人教B版 (2019)必修 第三册7.3.4 正切函数的性质与图修教案设计

人教B版(2019)必修第三册7.3.4正切函数的性质与图修教案设计设计思路本节课以人教B版(2019)必修第三册7.3.4正切函数的性质与图象为教学内容，以学生为主体，教师引导，通过探究活动，让学生掌握正切函数的性质与图象，培养学生观察、分析、归纳等能力，提高学生的数学素养。教学过程中，注重与课本内容的联系，结合实际问题，引导学生深入理解正切函数的性质与应用。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过探究正切函数的性质，学生能够理解函数与图形的内在联系，提升数学抽象能力；通过逻辑推理，学生能够发现正切函数的周期性和奇偶性，培养逻辑推理能力；通过数学建模，学生能够将实际问题转化为数学模型，解决实际问题；通过数学运算，学生能够熟练运用三角函数知识，提高数学运算能力。重点难点及解决办法重点：正切函数的性质与图象的理解与应用。

难点：正切函数周期性的理解与证明，以及正切函数奇偶性的发现。

解决方法与突破策略：

1.通过实例引入，引导学生观察正切函数图象的特点，帮助学生理解周期性。

2.设计探究活动，让学生通过自主探究、合作交流，发现正切函数的周期性规律，并尝试证明。

3.利用几何画板等工具，动态展示正切函数图象的变化，帮助学生直观理解奇偶性。

4.通过对比分析，引导学生归纳总结正切函数的奇偶性，并应用于实际问题中。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：结合正切函数的定义，系统讲解其性质，帮助学生建立知识体系。

2.讨论法：引导学生围绕周期性、奇偶性等性质进行讨论，培养合作学习能力和批判性思维。

3.实验法：利用几何画板等软件，让学生通过操作实验，直观感受函数图象的变化，加深理解。

教学手段：

1.多媒体课件：展示正切函数图象，动态演示周期性变化，增强直观感受。

2.互动平台：利用在线平台进行课堂互动，提高学生参与度和学习效率。

3.实物教具：结合教具演示正切函数的实际应用，帮助学生理解数学与生活的联系。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕正切函数的性质，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“正切函数的周期性如何体现？如何证明其周期性？”

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解正切函数的基本性质。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解正切函数的性质，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过展示正切函数的实际应用案例，如机械运动中的正切关系，引出课题。

-讲解知识点：详细讲解正切函数的周期性和奇偶性，结合图形和实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生根据预习成果，分享对正切函数性质的理解。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，如“为什么正切函数是奇函数？”进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论，分享自己的观点，倾听他人意见。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解正切函数的性质。

-实践活动法：设计小组讨论，让学生在实践中应用知识。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解正切函数的性质，掌握其应用。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置与正切函数性质相关的练习题，如证明正切函数的周期性。

-提供拓展资源：提供与正切函数性质相关的拓展阅读材料，如数学竞赛题目或应用案例。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的正切函数知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。教师随笔Xx知识点梳理六、知识点梳理

