将军饮马-最短路径问题-初中-数学-教学设计

将军饮马——最短路径问题贾晨西安铁一中滨河学校一、教材分析初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为理论基础.本节内容以数学中的一个经典问题--将军饮马为载体进行设计，开展对最短路径一系列问题的探讨研究.让学生学会利用图形变换将线段和最小的问题转化为两点间的距离或点到直线的距离，再利用用理论基础来解决最短路径问题，借助相关几何知识进行说理、计算.培养学生分析问题、思考问题、解决问题的能力.对学生初中阶段的数学学习起着至关重要的作用.二、学情分析本节课针对的是九年级下学期的学生,他们在数学学习上已经有了一定的积累,但对于最值相关的问题，学生只是见题做题，没有形成系统化的积累.另外,在面对实际背景的最值问题中，学生会感到陌生，无从下手，经验不足. 教学目标【知识与技能】能利用轴对称、平移转化问题，能利用两点之间线段最短，垂线段最短解决最短路径问题. 【过程与方法】通过实践使学生体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想.【情感、态度、价值观】培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究问题的成就感. 四、教学重难点1、教学重点利用平移、轴对称变化将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”或“垂线段最短”的问题.2、教学难点能利用图形变换对实际问题进行转化.教法与学法小组自主合作探究模式.教具准备多媒体、三角尺、其他教具.教学过程（一）知识回顾：

两定一动、垂线段最短基本型1、异侧解决和最小问题：在直线l上求一点P，使PA+PB值最小.做法： 理论：2、同侧解决差最大问题：在直线l上求一点P，使∣PA－PB∣值最大.做法： 理论：中垂线解决差最小问题：在直线l上求一点P，使∣PA－PB∣值最小.做法： 理论：垂线段最短型问题：点P在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点D，在OA边上求作一点C，使PD+CD最小.做法：理论：要求：1、小组对以上三类问题进行讨论回顾；2、将讨论结果进行书面作图及总结.探究提示：①独立思考；②小组起立，小课代组织组员交流，并进行汇总；③小组交流完毕后，掌声示意并坐下.设计意图：通过学生独立思考、小组合作交流过程，学生对将军饮马的相关知识进行回顾，进一步总结巩固基本模型.（二）课内及时评价1．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝1，DC＝2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为．2．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝6，点D是BC边上一点，且BD＝2，点P是线段AB上一动点，则PC+PD的最小值为．3．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝135°，点P是菱形内部一点，且满足S△PCD＝，则PC+PD的最小值是．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为．5．直线l外有一点D，点D到直线l的距离为5，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，tan∠CAB＝，边AB在直线l上滑动，则四边形ABCD周长的最小值为．6．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为．设计意图：通过学生练习，考察学生对最短路径问题的实际应用能力以及相关计算能力，巩固对相关知识的理解.（三）探究一：两次对称型问题：在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN

的周长最小．做法： 理论：练习：1．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为．2．如图，已知矩形ABCD中，∠ABD＝70°，BC=4，E、F是对角线BD上的两个动点，G是BC上的动点，连接CE、EG、GF的最小值是．要求：1、小组讨论完成理论基础的作图和说理；2、独立思考计算完成对应练习.提示：①小组起立，小课代表组织组员讨论，并进行汇总；②小组讨论完毕后，掌声示意并坐下.设计意图：通过该模型，使学生更好的线段的转化方式，总结经验，形成解决最短路径的一般方法.（四）探究二：定长动线段平移型问题：在直线l上求两点

M、N（M在左），使

MN=a，并使AM+MN+NB的值最小．做法： 理论：练习：1．如图，我区某中学教学区与住宿区被公路隔开，为了保障师生安全，学校准备在公路上建设一座过街天桥CD（公路两边互相平行，且要求天桥与公路垂直）．已知该校教学楼A到公路一边的距离AE＝20m，宿舍楼B到公路一边的距离BF＝25m，公路宽度为35m，教学楼A与宿舍楼B的直线距离AB＝100m，则修建的天桥CD若保证从教学楼A与宿舍楼B的距离（即AC+CD+DB）最短，则这个最短距离是m．2．如图，已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A（1，3），B（m，0），C（m+2，0），D（5，1），当四边形ABCD的周长最小时，m的值为．要求：1、小组讨论完成理论基础的作图和说理；2、独立思考计算完成对应练习.提示：①小组起立，小课代表组织组员讨论，并进行汇总；②小组讨论完毕后，掌声示意并坐下.设计意图：通过该模型，使学生学会解决动点不重合的问题，通过平移，将分散的线段集中，再利用最值原理解决问题.（五）拓展提升：三动点问题问题：在△ABC的边AB、BC、AC上求三点D，E，F，使△DEF的周长最小．做法： 理论：练习：1．如图，已知△ABC的面积为10，BC＝5，∠A＝30°，点D，E，F分别是边AB、BC、AC上的动点，求△DEF周长的最小值．要求：1、小组讨论完成理论基础的作图和说理；2、独立思考计算完成对应练习.提示：①小组起立，小课代表组织组员讨论，并进行汇总；②小组讨论完毕后，掌声示意并坐下.设计意图：通过该模型，对学生的认知进一步提升，拓展学生的思维，对学生的理解和应用能力进一步拔高.（六）课内及时评价1．如图所示，AB＝6，AC＝3，∠BAC＝60°，为⊙O上的一段弧，且∠BOC＝60°，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为.2．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是.3．如图，△ABC是边长为9的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边作等边三角形ADE，F为AC中点，则线段EF的长为．（七）谈谈你的收获与感悟设计意图：锻炼学生的语言表达能力及概括能力.（八）布置作业完成配套练习题教学反思通过本节课的学习、讨论、整理，使学生对最短路径问题有了体系化的认识和理解，锻炼了学生的思维能力，能够将实际问题抽象成数学问题，利用平移、轴对称等方式进行转化，在利用理论基础以及计算相关知识加以