初中数学七年级下册《线段垂直平分线性质应用与尺规作图》练习课教案

初中数学七年级下册《线段垂直平分线性质应用与尺规作图》练习课教案

一、教学内容分析

本节课是北京师范大学出版社义务教育教科书《数学》七年级下册第五章“图形的轴对称”的练习课，具体内容聚焦于线段垂直平分线的性质应用与尺规作图技能的巩固提升。本章属于“图形与几何”领域，是在学生学习了基本平面图形、相交线与平行线、三角形的基础上，对图形特殊位置关系与性质的进一步探索。轴对称不仅是现实生活中广泛存在的现象，更是探索图形性质、认识图形之间关系的重要工具。【基础】本节课的核心内容是线段垂直平分线的概念、性质及其应用，以及基于性质的尺规作图方法的深化理解。从知识体系上看，它既是等腰三角形性质的延伸和拓展，又为后续学习角的平分线、特殊四边形乃至圆的相关知识奠定基础，起到了承上启下的关键作用。【重要】通过本节课的练习与探究，旨在帮助学生进一步内化线段垂直平分线的性质定理，即“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”，并能够熟练运用该性质进行几何推理与计算。【高频考点】同时，强化学生的作图能力，特别是运用尺规作已知线段的垂直平分线，并能灵活变式解决“过一点作已知直线的垂线”等问题，【难点】实现从知识习得到技能形成的转化。

二、学情分析

七年级下学期学生已经具备了一定的几何学习基础。在知识储备上，学生已经学习了三角形的相关知识，并在本章前几节中初步认识了轴对称图形，了解了等腰三角形的性质，经历了通过折叠、观察、猜想等合情推理探索图形性质的过程。【基础】这为本节课理解线段的轴对称性以及通过折叠发现垂直平分线的性质提供了认知前提。在能力发展上，学生的空间想象能力和逻辑推理能力正处于快速发展阶段，但对几何语言的规范使用和演绎推理的严谨性仍有待加强。学生对于利用全等三角形进行严格证明尚感困难，【难点】因此本节课在性质应用上，侧重于引导学生运用轴对称的性质进行直观说理和简单推理，不追求过于复杂的证明过程。此外，七年级学生好奇心强，对动手操作、合作探究等活动充满兴趣，【重要】因此本节课设计了不同层次的练习和变式探究，旨在通过“做中学”激发学生的学习内驱力，使不同层次的学生都能获得成功的体验。

三、核心素养指向

本节课的教学设计旨在落实《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向。通过观察、操作、想象、推理、表达等数学活动，着重发展学生的以下核心素养：一是几何直观和空间观念，通过折叠、画图等活动，帮助学生建立图形的位置关系与数量关系的直观感知，形成对线段垂直平分线的空间表象；二是推理能力，引导学生在运用性质进行判断、计算和说理的过程中，逐步养成言之有据、有条理地思考与表达的习惯，初步发展演绎推理意识；三是应用意识和创新意识，通过创设真实的问题情境和开放性的探究任务，引导学生发现数学在现实生活中的广泛应用，并在变式作图和一题多解中激发学生的探究精神和创造力。

四、教学目标

1.【基础】进一步理解线段垂直平分线的概念，熟记并能准确表述线段垂直平分线的性质定理。

2.【重要】能熟练运用线段垂直平分线的性质进行简单的几何推理和计算，解决与三角形周长、角度计算相关的问题，并能清晰、规范地书写推理过程。【高频考点】

3.掌握用尺规作图法作已知线段的垂直平分线，理解其作图原理，并能在此基础上解决过一点作已知直线的垂线等变式作图问题，【难点】体会尺规作图的基本原理和步骤的严谨性。

4.在经历观察、操作、猜想、验证、归纳的数学活动过程中，进一步发展几何直观、空间想象能力和逻辑推理能力，感受数学的严谨性与内在的逻辑美。

五、教学重难点

1.【重点】线段垂直平分线性质的理解与灵活应用；用尺规作已知线段的垂直平分线。

2.【难点】探索并理解尺规作图作线段垂直平分线的原理，并能将此方法迁移用于解决“过一点作已知直线的垂线”问题；在复杂图形中识别和构建垂直平分线模型，综合运用性质解决问题。

六、教学方法与准备

教学方法：主要采用“问题驱动—变式探究—分层练习—归纳提升”的教学模式。以问题串引导学生层层深入，通过变式训练帮助学生多角度理解知识，设计必做与选做练习满足不同学生需求，最后通过师生共同小结形成知识网络。教学中融合动手实践、合作交流、自主探究等多种学习方式。【重要】

教学准备：教师需准备多媒体课件（PPT），动态演示图形的折叠过程、尺规作图的步骤以及复杂图形中的模型提取；学生准备直尺、圆规、铅笔、橡皮、三角形纸片等学具。

七、教学实施过程（核心环节）

（一）知识再现与诊断练习（约5分钟）

【设计意图】通过快速诊断，激活学生已有认知，暴露可能存在的迷思概念，为后续针对性练习铺垫。采用抢答与板演相结合的形式，调动课堂气氛。

教师通过PPT出示一组判断题和填空题。

1.判断：角的对称轴是它的角平分线。（）（纠正：直线）

2.填空：如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为O，若AO=3cm，则BO=（）cm，AB=（）cm。

