初中数学专题《网格中的相似》含答案

初中专题05网格中的相似【小题热身】1．如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（）A．处 B．处 C．处 D．处2．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（）A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤3．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于_____．4．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，已知是网格中的格点三角形，则该网格中与相似且面积最大的格点三角形的面积是______，符合条件的格点三角形共有______个．5．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，C为格点，点B为所在小正方形边长的中点．（1）BC的长为___；（2）若点M和N在边BC上，且，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作图，并简要说明点M和N的位置是如何找到的（不要求证明）_____．6．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．Ⅰ的面积等于______；Ⅱ若四边形DEFG是中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法不要求证明________________．7．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，是一条小河平行的两岸.(Ⅰ)的距离等于_____；(Ⅱ)现要在小河上修一座垂直于两岸的桥(点在上，点在上，桥的宽度忽略)，使最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出，并简要说明点，的位置是如何找到的(不要求证明)_________________________________.8．如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点，，均为格点，点，分别为线段，上的动点，且满足．(1)线段的长度等于__________；(2)当线段取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出线段和，并简要说明你是怎么画出点Q，P的：_______________________．9．如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，点，点均落在格点上.(Ⅰ)的面积等于____；(Ⅱ)点为边上的动点，当取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段，并简要说明点的位置是如何找到的(不要求证明)______.【磨刀霍霍】10．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹．（1）在图①中画出线段AB的中点C；（2）在图②中画出线段AB上的一点D，使AD：BD＝4：5．11．由边长为1的小正方形组成的6×6的网格中，线段AB的两个端点都在格点上．（1）如图1，C，D也在格点上，连结CD交AB于点O，则＝____________．（2）如图2，仅用无刻度直尺在△ABC的边AB上找一点M，使得＝．12．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）．（1）在图1中画出一个格点，使得与相似，周长之比为；（2）在图2中画出一个格点，使得与相似，面积之比为．13．如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹．（1）在图1中画一个，使得∽，且相似比为．（2）在图2中以为直径的半圆上找一点，画出，使得．14．图①、图②、图③均是88的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中画出的中线BD．（2）在图②的边AB上找到一点E，将AB分成2：3两部分．（3）在图③的边BC上找到一点F，使15．如图，是由个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点A，B，C均在格点上，在AB，BC上各取一点D，E，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图.（1）在图中画线段DE，使线段且；（2）在图中画线段DE，使线段且.16．在由边长为1的正三角形组成的正六边形网格中画一个与已知△ABC相似但不全等的三角形．17．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，点均落在格点上，为⊙的直径．（1）的长等于__________；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为斜边、面积为的，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．18．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中画图（保留作图连线痕迹），并回答问题．（1）在的右边找格点，连，使平分．（2）若与交于，直接写出的值．（3）找格点，连，使于．（4）在上找点，连，使．

