核心素养导向下“因数与倍数”大单元整体教学设计（小学五年级数学下册）

核心素养导向下“因数与倍数”大单元整体教学设计（小学五年级数学下册）

一、课标解读与教学理论依据

1.1数学课程标准分析

“因数与倍数”隶属《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域“数的认识”与“数的运算”主题，是整数知识体系承上启下的核心枢纽。新课标强调从“数的整除性”角度深化对整数性质的理解，发展学生的数感、推理意识和抽象能力。本单元教学需达成以下课程目标：理解因数、倍数、质数、合数等概念的内涵与外延；掌握2、5、3的倍数的特征；能找出一个数的所有因数及一定范围内的倍数；理解质因数分解的意义，并能用短除法进行分解；运用概念解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系。

1.2大单元教学理念与设计思路

本设计摒弃传统的课时孤立教学模式，采用大单元整体教学架构。将“因数与倍数”、“2、5、3的倍数的特征”、“质数和合数”、“分解质因数”等知识点有机整合，构建以“整数的内部结构关系”为核心概念的知识网络。设计遵循“概念建构—关系探索—性质归纳—问题解决—迁移应用”的认知逻辑，渗透集合思想、分类思想、归纳思想及代数思维，旨在促进学生结构化、系统化地掌握知识，实现数学核心素养的进阶发展。

