广东中山市三鑫凯茵学校2025-2026学年九年级下学期3月学情自测数学试卷(含答案)

2025-2026学年九年级下学期3月学情自测数学试题一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．12025A．2025 B．﹣2025 C．12025 D．2．我国某公司生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅0.000015米，是世界上最薄的不锈钢．数据0.000015用科学记数法表示为（）A．1.5×10﹣4 B．1.5×10﹣5 C．15×10﹣6 D．0.15×10﹣43．我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a、b两面，且a∥b，现有一束光线CD从玻璃中射向空气时发生折射，折射后光线变成DE，F为射线CD延长线上一点，当∠1＝133°，∠2＝19°时，∠3的度数为（）A．28° B．31° C．35° D．38°5．下列各式计算正确的是（）A．a2+2a3＝3a5 B．（a2）3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．a2•a3＝a66．将抛物线y＝﹣2x2平移3个单位长度后得到y＝﹣2（x﹣3）2，则平移方向是（）A．向上 B．向下 C．向左 D．向右7．把一个大正方形分成如图所示的四个不重叠的小正方形，现从中任选三个，则选中的三个小正方形中包括两个阴影部分小正方形的概率是（）A．12 B．13 C．148．若点A（1﹣a，a+2）在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．9．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则2b2﹣8c+1的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．210．如图，在平面直角坐标系中，点A、B都在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，延长AB交y轴于点C，作BD⊥x轴于点D，连接CD、AD，并延长AD交y轴于点E．若AB＝2BC，△DCEA．2 B．3 C．6 D．9二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．在如图的方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则图中m的值为．12．已知a、b是方程x2+3x+1＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝．13．因式分解：a3b2﹣9a＝．14．如图是某款“不倒翁”的示意图，PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B．若该圆半径是4cm，∠P＝60°，则AMB的长是cm．15．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与ED，EC分别交于点M，N．计算MN的长为．三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分、16．（7分）先化简，再求值：(2xx217．（7分）如图，在△ABC中，D为边AC上的一点，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．（1）尺规作图：作线段BD的垂直平分线，交AB于点M，交BC于点N，连接DM，DN，MN交BD于点H（只保留作图痕迹，不写作法和结论）．（2）在（1）的条件下，求证：EM＝FN．请补全下面的证明过程．证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴①（②），∠ABD＝∠CBD．∵MN是BD的垂直平分线，∴BM＝DM，BN＝DN，∠BHM＝∠BHN＝90°．在△BHM和△BHN中，∠ABD=∠CBDBH=BH∠BHM=∠BHN∴△BHM≌△BHN（ASA），∴③，∴DM＝DN（④）．∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEM＝∠DFN＝90°．在Rt△DME和Rt△DNF中，⑤∴Rt△DME≌Rt△DNF（HL），∴EM＝FN．18．（7分）“一方有难八方支援”，某市筹集了大量的医疗物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往疫情严重的地区，具体运输情况如下：第一批第二批A型号货车的辆数（单位：辆）12B型号货车的辆数（单位：辆）43累计运送货物的吨数（单位：吨）3438备注：第一批、第二批每辆货车均满载（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨医疗物资；（2）该市后续又筹集了60吨医疗物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需要多少辆B型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地．四．解答题（二）：本大题共5小题，每小题9分，共27分。19．（9分）某校进行九年级体能测试，测试后，将学生的体能成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图．请你根据统计图信息，回答下列问题：（1）参加体能测试的学生共有名；在扇形统计图中，表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为；图中m的值为．（2）补全条形统计图；（3）等级为C的学生有4名来自九年级1班，这4名学生中有两名是女生．王老师准备从这4名学生中随机选出2名学生，请用树状图或列表格的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率．20．（9分）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CE＝4，OC＝5，则△DBC的面积＝．21．（9分）我们定义：如果一个矩形A的周长和面积分别是矩形B的周长和面积的n倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全n倍体．【概念辨析】：若矩形B为正方形，是否存在一个正方形A是正方形B的完全2倍体？（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】：（1）长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？小颖和小丽分别有以下思路：①小颖：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝14，xy＝24，联立x+y=14xy=24，得x2﹣14x②小丽：如图，也可用反比例函数l2：y=24x与一次函数l1：y＝﹣请直接写出这个完全2倍体的长与宽：．（2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全12（3）如果长为4，宽为3的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k满足的不等式．22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A（﹣6，8），点C在x轴正半轴上，对角线AC交y轴于点M，边AB交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动．（1）求点B的坐标．（2）求对角线AC所在直线的解析式．（3）设动点P的运动时间为t秒，连接PM、BM，△PBM的面积为S，请用含t的式子表示S；（4）当t＝8时，直线AC上是否存在点N，使S△NBM＝S△PBM．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（14分）【尝试】如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0）和B（3，0），与y轴相交于点C．已知位于点B右侧图象上有一动点P，并且射线PA、PB分别交y轴于点D、点E．（1）求二次函数表达式；（2）线段DE、CD有什么数量关系？请说明理由．【探究】若二次函数y＝mx2+nx+p（m＞0）的图象经过上述A、B两点，其它条件不变，线段DE、CD的以上数量关系还成立吗？说明理由．【拓展】若开口向上的二次函数的图象经过两点（a，0）和（b，0），且b＞a＞0，其它条件不变，请直接写出线段DE、CD的数量关系是．