专题05网格中的相似【小题热身】1．如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（）A．处 B．处 C．处 D．处【答案】B【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则对应边的比值必须相等，可据此进行判断．【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC，又BA=2，AC==2，BC==，，∴，即，∴BP=4，PD=4，只有符合这样的要求，故P点应该在．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．2．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（）A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤【答案】A【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．【详解】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，又∵，∴，，∴△ABC∽△ADE∽△HFA，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于_____．【答案】2.5【分析】画出图形，利用数形结合的思想，画出相似比为1：的三角形，求出面积即可．【详解】解：如图△ABC是面积最小的格点三角形，△DEF是面积最大的格点三角形，=2.5故答案为：2.5．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．4．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，已知是网格中的格点三角形，则该网格中与相似且面积最大的格点三角形的面积是______，符合条件的格点三角形共有______个．【答案】1016【分析】根据Rt△ABC的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为1：2，在6×6的网格图形中可得出与Rt△ABC相似的三角形的短直角边长应小于4，在图中尝试可画出符合题意的最大三角形，进而解答即可．【详解】解：在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，∴AB=，AC：BC=1：2，∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=，EF=，DF=的三角形，∵，∴△ABC∽△DFE，∴∠DEF=∠C=90°，∴此时△DEF的面积为：，△DEF为面积最大的三角形；Rt△ABC的三边为1：2：的直角三角形，∵相似，直角边为1：2，∴直角边应为与，如图中4个，每旋转90°又有4个，∴共4×4=16（个）．故答案为：10；16．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，明确相似三角形的判定定理并运用数形结合思想是解题．5．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，C为格点，点B为所在小正方形边长的中点．（1）BC的长为___；（2）若点M和N在边BC上，且，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作图，并简要说明点M和N的位置是如何找到的（不要求证明）_____．【答案】取格点G、H，分别连结AG、AH交边BC于点M、点N，即为所求【分析】（1）格点C向下平移，格点B向右平移，交点处为直角三角形的直角顶点，用勾股定理计算即可；（2）根据三角形全等，三角形相似的思想，分别取格点G、H，分别连结AG、AH交边BC于点M、点N，即为所求【详解】（1）根据题意，得BC==；（2）根据三角形全等，取格点G，连接AG交BC于点M，利用三角形相似，取格点H，连接AH，交BC于点N，则M，N为所求．理由如下：∵CF=AE=3，AF=EG=1，∠F=∠E=90°，∴△AFC≌△GEA，∴AC=GA，∠FCA=∠EAG，∵CF∥AP，∴∠FCA=∠CAP=∠EAG，∵∠FAC+∠FCA=90°，∴∠FAC+∠GAE=90°，∴∠GAC=90°，连接HC,HG，则HC=HG=，CR=HT=2，GT=HR=1，∴△HRC≌△GTH，∴∠GHT=∠HCR，∵∠RHC+∠HCR=90°，∴∠RHC+∠GHT=90°，∴∠RHC+∠GHT+∠THR=180°，∴C，H，G三点共线，∵AG=AC，HG=HC，∴∠MAN=∠NAC==45°，∵AQ：QB=2,AP：PH=2,∠AQB=∠APH=90°，∴△BAQ∽△HAP,∴∠BAQ=∠HAP，∴∠BAQ+∠EAG=∠HAP+∠FCA，∴∠BAM=∠NAC=45°，∴．【点睛】本题考查了格点问题，勾股定理，三角形全等，三角形相似，正方形的性质，等腰三角形的性质，准确理解题意，运用全等和相似确定格点是解题的关键．6．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．Ⅰ的面积等于______；Ⅱ若四边形DEFG是中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法不要求证明________________．【答案】6见解析【分析】（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；

（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求【详解】解：（Ⅰ）△ABC的面积为：；（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，

