工程力学前七章重要知识点

绪论

@I.结构按其几何特征分为二种类型：

（1）杆系结构：由杆件组成的结构。杆件的几何特征是其长度远远大于横截面的宽度

和高度。

（2）薄壁结构：由薄板或薄壳组成。薄板或薄壳的几何特征是其厚度远远小于另两个

方向的尺寸。

（3）实体结构：由块体构成。其几何特征是三个方向的尺寸基本为同一数量级。

@2.结构正常工作必须满足强度、刚度和稳定性的要求。

强度是指抵抗破坏的能力。刚度是指抵抗变形的能力。稳定性是指结构或构件保持原有

的平衡状态的能力。

第一•章

@3.力是物体之间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生改变，或使物

体产生变形。力使物体的运动状态发生改变的效应称为外效应，而使物体发生变形的效应称

为内效应。

力的三要素：（1）力的大小（2）力的方向（3）力的作用位置

@4.二力平衡公理

作用于同一刚体上的两个力成平衡的必要与充分条件是：力的大小相等，方向相反.作

用在同一直线上。

@5.加减平衡力系公理

在作用于刚体的任意力系中，加上或减去平衡力系，并不改变原力系对刚体作用效应。

@6.推论.力的可传性原理

作用于刚体上的力可以沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的效应。

@7.力的平行四边形法.

作用于物体上同一点的两个力可以合成为作用于该点的一个合力，它的大小和方向由

以这两个力的矢量为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。

@7.推论.三力平衡汇交定理

刚体受同一平面内互不平行的三个力作用而平衡时，则此三力的作用线必汇交于一点。

@8.作用与反作用公理

两个物体间相互作用力，总是同时存在，它们的大小相等，指向相反，并沿同一直线分

别作用在这两个物体上。

第一早

缈.平面汇交力系：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线过力系的汇

交点，合力等于原力系中所有各力的矢■和。

可用矢量式表示为

FR=F!+F2+•••+尸”=2尸（2-1）

@10.平面汇交力系的平衡的必要与充分的几何条件是：力的多边形自行封闭，或各力

矢的矢量和等于零。

第三章

@11.力F对O点之的定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正位号,以符号

mo（F）表示，记为

mi）（F）=±Fh（3-1）

通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。

@12.力矩的性质：

（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。

(2)力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次说明力是滑移矢

量。

(3)力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。

@13.合力矩定理

定理：平面汇交力系的合力对其平面内任•点的矩等于所有各分力对•同一点之矩的代

数和。

m(,(FR)=Zm<,(F)(3—3)

上式称为合力矩定理。合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩的关系。这

个定理也适用于有合力的其它力系。

第二节

@14.在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶，用符.…F')表示。两

个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂

@15.力偶对物体的转动效应取决于：力偶中力的大小、力偶的转向以及力偶臂的大小。在

平面问题中，将力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，(作为力偶对物体转动

效应的量度，称为力偶矩，用m或)表示

m(F)=F・d=±2/1ABC(3-4)

通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。

在国际单位制中，力矩的单位是牛顿•米(N*m)或千牛顿•米(kN-m)o

@15.力偶对其作用面内任一点的矩总等于力偶矩。所以方偶对物体的转动效应总取决

于偶矩(包括大小和转向)，而与正心位置无关。

由上述分析得到如下结论：

在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶的代数值相等，则这两个力偶相等。这就

是平面力偶的等效条件。

根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：

推论1力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改变它对物体的效应。

推论2只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改

变它对物体的作用效应。

由力偶的等效性可知，力偶对物体的作用，完全取决于力偶矩的大小和转向。

@16.平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶

矩的代数和。

@17.平面力偶系平衡的必要与充分条件：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和

等于零。

@18.力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动到刚体上的任意一指定点，但必

须同时在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对指定点之矩。

@【9.力的平移定理表明，可以将一个力分解为一个力和一个力偶；反过来，也可以将同

一平面内一一个力和一个力偶合成为一个力。应该注意，力的平移定理只适用于刚体，而不

适用于变形体，并且只能在同一刚体上平行移动。

@20.当平面任意力系的主矢和主矩都等于零时,作用在管化中心的汇交力系是平衡力

系,附加的力偎系也是平衡力系,所以该平面仔意力系一出是平衡力系。于曷得到平而任意

力系的充分与必要条件是：力系的主矢和主矩同时为零。即

R'=0,MO=0(3-11)