参考答案一．选择题题号12345678910答案DBDABDABBC二．填空题11．6．12．﹣7．13．a（ab﹣3）（ab+3）．14．16315．45三．解答题16．解：(＝[2x(x+1)(x−1)−=2x−x+1(x+1)(x−1)•=x+1(x+1)(x−1)•=1x−1•=1当x＝﹣4时，原式=117．（1）解：如图，作线段BD的垂直平分线，交AB于点M，交BC于点N，连接DM，DN，MN交BD于点H．．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠CBD，DE＝DF，∵MN是BD的垂直平分线，∴∠BHM＝∠BHN＝90°，BM＝DM，BN＝DN，在△BHM和△BHN中，∠ABD=∠CBDBH=BH∴△BHM≌△BHN（ASA），∴BM＝BN，∴DM＝DN（等量代换）．∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEM＝∠DFN＝90°．在Rt△DME和Rt△DNF中，DM=DNDE=DF∴Rt△DME≌Rt△DNF（HL），∴EM＝FN．故答案为：①DE＝DF；②角平分线的性质；③BM＝BN；④等量代换；⑤DM＝DN．18．解：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，依题意，得x+4y=342x+3y=38解得x=10y=6答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资．（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，依题意，得：10×3+6m≥60，解得：m≥5，又∵m为正整数，∴m的最小值为5．答：至少还需联系5辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．四．解答题19．解：（1）参加体能测试的学生共有30÷15%＝200（名）．在扇形统计图中，表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为40200∵m%=80∴m＝40．故答案为：200；72°，40．（2）A等级的人数为200﹣30﹣40﹣80＝50（人）．补全条形统计图如图所示．（3）列表如下：男男女女男（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，男）（女，女）女（女，男）（女，男）（女，女）共有12种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一男一女的结果有8种，∴所选的学生恰好是一男一女的概率为81220．（1）证明：连接OD，如图所示：∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，OC＝AB，∴∠DOC＝∠ODA，∠EOC＝∠OAD，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EOC＝∠DOC，在△EOC和△DOC中，OC=OC∠EOC=∠DOC∴△EOC≌△DOC（SAS），∴∠OEC＝∠ODC，∵CE是⊙O的切线，∴OE⊥EC，即∠OEC＝90°，∴∠ODC＝90°，即OD⊥DC，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OF⊥AB于点F，如图所示：∴AD＝2AF，由（1）OE⊥EC，OC＝AB＝5，∵CE＝4，OC＝5，∴OE=O∵∠OEC＝∠AFO＝90°，∠EOC＝∠OAD，∴△EOC∽△FAO，∴OEAF∴AF=9∴AD=2AF=18∴BD=AB−AD=7∴S△DBC故答案为：422521．解：概念辨析：不存在．因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在．故答案为：不存在．（1）①长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形，∵矩形ABCD长为4，宽为3，∴矩形ABCD的周长为14，面积为12，小颖：设新矩形长和宽分别为x、y，则依题意x+y＝14，xy＝24，联立x+y=14xy=24整理得x2﹣14x+24＝0，解得：x1＝12，x2＝2，∴新矩形的长为12，宽为2时，周长为28，面积为24，∴长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形．②小丽：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝14，xy＝24，即y=−x+14，y=24利用反比例函数l2：y=24x与一次函数l1：故答案为：长为12，宽为2；（2）长为4，宽为3的矩形C的周长为14，面积为12．设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=72，联立得x+y=7整理得：2x2﹣7x+12＝0，∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×12＝﹣47＜0，∴此方程没有实数根，即长为4，宽为3的矩形C不存在完全12（3）设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k（4+3）﹣x，即7k﹣x，由题意得：x•（7k﹣x）＝12k，整理得：x2﹣7kx+12k＝0，Δ＝49k2﹣48k，∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍，∴Δ≥0，即：49k2﹣48k≥0，解得：k≥4849，∴k的取值范围为：k≥4822．解：（1）∵A（﹣6，8），∴AH＝6，OH＝8，∴OA=6∵四边形ABCO是菱形，∴AB＝OA＝10，AB∥OC，∴AH＝6，∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，∴B（4，8），（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣6，8），C（10，0）代入得：−6k+b=810k+b=0，解得k=−∴直线AC的解析式为：y=−12（3）连接BM，如图3﹣1中，当0≤t＜5时，∵对角线AC交y轴于点M，∴M（0，5），∴OM＝5，∴MH＝OH﹣OM＝8﹣5＝3，∴S=12•PB•MH=12×如图3﹣2中，当5＜t≤10时，∵四边形ABCO是菱形，∴∠OCM＝∠BCM，∵CO＝CB，CM＝CM，∴△OCM≌△BCM（SAS），∴∠MOC＝∠MBC＝90°，∴MB⊥BC，∴S=12•BP•MB=12×∴综上所述，S=15−3t(0≤t＜5)（4）存在点N，如图4所示：当t＝8时，点P在BC上运动，∴S△PBM＝5t﹣25＝5×8﹣25＝15，∵S△NBM＝S△PBM，∴S△NBM＝15，过点N作NP⊥x轴交MB于点Q，设直线M