则四边形DEFG即为所求．证明：根据题意得当正方形DEFG各个顶点都在△ABC的边上时，其面积才有可能最大，则必有两点在三角形一边上，此时四边形内接于三角形，根据三角形内接正方形的性质，锐角三角形的最大内接正方形是以三角形的最短边为底形成的正方形，如图所示作出符合要求的四边形DEFG，可知：DG∥AQ∥EF∥PC，DE∥GF，∴四边形DEFG是平行四边形，且△DGQ∽△PCQ，△ADE∽△ACB，△CDP∽△ADQ，∴，，，则DG=，DE=，∵PC⊥BC，∴DG⊥GF，则四边形DEFG是矩形，∵PC=BC，，∴DG==，=====DE，∴矩形DEFG是正方形.故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．【点睛】此题考查了复杂作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．7．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，是一条小河平行的两岸.(Ⅰ)的距离等于_____；(Ⅱ)现要在小河上修一座垂直于两岸的桥(点在上，点在上，桥的宽度忽略)，使最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出，并简要说明点，的位置是如何找到的(不要求证明)_________________________________.【答案】取格点，连接，(使)，取格点、，连接(使)，与交于点；同理作点；连接与交于点，连接与交于点，连接，即为所求【解析】【分析】(Ⅰ)利用勾股定理求出AB的长即可；(Ⅱ)要使最短，则MN⊥l1，AM与BN转化成一条线段时最短，取格点，连接，交l1于Q，交l2于P，由网格性质可得AC⊥l1，由l1//l2可得平行线间的距离PQ=MN的长，取格点、，连接，交AC于A′，根据相似三角形的性质可得AA′=PQ，同理可作点B′，则BB′=PQ，连接与交于点，连接与交于点，则BB′=PQ，可得四边形AA′BB′是平行四边形，由全等三角形的性质可得AM=A′N，可得四边形AA′MN是平行四边形，可知MN⊥l1，同理BN=B′M，则AM+BN=AB′距离最短，即可得解.【详解】(Ⅰ)AB==.故答案为：(Ⅱ)如图，取格点，连接，(使)，交l1于Q，交l2于P，∴PQ⊥l1，∴PQ=，取格点、，连接(使)，与交于点；∵∠AFE=∠EAA′，∠AEF=∠AEF，∴△AA′E∽△FAE，∴，∴AA′=，∴AA′=PQ，同理作点；连接与交于点，连接与交于点，连接，∴BB′=AA′=PQ，∵BB′//AA′，∴四边形AA′BB′，∴AB′//A′B，∴∠QAM=∠PA′N，又∵AQ=A′P，∠AQM=∠A′PN，∴△AQM≌△A′PN，∴AM=A′N，∴四边形AA′MN是平行四边形，∴AA′//MN，∴MN⊥l1，同理：BN=B′M，∴AM+BN=AB′距离最短，∴即为所求.故答案为：取格点，连接，(使)，取格点、，连接(使)，与交于点；同理作点；连接与交于点，连接与交于点，连接，即为所求【点睛】本题考查网格的特征，全等三角形及相似三角形的应用，熟练掌握相关性质是解题关键.8．如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点，，均为格点，点，分别为线段，上的动点，且满足．(1)线段的长度等于__________；(2)当线段取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出线段和，并简要说明你是怎么画出点Q，P的：_______________________．【答案】5取格点．连接，它们相交于点，连接，分别交于点，则线段和即为所求．【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长即可；（2）要使AQ+PC有最小值，则应把AQ与PC转换到一条直线，利用全等三角形可确定∠QBT的位置，连接EF，利用相似三角形可确定T点位置，连接AT交BC于Q，则QT=PC，根据全等三角形确定∠ACP，据此即可得出点P、Q的位置.【详解】(1)AB==5.(2)∵要使AQ+PC有最小值，∴应把AQ与PC转换到一条直线，即使QT=PC，得AQ+PC=AT，∴作△BQT≌△APC即可，∴应作∠CBT=∠BAC，BT=AC=3，∴连接BD，则∠CBT=∠BAC，∵BD=5，∴要使BT=3，则=，∴连接EF，则==，即BT=3，∴连接AT，交BC于Q，则Q点即为所求，∵△BQT≌△APC，∴∠BTA=∠ACP，∴只要作△ABT的全等三角形即可，∵AC=BT，∠ABT=90°，AB=5，∴作GA⊥AC，AG=5，则△ABT≌△GAC，∴连接CG，交AB于P，则∠ACP=∠ATB，则P点即为所求.故答案为5；取格点．连接，它们相交于点，连接，分别交于点，则线段和即为所求．【点睛】本题考查网格的特征，全等三角形及相似三角形的应用，熟练掌握相关性质是解题关键.9．如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，点，点均落在格点上.(Ⅰ)的面积等于____；(Ⅱ)点为边上的动点，当取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段，并简要说明点的位置是如何找到的(不要求证明)______.【答案】5取格点D，连接AD，使AD⊥BC，取格点E、F，连接EF，使EF⊥AB，交AD于A′，交AB于H，交BC于P，点P即为所求.【分析】(Ⅰ)利用勾股定理求出AC、AB、BC的长，可得△ABC是直角三角形，根据三角形面积公式即可得答案；(Ⅱ)设点A关于BC的对称点为A′，利用△ABC的面积可求出AA′的长，取格点D，连接AD，使AD⊥BC，取格点E、F，连接EF，交AD于A′，交AB于H，交BC于P，根据相似三角形的性质可得A′是A关于BC的对称点，根据网格的特点可得EF⊥AB，sin∠ABC=，由AP+BP=(AP+BP)可得AP+BP最小时，AP+BP的值最小，由轴对称性质可得AP=PA′，而BP=HP，可得AP+BP的最小值为PA′+PH=A′H，故点P即为所求.【详解】(Ⅰ)∵AB==2，AC==，BC==5，∴BC2=AB2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∴三角形ABC的面积为：×2×=5，故答案为5（Ⅱ）设点A关于BC的对称点为A′，∴AA′=2×=4，取格点D，连接AD，则AD⊥BC，AD=BC=5，取格点E、F，连接EF，交AD于A′，交AB于H，交BC于P，∵△AFA′∽△DEA′，∴∴AA′=4，即A′为点A关于BC的对称点，由网格特点得EF⊥AB，∵AP+BP=(AP+BP)∴AP+BP取最小值时，AP+BP的值最小，∵sin∠ABC===，∴PH=PB，∵AP=A′P，∴AP+BP=A′P+PH=A′H，为AP+BP的最小值，所以点P即为所求.