3.口答：线段垂直平分线的性质是什么？（点拔：点到线段两端点的距离相等，强调“任意一点”。）

4.板演：请两位同学到黑板上，分别画出线段AB和线段MN，并用尺规作出它们的垂直平分线。其余同学在练习本上完成。完成后，师生共同点评，规范作图语言和痕迹，强调作图要点：分别以两端点为圆心，以大于二分之一线段长为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线。【基础】【高频考点】

（二）性质应用与变式训练（约20分钟）

【设计意图】设置从直接套用性质到综合运用、从单一模型到复杂图形的系列练习，层层递进，螺旋上升，深化学生对性质的理解，培养模型识别与迁移能力。此环节为全课核心，需占用大部分时间。

5.直接套用，规范格式。【基础】

题目：如图1，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E。已知AC=8，BC=5，求△BEC的周长。

学生独立思考后口答思路，教师板书规范的解题格式，强调由DE垂直平分AB可得AE=BE，从而将△BEC的周长转化为AE+EC+BC=AC+BC=13。通过此题让学生明确：垂直平分线是连接已知与未知的桥梁，其核心作用是实现线段位置的转化。【高频考点】

6.图形变换，深化理解。【重要】

题目：如图2，在△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为D，连接BE，求∠CBE的度数。

变式（1）：若将∠A=40°改为∠C=50°，其他条件不变，求∠CBE的度数。

变式（2）：若AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE，则图中相等的线段还有哪些？图中有等腰三角形吗？【热点】

学生小组讨论，代表展示。教师引导学生发现，当AB=AC时，垂直平分线的引入构造了新的等腰三角形（△ABE），结合原等腰三角形△ABC，可得出多组角相等或互余的关系，为后续几何综合题打下基础。

7.逆向思考，拓展思维。【难点】

题目：如图3，在公路L同侧有两个村庄A、B，现要在公路边建一个公交站P，使P到两个村庄的距离之和PA+PB最短。请你用所学的数学知识确定点P的位置。

这是一个典型的“将军饮马”问题，教师引导学生将实际问题抽象为数学问题：已知直线L和同侧两点A、B，在L上求作一点P，使PA+PB最小。学生小组合作探究，教师适时点拨，将问题转化为“异侧”情况，利用轴对称的性质，作点A关于L的对称点A‘，连接A’B，与L的交点即为所求。此题将线段垂直平分线的性质（轴对称性质）与路径最短问题巧妙结合，体现了数学的模型思想与应用价值，【重要】同时渗透了转化与化归的数学思想。

（三）尺规作图与原理探究（约15分钟）

【设计意图】从“操作”层面深入到“原理”层面，引导学生思考“为什么这样作图”，并用所学知识解释作图依据，实现从直观经验到理性思考的飞跃，突破本节课的难点。

8.原理回顾，追本溯源。

教师提问：我们用尺规作线段垂直平分线时，为什么要以大于二分之一线段长为半径画弧？为什么两弧的交点恰好在线段的垂直平分线上？【难点】

引导学生回顾作图过程，利用刚复习过的性质定理进行解释：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。所作的两个交点，都满足到线段两端点距离相等（半径相等），因此这两点确定的直线就是线段的垂直平分线。通过这一追问，将“操作”与“原理”紧密结合，使学生的认识更加深刻。

9.变式作图，迁移创造。

问题1：如图4，已知直线m和直线外一点C，请你用尺规作图，过点C作直线m的垂线。

学生自主探究，教师巡视指导。提示学生：这个问题的核心是寻找一条以C为端点且垂直于m的直线。可以联想到，我们需要构造一条线段，使得直线m成为这条线段的垂直平分线，那么点C自然就是这条线段上的一个点，并且过点C作这条线段的垂直平分线的垂线，就是我们所求。

引导学生找到作图思路：在直线m上任意取两点A、B，分别以A、B为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧，两弧分别交于点C和另一点D，则直线CD即为所求。【重要】教师动画演示，强调取点A、B是为了确定一条线段，而构造点D是为了确定垂直平分线。学生动手操作，体会作图的逻辑与美感。

问题2：如果点C在直线m上，又该如何过点C作直线m的垂线呢？（课后思考题，为学有余力的学生准备）

10.模型归纳，升华认知。

引导学生总结尺规作图的核心模型：无论是作线段的垂直平分线，还是过一点作已知直线的垂线，其本质都是通过构造到线段两端点距离相等的两个点，从而确定这条线段的垂直平分线（即垂线）。【基础】这一模型渗透了几何构造的基本思想，为后续学习更复杂的尺规作图奠定基础。

（四）分层练习与拓展提高（约5分钟）

【设计意图】通过分层练习，面向全体，同时给优等生提供思维挑战的空间。当堂反馈，及时巩固，提高课堂效率。

A层（基础巩固）：

11.如图5，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长等于______。【热点】

12.课本随堂练习对应题目。

B层（能力提升）：

13.如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD，求证：BD=DC。【重要】

（五）课堂小结与反思建构（约3分钟）

【设计意图】引导学生从知识、方法、思想三个层面进行梳理，将零散的知识点串联成线，织线成网，形成结构化的认知体系。

教师引导学生回顾本节课的学习历程：

14.知识层面：我们复习了线段垂直平分线的定义和性质，并能用它来计算和证明。

15.方法层面：我们掌握了用尺规作垂直平分线的方法，并理解了其原理；学会了运用轴对称性质解决最短路径问题。

16.思想层面：我们再次体会了转化思想（如周长转化、最短路径问题转化）、模型思想（将军饮马模型）以及数形结合思想。

最后，教师以寄语升华：数学不仅是一门演绎科学，更是一门实验科学。希望