1.3学科核心素养培育指向

1.数感：在寻找因数与倍数的活动中，感受数的大小、多少及倍数关系。

2.推理意识：通过观察、实验、归纳，探索和发现2、5、3的倍数的特征，理解并证明其合理性。

3.抽象能力：从具体除法算式中抽象出因数、倍数的概念，并用数学语言精准定义。

4.模型意识/应用意识：建立数的整除性模型，用于解决诸如排队、分组、铺地砖等实际问题。

5.创新意识：鼓励探索其他数的倍数特征（如4、9等），或运用概念设计数学游戏。

二、学情分析与教学重难点

2.1学生认知基础与潜在困难

认知基础：学生已熟练掌握表内乘除法、多位数乘除法运算，理解整数除法的意义及“整除”的直观现象（无余数）。具备一定的观察、比较、归纳能力。

潜在困难：

1.概念抽象性：“因数”和“倍数”描述的是两个数之间相互依存的关系，与学生习惯的绝对数概念不同，容易混淆。

2.语言表述严谨性：“a是b的因数”与“b是a的倍数”是同一关系的两种表述，学生易出现叙述不完整的错误。

3.探究方法的系统性：寻找一个数的全部因数时易遗漏或重复；寻找一个数的倍数时易混淆范围。

4.分类标准的理解：质数与合数的分类标准是基于“因数的个数”，与奇偶性分类（基于能否被2整除）不同，易产生交叉干扰。

5.短除法技巧：分解质因数时，对除数（质数）的选取和步骤的延续性存在操作困难。

2.2教学重点

1.理解因数、倍数、质数、合数的概念，掌握其内在联系与区别。

2.熟练掌握2、5、3的倍数的特征，并能够快速判断。

3.掌握有序、不重不漏地找出一个数的所有因数的方法，以及求一个数的倍数的方法。

4.理解质因数分解的意义，掌握用短除法分解质因数的方法。

2.3教学难点

1.因数与倍数概念的建立及其相互依存关系的理解。

2.质数、合数概念的本质理解（以因数个数为分类标准），特别是对“1”的特殊性的认识。

3.探究并理解3的倍数特征背后的算理（各数位上数字之和是3的倍数）。

4.灵活运用本单元知识解决综合性实际问题。

三、单元教学目标

3.1知识与技能

1.能举例说明因数与倍数的含义，知道因数与倍数的相互依存关系。

2.能找出100以内某个自然数的所有因数，能在指定范围内找出某个自然数的所有倍数。

3.知道2、5、3的倍数的特征，知道奇数和偶数。

4.能判断一个数是否是2、5、3的倍数。

5.理解质数、合数的意义，能判断一个数是质数还是合数，能熟练找出100以内的质数。

6.理解质因数的意义，会分解质因数。

7.了解公因数、最大公因数与公倍数、最小公倍数的意义，掌握其基本求法（为后续学习铺垫）。

3.2过程与方法

1.经历从具体算式中抽象出数学概念的过程，培养抽象概括能力。

2.经历探索2、5、3的倍数特征的过程，掌握观察、猜想、验证、归纳的数学探究方法。

3.通过列举、分类、归纳等活动，掌握有序思考、不重不漏的数学方法。

4.在解决问题中，体会因数、倍数知识的实际应用价值。

3.3情感、态度与价值观

1.在概念形成和问题解决中，体验数学思考的严谨性和结论的确定性。

2.感受数学知识之间的内在联系，增强学习数学的兴趣和自信心。

3.初步体会数学的简洁美、逻辑美和实用美。

四、教学准备与资源

4.1教具与学具

1.百数表（大张展示用及学生小组用）

2.数字卡片（1-100）

3.多媒体课件（含动态演示、互动游戏）

4.学习任务单（包含探究活动记录表）

5.短除法步骤分解磁贴

6.实际情境问题图片（如排队、拼长方形、铺地砖等）

4.2信息化资源

1.交互式白板软件（用于拖动分类、高亮显示等）

2.“数的整除性”概念动画微视频

3.在线协作平台（用于小组分享探究成果）

4.自适应学习平台（用于课后分层练习与反馈）

五、单元整体教学结构图

“因数与倍数”大单元知识树

核心概念：整数的整除关系

|

|--------------------------------------------|

||

“因数与倍数”概念种子“2、5、3倍数特征”规律探索

(关系定义、相互依存、找法)(观察归纳、特征表述、快速判断)

||

|--------------------------------------------|

|

数的分类：基于因数个数

|

|--------------------------------------------|

||

质数合数

(因数只有2个、100以内质数表)(因数至少3个、1的特殊性)

|

质因数分解：数的“基因”分析

(短除法、标准形式、应用)

|

拓展联通：公因数与公倍数

(概念引入、生活原型、后续学习铺垫)

六、教学实施过程（分课时详案）

第一课时：建构关系——因数与倍数的意义

【核心任务】从整除算式中抽象出因数与倍数的概念，理解其相互依存关系。

（一）创设情境，激活经验

1.游戏导入：“找朋友”游戏。出示算式：12÷2=6,20÷4=5,8÷3=2……2,15÷5=3。请学生分类，并说明理由。（预设：按除法结果是否有余数分类）

2.聚焦整除：引出“在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。”强调“整数除法”的前提。

（二）探索新知，建构概念

1.概念初建：

1.2.以12÷2=6为例，引导学生完整表述：“12是2的倍数，2是12的因数。”同时说明，因为12÷6=2，所以“12也是6的倍数，6也是12的因数。”

2.3.关键提问：能单独说“12是倍数”或“2是因数”吗？为什么？（强调关系的相互依存性）

4.深化理解：

1.5.出示算式：20÷4=5。让学生仿照说关系。同桌互说。

2.6.变式练习：根据4×5=20这个乘法算式，说说因数倍数关系。（沟通乘除法联系）

7.探究方法：

1.8.活动一：找18的所有因数。

1.2.9.独立思考，尝试写出。

2.3.10.小组交流：如何找才能不重复不遗漏？（预设：成对地找，从1试起；或按乘法口诀想。）

3.4.11.汇报展示，优化方法：有序思考，从1开始，一对一对地找。板书：18的因数有：1,2,3,6,9,18。

4.5.12.观察发现：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因数的个数是有限的。

6.13.活动二：找出2的倍数（5个）。

1.7.14.学生自主完成。

2.8.15.汇报方法：用2依次乘1,2,3……板书：2的倍数有：2,4,6,8,10……

3.9.16.观察发现：一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数，倍数的个数是无限的。用省略号表示。