故答案为取格点D，连接AD，使AD⊥BC，取格点E、F，连接EF，使EF⊥AB，交AD于A′，交AB于H，交BC于P，点P即为所求.【点睛】本题考查网格的特征，相似三角形的应用及锐角三角函数的定义，熟练掌握网格的特征及锐角三角函数的定义是解题关键.【磨刀霍霍】10．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹．（1）在图①中画出线段AB的中点C；（2）在图②中画出线段AB上的一点D，使AD：BD＝4：5．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．【分析】（1）由题意取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即为所求；（2）根据题意取格点J，K，连接JK交AB于点D，点D即为所求．【详解】解：（1）如图，点C即为所求作．（2）如图，点D即为所求作．【点睛】本题考查作图-应用与设计和线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意并灵活运用所学知识解决问题．11．由边长为1的小正方形组成的6×6的网格中，线段AB的两个端点都在格点上．（1）如图1，C，D也在格点上，连结CD交AB于点O，则＝____________．（2）如图2，仅用无刻度直尺在△ABC的边AB上找一点M，使得＝．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）根据网格的特点，可知，进而根据△ACO∽△BOD，即可求得,（2）在格点上找到点，使得，连接交于点,则点即为所求．【详解】解（1）由题意：∵AC∥BD，∴△ACO∽△BOD，∴AO∶BO＝AC∶BD，，即AO∶BO＝3∶4＝（2）如图，在格点上找到点，使得，连接交于点,则点即为所求，连接,，，，设到的距离为，．【点睛】本题考查了网格作图，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．12．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）．（1）在图1中画出一个格点，使得与相似，周长之比为；（2）在图2中画出一个格点，使得与相似，面积之比为．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可．（2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可．【详解】解：（1）如图，△即为所求作．（2）如图，△即为所求作．【点睛】本题考查作图相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹．（1）在图1中画一个，使得∽，且相似比为．（2）在图2中以为直径的半圆上找一点，画出，使得．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由∽，且相似比为可直接进行作图；（2）由题意及圆周角定理可直接进行作图．【详解】解：（1）由∽，且相似比为，如图所示：（2）根据圆周角定理可确定点P的位置，然后可作如图所示：【点睛】本题主要考查圆周角定理及相似三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的性质是解题的关键．14．图①、图②、图③均是88的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中画出的中线BD．（2）在图②的边AB上找到一点E，将AB分成2：3两部分．（3）在图③的边BC上找到一点F，使【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】如图①所示找出以AC为对角线的正方形，然后连接此正方形的另一条对角线，两对角线交于点D，根据正方形的性质即可得出结论；如图②所示，找出格点G、H，GH与AB交于点E，证出∽，即可得出结论；如图③所示，找到格点M、N，MN与BC交于点F，证出∽，根据相似三角形的性质和等高时，三角形面积比等于底之比即可得出结论．【详解】解：如图①所示，找出以AC为对角线的正方形，然后连接此正方形的另一条对角线，两对角线交于点D，根据正方形的性质，点D即为AC的中点，连接BD，BD即为所求；如图②所示，找出格点G、H，GH与AB交于点E，由图易知AG∥BH，AG=2，BH=3∴∽∴∴点E即为所求；如图③所示，找到格点M、N，MN与BC交于点F，由图易知BN∥MC，BN=2，CM=3∴∽∴∴∴点F即为所求【点睛】此题考查的是正方形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握利用正方形的性质和相似三角形的判定及性质找出所求点是解决此题的关键．15．如图，是由个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点A，B，C均在格点上，在AB，BC上各取一点D，E，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图.（1）在图中画线段DE，使线段且；（2）在图中画线段DE，使线段且.【答案】（1）见解析;（2）见解析.【分析】（1）根据题意画线段DE，使线段且，利用尺规进行作图即可；（2）根据题意画线段DE，利用尺规进行作图使线段且即可.【详解】解：（1）如解图，线段DE为所求；（2）如解图，线段DE为所求:【点睛】本题结合三角形考查尺规作图，熟练掌握尺规作图的技巧以及利用平行线性质和比例线段作图是解题的关键.错因分析：（1）①不能熟练掌握中位线的性质；②不能熟练利用矩