用解析式表示可得

ZX=0

zr=0,(3-12)

Xmo=0

上式为平面任意力系的平衡方程。平面任意力系平衡的充分与必要条件可解析地表达为:

力系中各力在其作用面内两相交轴上的投影的代数和分别等于零，同时力系中各力对其作

用面内任一点之的代数和也等于零。

平面任意力系的平衡方程除了由简化结果直接得出的基本形式(3-12)外，还有二矩

式和三矩式。

二矩式平衡方程形式：

ZX=0

.=0(3-13)

=o

其中矩心A.B两点的连线不能与x轴垂直。

三矩式平衡方程形式：

、=0

8=0-(3-14)

Ynic=0

其中A.B.C三点不能共线。

由(3-12)式得

EK=0

(3-15)

-0

由(3—13〉式得

=。[

(3—16)

2%=0]

其中两个矩心A.B的连线不能与各力作用线平行。

平面平行力系有两个独立的平衡方程，可以求解两个未知量。

图3-25

作用于物体上的主动力的合力Q.不论其大小如何，只要其作用线与接触而公法线间的

夹角a不大于摩擦角6m，物体必保持静止。这种现象称为自锁现象。

第五章

©21.戳面法求内力的步骤可归纳为：

（1）截开:在欲求内力截面处，用一假想截面将构件一分为二。

（2）代替：弃去任一部分，并将弃去部分对保留部分的作月以相应内力代替（即显示内

力）。

（3）平衡:根据保留部分的平衡条件,确定截面内力值。

@22.轴力N方向与截面外法线方向相同为正，即为拉力：相反为负，即为压力。

@23.任一截面上的轴力的数值等于对应截而一侧所有外力的代数和，且当外力的方向使截

面受拉时为正，受压时为负。

由2"I.1=0/IT-m.=0

解得了=〃?人

7称为11—71檄面上的扭矩。

杆件受到外力偶矩作用而发生扭转变形时，

在杆的横截面上产生的内力称扭矩（T）单

位:N•m或KN,nio

符号规定:按右手螺旋法则将T表示为矢量,

当矢量方向与截面外法线方向相同为正（图图5-9

5-9c）；反之为负（图5・9d）。

@24.任一截面上的扭矩值等于对应截面一侧所有外力偶矩的代数和，且外力偶矩应用右手

螺旋定则背离该截面时为正，反之为负。

@25.

图5-12

由Xr=02"0=0

解得Q=RA-R

由Z相“=0—RAX+(x-r/)+//?=0

解得in=RAX一片（x—a）

剪力与弯矩的符号规定：

剪力符号：当截面上的剪力使分离体作顺时针方向转动时为正；反之为负。如图5-13a

所示。

弯矩符号：当截面上的弯矩使分离体上部受压、下部受拉时为正，反之为负。如图5-13b

所示。

例5-4试求图5/4（a）所示外伸梁指定截面的剪刀和弯矩。

p

(•)

图5-14

解如图5-14(b)o求梁的支座反力。

由Z"%=0一R^a-Px2a—+/nA-0

解得Rc=3P

由^y=0Rc-Rli-P=0

解得Rl{=2P

如图5-14(c)

由xr=0-Q「RB=。

解得Q1=-2尸

由=0M]+RH(\.3a-a)-mA=0

解得=-Rlf().3a-ci)+mA=0.4Pa

如图5-14(d)

由XY=08-8=0

解得Q)=P

由=0M2+RR(2.5a-a)-Rcx0.5a=0

解得M2=-Rfi(2.5a-a)+mA+/?cx0.5。=-0.5Prz

由上述剪力及弯矩计算过程推得:

任一截面上的剪力的数值等于对应截面一侧所有外力在垂直于梁轴线方向上的投影的

代数和，且当外力对截面形心之矩为顺时针转向时外力的投影取正，反之取负；

任一截面上弯矩的数值等于对应截面一侧所有外力对该截面形心的矩的代数和，若

取左侧，则当外力对截面形心之矩为顺时针转向时取正，反之取负；若取右侧，则当外力对

截面形心之矩为逆时针转向时取正，反之取负；即

,（5-3）

,杆的不同截面上有不同的轴力，而对杆进行强度计算时，要以杆内最大的轴力为计

和依据，所以必须知道各个截面上的轴力，以便确定出最大的轴力值。这就需要画轴力图来

解决。

轴的不同截面上有不同的扭矩，而对轴进行强度计算时，要以轴内最大的扭矩为计算

依据，所以必须知道各个截面上的扭矩，以便确定出最大的扭矩值。这就需要画扭矩图来

解决。

集中力作用处的横截面，轴力图及剪力图均发生突变，突变的值等于集中力的数值;集

中力偶作用的横截面，剪力图无变化，扭矩图与弯矩图均发生突变，突变的值等于集中力

偶的力偶矩数值。

（1）画内力图的一些规律如下：

q=0：剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。

q=常数：剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。

集中力P作用处：剪力图在P作用处有突变，突变值.等于P。弯矩图为一折线，

P作用处有转折。

集中力偶作用处：剪力图在力偶作用处无变化。弯矩图在力偶隼用处有突变，

突变值等于集中力偶。

第六章

内力在截面上的某点处分布集度，称为该点的应力。

设在某一受力构件的截面上，围绕点取为面积（图6Ta）,上的内力的合力为，

这样，在上内力的平均集度定义为：

AF

〃平均=不

一般情况下，截面上的内力并不是均匀分布的，因此平均应力

随所取的大小而不同，当时，上式的极限值

〃=而竺二更

(6-1)

AAdA

即为点的分布内力集度，称为点处的总应力.是一矢量，通

常把应力分解成垂直于截面的分量和相切与截面的分量。由图中的关系可知

cr=〃sinar=pcosa

称为正应力，称为剪应力。在国际单位制中，应力的单位是帕斯卡，以Pa（帕）表示,

lPa=lN/m2o由于帕斯卡这一单位甚小，工程常用kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕）。

lkPa=103Pa,lMpa=106Pa,lGpa=109Pao

«7-i架的荷H、的力图、・短网之间的关系

梁上荷&情况科力图

Q图为水平直:攵图为新直线

M<0

M・0

M>0

无分布荷就

（7-0）

下和宜就

IIIIQIIII.r

上融直戕

均布荷岐向上作用

上凸曲战

”,

均布荷或向下作用

<7<0下凸曲线

C由面有话折

集中力作用C七工位W工

集中力5作用C械而有突交

mC豉面无变化

Q・0裁面“有线位

@@横截面上的正应力为：

o=N/A（6-2）

式中为横截而面积，的符号规定与轴力的符号一致，即拉应力为正，压应力为负。

注意：由于加力点附近区域的应力分布比较复杂，式（6-2）不在适用，其影响的长度

不大于杆的横向尺寸。

@@斜截面上的正应力

如图6-3（a）为一轴向拉杆，取左段（图6-3b）,斜截面上的

应力也是均布的，由平衡条件如斜截面上内力的合力。设与横截面成角的斜截面的面

积为，横截面面积为A,则，于是

Pa=N/Aa=N/（Aseca）

令Pa=j+ba（图6・3c）。于是

2

aa=cosa=crcosa,r（t=pesina=crsin2a/2（6-3）

其中角及剪应力符号规定：自轴转向斜截面外法线为逆时针方向时角为正，反

之为负。剪应力对所取杆段上任一点的矩顺时针转向时，剪应力为正，反之为负。及符

号规定相同。

由式（6-3）可知，及均是角的函数，当=0时，即为横截面，，：

当时，，：当时，即在平行与杆轴的纵向截面上无任何应力。

图6-3

@@横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下,

最大正应力发生于弯矩最大的横截面上矩中性轴最远处。于是由式（6-6）得

_Mmax）'max

5nax=---------：----------

令，则上式可写为

(6-7)