（三）巩固应用，内化关系

1.判断说理练习。（如：因为3×6=18，所以18是倍数，3和6是因数。对吗？）

2.完成学习任务单上的对应练习，包括“说一说”、“找一找”等层次。

3.小游戏：“因倍对对碰”。教师说一个数，学生快速说出它的一个因数和一个倍数。

（四）课堂小结，拓展延伸

1.学生总结：今天学到了什么？因数倍数关系的关键是什么？

2.思考：一个数的因数和倍数有什么特点？

3.预告：下节课我们研究一些特殊倍数的“长相”（特征）。

【板书设计】

因数与倍数

前提：整数除法，商是整数而没有余数。

关系：被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。

相互依存，不能单独存在。

例：12÷2=6→12是2和6的倍数，2和6是12的因数。

找因数：有序，成对。（有限）

例：18的因数：1,2,3,6,9,18。

找倍数：乘1,2,3...（无限）

例：2的倍数：2,4,6,8,10……

第二课时：发现规律（一）——2、5的倍数特征及奇数、偶数

【核心任务】通过观察百数表，自主归纳2、5的倍数特征，理解奇数偶数的概念。

（一）复习导入，提出问题

1.快速说出几个2的倍数和5的倍数。

2.设疑：判断一个数是不是2或5的倍数，一定要用除法算吗？它们会不会有什么一眼就能看出来的特征？

（二）合作探究，归纳特征

1.探究2的倍数特征：

1.2.活动：小组合作，在百数表上圈出2的倍数。

2.3.观察与发现：这些数有什么共同点？（个位上是0,2,4,6,8）

3.4.验证与归纳：任意写几个个位是0,2,4,6,8的多位数，用除法验证是否都是2的倍数。反之，验证个位是1,3,5,7,9的数。形成结论。

4.5.概念引出：是2的倍数的数叫偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫奇数。

6.探究5的倍数特征：

1.7.迁移探究：学生独立或同桌合作，在百数表上涂色表示5的倍数，观察特征。

2.8.汇报交流：个位上是0或5。

3.9.快速判断练习。

（三）对比沟通，深化理解

1.对比2和5的倍数特征，有什么相同和不同？（都看个位；个位数字不同）

2.既是2的倍数又是5的倍数的数有什么特征？（个位是0）

3.讨论：为什么判断2、5的倍数只看个位？（结合位值制理解：十位及以上都是10的倍数，自然是2和5的倍数，所以关键在个位。）

（四）综合应用，联系生活

1.基础练习：判断奇偶数，判断是否是2或5的倍数。

2.生活应用：

1.3.电影院座位号是偶数的从左边进，奇数的从右边进，你的票号是…，该从哪边进？

2.4.食品包装“5个一包”，一堆物品能否正好装完？

5.拓展思考：4的倍数特征是什么？（激发课后探究）

【板书设计】

2、5的倍数的特征

2的倍数特征：个位上是0,2,4,6,8。

偶数：是2的倍数的数（包括0）。

奇数：不是2的倍数的数。

5的倍数特征：个位上是0或5。

既是2的倍数又是5的倍数：个位上是0。

（为什么只看个位？）

第三课时：发现规律（二）——3的倍数特征

【核心任务】经历完整的探究过程，发现并理解3的倍数特征是“各数位上数字之和是3的倍数”。

（一）设疑激趣，引发认知冲突

1.回顾2、5的倍数特征（看个位）。

2.猜想：3的倍数特征可能看什么？（学生可能受迁移影响猜“个位”）

3.验证猜想：出示13,23,46等个位是3、6、9但不是3的倍数的数，以及12,21,54等是3的倍数的数。发现矛盾：3的倍数特征不能只看个位。

（二）动手操作，合作探究

1.提供研究素材：百数表，计数器（或小棒图演示），一组三位数数字卡片。

2.小组活动：

1.3.在百数表中圈出3的倍数。

2.4.观察这些数的个位，有规律吗？（无固定规律）

3.5.换角度思考：用计数器（或小棒）表示一个3的倍数，如12（1个十，2个一）。移动珠子（小棒），思考十位的1个十可以看成10个一，和个位的2个一合起来是12个一。12是3的倍数吗？是。