1.正切函数的定义与基本性质

-正切函数的定义：正切函数是三角函数的一种，表示为y=tan(x)，其中x为实数。

-定义域：正切函数的定义域为实数集去掉所有形如(π/2+kπ)的点，k为整数。

-值域：正切函数的值域为所有实数。

-周期性：正切函数的周期为π，即tan(x+π)=tan(x)。

-奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

2.正切函数的图象

-正切函数的图象是一条连续不断的曲线，具有以下特点：

-当x接近(π/2+kπ)时，y值趋于正无穷或负无穷。

-当x为kπ时，y值为0，k为整数。

-正切函数的图象在每个周期内有两个渐近线，分别为y=x+kπ，k为整数。

3.正切函数的性质

-单调性：在(-π/2,π/2)区间内，正切函数是单调递增的。

-函数的连续性：正切函数在其定义域内是连续的。

-函数的对称性：正切函数关于原点对称。

4.正切函数的应用

-在几何学中，正切函数可以用来计算直角三角形中的角度。

-在物理学中，正切函数可以用来描述物体在曲线轨道上的运动。

-在工程学中，正切函数可以用来计算斜率等。

5.正切函数的极限

-当x趋于(π/2+kπ)时，tan(x)趋于正无穷或负无穷。

-当x趋于kπ时，tan(x)趋于0。

6.正切函数的反函数

-正切函数的反函数是反正切函数，表示为arctan(x)。

-反正切函数的定义域为(-∞,∞)，值域为(-π/2,π/2)。

-反正切函数的图象是正切函数图象关于y=x的对称图象。

7.正切函数的导数

-正切函数的导数是sec²(x)，其中sec(x)为正割函数。

-正割函数的定义域为实数集去掉所有形如(π/2+kπ)的点，k为整数。

-正割函数的值域为所有正实数。

8.正切函数的积分

-正切函数的积分是-arctan(x)+C，其中C为积分常数。

9.正切函数与三角恒等变换

-正切函数可以与其他三角函数通过三角恒等变换相互转化。

-例如，利用恒等式tan²(x)+1=sec²(x)，可以将正切函数转化为正割函数。

10.正切函数的实际应用案例

-在建筑设计中，正切函数可以用来计算屋顶的坡度。

-在物理学中，正切函数可以用来描述物体在圆周运动中的角速度。教师随笔Xx教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生在课堂上的参与度是评价学生学习效果的重要指标。我将观察学生在课堂上的发言积极性、问题解答的准确性以及与同学的互动情况。

-例如，通过提问和回答问题，我可以评估学生对正切函数性质的理解程度。

2.小组讨论成果展示：

-在小组讨论环节，我将评价学生是否能有效地运用正切函数的知识解决实际问题，以及他们是否能够清晰地表达自己的观点和结论。

-例如，通过展示小组讨论的成果，如正切函数性质的应用案例，我可以评估学生的团队合作能力和问题解决能力。

3.随堂测试：

-我将设计一些随堂测试题，包括选择题、填空题和简答题，以检验学生对正切函数性质的记忆和应用能力。

-例如，测试中可能会包括计算正切函数的周期、奇偶性以及求解特定角度的正切值。

4.学生自评与互评：

-我鼓励学生进行自我评价和相互评价，这有助于学生反思自己的学习过程和成果。

-例如，学生可以评价自己在小组讨论中的贡献程度，以及在学习新知识时的进步。

5.教师评价与反馈：

-针对学生的课堂表现、讨论成果和随堂测试结果，我将给出具体的评价和反馈。

-例如，对于正确解答问题的学生，我将给予肯定和鼓励；对于存在困难的学生，我将提供个别辅导和针对性的建议。典型例题讲解1.例题：求函数y=3tan(x)的周期。

解答：由于正切函数的周期为π，所以函数y=3tan(x)的周期也是π。因此，对于任意实数x，有：

3tan(x+π)=3tan(x)。

所以，函数y=3tan(x)的周期为π。

2.例题：证明正切函数是奇函数。

解答：对于任意实数x，有：

tan(-x)=-tan(x)。

证明：

由于tan(x)=sin(x)/cos(x)，那么tan(-x)=sin(-x)/cos(-x)。

根据三角函数的性质，sin(-x)=-sin(x)和cos(-x)=cos(x)。

所以，tan(-x)=(-sin(x))/(cos(x))=-sin(x)/cos(x)=-tan(x)。

因此，正切函数是奇函数。

3.例题：求函数y=tan(x)在区间(0,π)内的单调性。

解答：在区间(0,π)内，正切函数是单调递增的。证明如下：

设0<x1<x2<π，那么：

tan(x1)=sin(x1)/cos(x1)和tan(x2)=sin(x2)/cos(x2)。

由于在(0,π)内，sin(x)和cos(x)都是正的，所以：

tan(x1)<tan(x2)。

因此，函数y=tan(x)在区间(0,π)内是单调递增的。

4.例题：求正切函数y=tan(x)在x=π/4时的导数。

解答：正切函数的导数是sec²(x)。所以，当x=π/4时，有：

y'=sec²(π/4)=(√2)²=2。

因此，函数y=tan(x)在x=π/4时的导数是2。

5.例题：求解方程tan(x)=1在区间(0,2π)内的解。

解答：由于正切函数的周期为π，我们可以将方程tan(x)=1简化为：

x=π/4+kπ，其中k为整数。

在区间(0,2π)内，满足条件的解为：

x=π/4，x=5π/4。

因此，方程tan(x)=1在区间(0,2π)内的解为x=π/4和x=5π/4。内容逻辑关系①正切函数的定义

-正切函数y=tan(x)的定义域为实数集去掉所有形如(π/2+kπ)的点，k为整数。

-正切函数的值域为所有实数。

②正切函数的图象

-正切函数的图象在每个周期内有两个渐近线，分别为y=x+kπ，k为整数。

-正切函数的图象具有周期性，周期为π。

③正切函数的性质

-正切函数是奇函数，满足tan(-x)=-tan(x)。

-正切函数在(-π/2,π/2)区间内是单