2026年湖南邵阳市高三下学期第二次联考数学试卷

2026年湖南邵阳市高三下学期第二次联考数学试卷一、单选题1.已知集合，集合，则（）

A．B．C．D．2.已知复数满足，则下列说法正确的是（）

A．B．复数在复平面内对应的点位于第一象限C．复数的共轭复数为D．将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为3.在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（）

A．B．C．D．4.清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A．24种B．36种C．64种D．72种5.已知函数，则下列结论错误的是（）

A．B．C．函数在区间上单调递增D．函数的图象关于点中心对称6.已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（）

A．B．9C．15D．207.已知函数，，则（）

A．是偶函数，且在单调递增B．是偶函数，且在单调递减C．是奇函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减8.在正四棱锥中，是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（）

A．B．C．D．二、多选题9.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交于，两点，则下列结论成立的是（）

A．的周长为8B．C．的最小值为D．存在直线，使得10.下列说法正确的是（）

A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3B．若随机变量，，则C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25D．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（）

A．B．若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为C．的最大值为D．若点是的外心，且，，则三、填空题12.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，动点满足.当取最大值时，______.13.已知，则______.14.已知函数（，，），若在上恒成立，则的最大值为______.四、解答题15.已知数列是等差数列，且，，数列满足，.(1)求的通项公式，并证明数列是等比数列；(2)若数列满足，求的前项和.16.为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取120名学生.通过测验得到如下数据：甲校50名学生中有10名学生的数学成绩优秀；乙校70名学生中有10名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所示.单位：人

学校数学成绩合计不优秀优秀甲校1050乙校1070合计表（一）(1)完成表（一）列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？(2)已知甲、乙两所学校利用AI自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为.若从甲、乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学生数学成绩有效转化的概率.参考公式与数据：，其中.

0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.如图，在四棱锥中，，，，，，，点在线段上，，平面平面.(1)求证：；(2)设点是三棱锥的外接球的球心，且四棱锥的体积是，求直线与平面所成角的正弦值.18.已知双曲线的渐近线方程为，右焦点为，直线与相切于点.(1)若与的渐近线分别交于，两点，证明：点为线段AB的中点；(2)已知直线：，：，若与，分别交于点，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理