4.6.猜想：是否可以把一个数各数位上的数“加起来”看看？

7.验证猜想：

1.8.计算几个3的倍数各数位数字之和，观察和与3的关系。（如12:1+2=3；27:2+7=9；111:1+1+1=3）

2.9.再验证几个不是3的倍数的数。（如14:1+4=5；38:3+8=11）

10.归纳结论：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

（三）追本溯源，理解算理

1.微视频/教师讲解：以三位数abc为例（表示100a+10b+c），通过代数变换说明为什么判断3的倍数要看各位数字和。

1.2.100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)

2.3.(99a+9b)

一定是3的倍数，所以原数是否是3的倍数，就取决于(a+b+c)

是否是3的倍数。

4.让学生用此思路尝试解释一个两位数。

（四）分层练习，巩固新知

1.基本判断练习。

2.在□里填数字，使数是3的倍数。（开放题）

3.从0,3,5,7中选出两个数字，组成是3的倍数的两位数。

4.思考：9的倍数有什么特征？（利用探究经验迁移）

【板书设计】

3的倍数的特征

猜想（看个位？）→验证（矛盾）→新猜想（看和？）→验证→结论

结论：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

验证：

12→1+2=3√14→1+4=5×

27→2+7=9√38→3+8=11×

算理：以三位数abc为例：

100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)

（一定是3的倍数）+（决定项）

第四课时：分类思想——质数与合数

【核心任务】通过分类活动，理解质数与合数的本质是基于因数个数的不同，能判断100以内的质数。

（一）操作分类，引入概念

1.活动：请写出1~12每个数的所有因数。

2.小组讨论：根据因数的个数，可以把这12个数分成几类？怎么分？

3.汇报分类结果：

1.4.只有1个因数：1。

2.5.只有2个因数（1和它本身）：2,3,5,7,11。

3.6.有2个以上因数：4,6,8,9,10,12。

7.揭示概念：

1.8.质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数。

2.9.合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫合数。

3.10.重点讨论1：1既不是质数，也不是合数。

（二）辨析巩固，构建网络

1.判断练习：给出一些数，判断是质数还是合数，并说明理由。

2.制作100以内质数表（埃拉托色尼筛法）：

1.3.圈出2（质数），划掉所有2的倍数（除了2本身）。

2.4.圈出下一个没被划掉的数3（质数），划掉所有3的倍数。

3.5.圈出5，划掉5的倍数。

4.6.圈出7，划掉7的倍数。

5.7.…观察发现，剩下的没被划掉的数就是100以内的质数。

6.8.熟记20以内的质数（2,3,5,7,11,13,17,19）。

9.沟通联系：

1.10.最小的质数是？最小的合数是？

2.11.所有的偶数都是合数吗？（2是反例）所有的奇数都是质数吗？（9,15等是反例）

3.12.质数、合数与奇数、偶数是两种不同的分类标准。

（三）游戏应用，拓展视野

1.“质数密码”游戏：将字母编号，只有质数编号的字母能组成一句密语。

2.介绍质数在密码学（如RSA加密）中的重要作用，感受数学价值。

【板书设计】

质数与合数

分类标准：一个数因数的个数。

1个因数：1→既不是质数，也不是合数。

2个因数：2,3,5,7,11...→质数（素数）

2个以上因数：4,6,8,9,10,12...→合数

关键点：

1.1的特殊性。

2.最小的质数是2，最小的合数是4。

3.质数中只有2是偶数。

4.“质数筛法”找100以内质数。

第五课时：分解与分析——分解质因数

【核心任务】理解质因数的意义，掌握用短除法分解质因数的方法，体会其为数的“基因分解”。

（一）情境导入，理解意义

1.情境：把30写成几个更小的数相乘的形式，有哪些写法？（30=5×6,30=2×15,30=2×3×5,30=1×30等）

2.比较：哪种写法中的每个乘数都是质数？（30=2×3×5）

3.引出概念：

1.4.质因数：如果一个质数是一个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。如2、3、5是30的质因数。

