2β”是“sin(α−β)>sinβ”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.某学术会议有6个相邻座位(编号1至6)，安排来自3所不同大学的6位教授入座，每校2人(甲校(A1,A2)、乙校(B1,B2)、丙校(A.60种 B.72种 C.84种 D.96种9.声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为h(t)=Asinωt(A>0,ω>0)，其中A表示振幅，响度与振幅有关；T表示最小正周期，T=2πω，它是物体振动一次所需的时间；f表示频率，f=1T，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率音宫商角徵羽频率f262Hz293Hz330Hz392Hz440Hz小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔13个单位时间后，第二次弹奏同一个音(假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱)，若两次弹奏产生的振动曲线在(13A.宫 B.商 C.角 D.徵10.已知函数f(x)=ex−3，g(x)=12+lnx2A.1−ln2 B.ln2 C.2ln2 D.ln2−1二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知函数f(x)=2x,x<1,log2(x+7),x≥1.则12.冰墩墩(Bing Dwen Dwen)是2022年北京冬季奥运会的吉祥物.将6个不同的冰墩墩分配到甲乙丙丁4人，每人至少分配1个冰墩墩，则不同的分配方案共有

种.(用数字作答)13.端午节又名端阳节、粽子节等，它是中国首个入选世界非遗的节日.从形状来分，端午节吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等.其中，四角粽的形状可以近似看成一个四面体ABCD，如图所示.设棱AD的长为6cm，其余的棱长均为26cm，则该四角粽的表面积为

cm2，内含食物的体积为

cm314.已知(x+4)5=a0+a15.已知曲线G：x|x|+y|y|=4，O为坐标原点.给出下列四个结论：

①曲线G关于直线y=x成轴对称图形；

②经过坐标原点O的直线l与曲线G有且仅有一个公共点；

③直线l：x+y=2与曲线G所围成的图形的面积为π−2；

④设直线l：y=kx+2，当k∈(−1,0)时，直线l与曲线G恰有三个公共点．

其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知函数f(x)=13x3−x2−3x．

(1)求函数f(x)的极值；

(2)17.(本小题14分)

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos2A=−12,a=7，且a<c．

(1)求角A的大小；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．

条件①：c=8，C为锐角；条件②：cosC=−17；条件③：sinB=331418.(本小题14分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=5，BC=BB1=2，点D，E分别为BC，AC1的中点．

(1)求证：DE//平面ABB1A1；

(2)求直线A19.(本小题14分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为12．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于M，N两点(不与左右顶点重合)，点T(t,0)在x轴正半轴上，直线TM交y轴于点P，直线TN交y20.(本小题14分)

已知函数f(x)=ae−x−ln(x+1)，a∈R．

(Ⅰ)若函数f(x)在x=0处的切线经过(−2,0)，求a的值；

(Ⅱ)若函数f(x)存在两个极值点，

(i)求a的取值范围；

(ii)若m，n∈R满足，f(m)>0且21.(本小题15分)

设集合A的元素均为实数，若对任意a∈A，存在b∈B，c∈C.使得b+c=a且b−c=1，则称元素最少的B和C为A的“孪生集”；称A的“孪生集”的“孪生集”为A的“2级孪生集”；称A的“2级孪生集”的“孪生集”为A的“3级孪生集”，依此类推…

(1)设A={3,5,7}，直接写出集合A的“孪生集”；

(2)设元素个数为n的集合A的“孪生集”分别为B和C，若使集合∁B∪C(B∩C)中元素个数最少且所有元素之和为3，证明：A中所有元素之和为3n；

(3)若A={ak|ak=a1+2(k−1),1≤k≤n,k∈N∗}，请直接写出A的“n级孪生集”的个数，设A参考答案1.A

2.D

3.C

4.C

5.C

6.C

7.C

8.B

9.C

10.A

11.4

12.1560

13.126

14.405

15.①③④

16.17.18.19.解：(Ⅰ)因为椭圆E的长轴长为4，离心率为12，

所以2a=4,ca=12．

所以a=2，c=1，所以b2=3．

所以椭圆E的方程为x24+y23=1．

(Ⅱ)若直线l的斜率存在，设为k