式中仅与截面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中性轴的抗弯截面模量。若截面是高为

,宽为的矩形，则

I.blr

1WIZ.==——:—=——

hi2*26

若截面是直径为的圆形，则

/.欣。而就'

W,=——=---——=-----

d/2d/232

若截面是外径为、内径为的空心圆形，则

W=L=64=到/且丫］

@@根据低碳钢的曲线的特点，对照K在实验过程中的变形特征，将其整个拉伸过程

依次分为弹性、屈服、强化和颈缩4个阶段。

应力变化很小，应变显著增大的现象称为材料的屈服或流动。经过屈服阶段以后，应力

又随应变增大而增加，这种现象称为材料的强化。在常温下，将材料预拉到强化阶段后卸载,

然后立即再加载时，材料的比例极限提高而塑性降低的现象，称为冷作硬化。

工程上用于衡量材料塑性的指标有延伸率（3）和断面伸缩率（中）。

（1）延伸率J=xl00%

，o

式中：_试件拉断后标距的长度：

/0……原标距长度。

（2）断面收缩率A'"?A|xlOO%

A）

式中：-一试件原横截面面积；

A---试件断裂处的横截面面枳。

和的数值越高，材料的塑性越大。一般％的材料称为塑性材料，如合金钢、铝合金、

碳素钢和青铜等：％的材料称为脆性材料，如灰铸铁、玻璃'陶瓷、混凝上和石料等。

2.其他嬖性材料

图6-19是在相同条件下得到的锦钢、硬铝、退火球墨铸铁和青铜4种材料的曲线。由

这种曲线可知，这种材料与低撅钢相同点为断裂后都具布.较大的塑性变形；不同点为这些材

料都没有明显的屈服阶段，所以测不到。为此，对这类材料，国家标准规定，取对应于试件

产生0.2%的塑性应变时的应力值（）作为名义屈服强度。

平面图形（图6-24）,其面积为，在坐标（）处，取微面积称为微面积对轴的面积

矩，简称面矩（或静矩）。则籽遍及整个图形面积的积分，称为图形对轴的面矩。用

表示，即

同理有(6-18)

S""

若平面图形为一等厚均质薄片，其形心坐标为

，*上

AA‘AA

由上式和式（6-18）得

,（6-19）

由式（6-19）可知，图形对过其形心坐标轴的面矩为零：面矩不仅与图形面积有关，而且

还与参考轴的位置有关。面矩可以是正值、负值或零，面矩的常用单位为亳米3（mm3）。

称为微面积对轴的惯性矩。则将遍及整个图形面积的积分，称为图形对轴的

惯性矩。用表示，即

同理有(6-20)

Ip=(p2dA=£(z2+y2=£z2dA+/y2dA

P(6-22)

由式（6-22）可知，图形对其所在平面内任一点的极惯性矩，等于其对过此点的任一对正

交轴、的惯性矩、之和。

由式（6-20）和（6-21）可知，惯性矩和极惯性矩总是正值。其常用单位为亳米4（mm4）o

@@轴向拉（压）杆中的任一点均处于单向应力状态。塑性

及脆性材料的极限应力分别为屈服极限（或）和强度极限，则材料在单向应力状态下

的破坏条件为

材料的许用拉（压）应力，贝1单向应力状态下的正应力强

度条件为

（T<[<T]（6-24）

同理可得，材料在纯剪切应力状态下的切应力强度条件

r<[r]（63）

由式（6-1）和（6-25）得.拉（压）杆的正应力强度条件为

Nr1

。心二寸4。（&26）

A

由式（6-1）和（6-25）得，梁弯曲的正应力强度条件为

0="0«匕］(6-27)

卬LJ

z

矩形截面杆，作用于自由端的集中力P位于杆的纵向对称面Oxy内，并与杆的轴线x成

一夹角。

令P=Px+Py,则有

Px=P,Px=