2.5.分解质因数：把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来。

（二）探究方法，掌握技能

1.方法一：枝状图法（“树形法”）

1.2.以30为例，从30开始，不断分解成两个因数，直到所有因数都是质数。

2.3.优点：直观。缺点：步骤多时较乱。

4.方法二：短除法（重点）

1.5.示范讲解：

1.2.6.写出要分解的合数，画短除号。

2.3.7.从最小的质数开始试除（通常从2开始），写出商。

3.4.8.用商继续除以质数，直到商是质数为止。

4.5.9.把所有的除数和最后的商写成连乘形式。

6.10.关键点：

1.7.11.除数必须是质数。

2.8.12.一般按质数从小到大的顺序试除。

3.9.13.书写格式规范。

14.学生尝试：用短除法分解36、60等数。

15.对比强调：分解质因数的结果（如30=2×3×5）是唯一的（不计顺序）。

（三）实践应用，体会价值

1.基础练习：分解指定合数。

2.解决问题：

1.3.已知A=2×3×5，你知道A是多少吗？它有哪些因数？（渗透通过质因数组合找全部因数的方法）

2.4.两个数都分解质因数后，如何找它们的最大公因数？（为后续学习埋下伏笔）

5.数学文化：介绍算术基本定理——每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以唯一地写成质数的乘积。

【板书设计】

分解质因数

意义：把一个合数写成几个质数相乘的形式。

这些质数叫做这个合数的质因数。

结果唯一（不计顺序）。

方法：

1.枝状图法：30

/\

215

/\

35→30=2×3×5

2.短除法：

2|30

3|15

5

→30=2×3×5

注意：除数从小到大，是质数；除到商是质数止。

第六课时：整合应用与单元梳理

【核心任务】通过综合性问题解决和知识梳理，构建完整的单元知识体系，提升应用能力。

（一）问题驱动，综合应用

呈现几个整合性问题，小组合作解决：

1.“猜数”游戏：

1.2.我是一个两位数，是5的倍数，十位和个位的数字和是3的倍数，我可能是多少？

2.3.我是一个质数，是一个两位数的偶数，我是谁？

4.“铺地砖”问题：

1.5.教室长48分米，宽36分米。要用正方形地砖铺满（整砖），可以选择边长是几分米的地砖？最大是几分米？（自然引出公因数和最大公因数的生活原型，不深入算法，重在理解问题本质）

6.“排队”问题：

1.7.五一班同学人数在40-50之间，每排6人或每排8人都刚好排完。五一班有多少人？（引出公倍数和最小公倍数的生活原型）

（二）梳理建构，形成网络

1.小组合作：用思维导图或结构图梳理本单元所学知识（概念、关系、方法、特征等）。

2.全班交流与完善：形成班级统一的单元知识网络图，教师引导并强调知识点之间的联系（如：因数→质因数；倍数→倍数特征；合数→分解质因数等）。

（三）总结评价，拓展延伸

1.学生分享本单元学习中最有收获或最感兴趣的内容。

2.布置开放性长作业（二选一）：

1.3.数学小论文：《“1”的身份之谜》或《奇妙的质数》。

2.4.数学探究报告：探究4或9的倍数特征，并尝试解释原因。

3.5.数学游戏设计：利用本单元知识设计一个桌面游戏或数字迷宫。

【单元知识清单/梳理图】（最终版）

《因数与倍数》单元知识树

一、核心关系：因数与倍数

定义：整数除法，商是整数无余数。

关系：相互依存。a是b的因数↔b是a的倍数。

找法：

因数：有序成对，有限。最小1，最大本身。

倍数：乘自然数，无限。最小本身。

二、倍数特征（快速判断）

2的倍数：个位0,2,4,6,8。(偶数/奇数)

5的倍数：个位0或5。

3的倍数：各位数字和是3的倍数。

共性：2和5的倍数看个位；3的倍数看各位和。

三、数的分类（基于因数个数）

质数：只有2个因数（1和本身）。最小质数2。

合数：至少有3个因数。最小合数4。

1：既不是质数，也不是合数。

100以内质数表（筛法）。

四、数的分解：分解质因数