例谈压轴题解题教学-初中-数学-教学设计

例谈压轴题解题教学——以一道模考二次函数压轴题为例陈世盛西安铁一中滨河学校压轴题的完成情况直接决定了学生卷面成绩的上限，然而解决压轴题是绝大部分中等生迈不过去的槛。究其原因，学生不能在考试中选择计算量更小，更直接的解题方法。简而言之，方法不够巧、不够优，导致解题不够快。我以一道二次函数压轴题为例，分析和归纳压轴题解题的教学方法。题目展示题目：如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（略，函数解析式为y＝﹣x（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD、CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝2：1时，求点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．学生解法展示与分析第（2）问学生解法及分析解法展示解：过C作CE⊥OD于E.过F作FP⊥x轴于P，过D作DQ⊥x轴于Q.∵S△COF：∴OF∴OF:OD=2:3∵FP和DQ分别⊥∴FP∥DQ∴△FOP∽△DOQ∴OP设D（∴F（23m，−2∵B（2，0），C（0，2）∴直线BC的解析式为y∵F在直线BC上∴−解得m当m=1时，−m²∴D（1,2）分析该生能够通过观察图形发现△COF与△CDF具有相等的高CE，由此将条件中两三角形的面积比转化为线段比，再由线段比联想到相似三角形，转化为相似三角形的相似比。通过设D点的坐标，表示F点的坐标，结合F点在直线BC上这一条件列方程求解未知数，从而解决问题。但在应试时，学生答题时间不充足，而这种方法计算量略大，大多数采取此法的学生未能解答完全。第（3）问学生解法及分析解法展示解：过点B作射线BP交抛物线于点P，交y轴于点D，使∠EBO＝∠EBP由题，BE平分∠ABP∵EA⊥BA，EF⊥BP，E（0，∴△BAE≌△BFE∴EF=EA=1，设D（0，m）在Rt△DEF中，DF=DE∴BD=BF+FD=2+∵在Rt△ABD中，AB∴(−m)解得m1=0（舍去），∴D（0，−8∴直线BD解析式为y=4令y=43x−83=﹣解得x1=2(舍去)，当x=−7∴P(（P在x轴上方的情况通过对称得到，此处略）分析该生能主动构造二倍角，抓住角平分线的性质，通过设未知数表示各线段的长，活用勾股定理建立方程，进一步求出直线解析式与二次函数解析式联立，求出目标点坐标。但不难发现，这种方法计算量也很大。以这道压轴题为例分析发现，学生解答压轴题时不能灵活选用巧妙的方法，不讲究解题技巧，盲目计算，一条路走到黑，无法在有限时间内高效解答。优化解法展示第（2）问解法优化法1：见比设参优化学生解法将同高的两个三角形的面积比转化为底边的线段比，转化为A字型相似三角形△OFP与△ODQ的相似比，根据比例设参数，简化计算过程，提高解题效率。即设D（3∴F（2m∵OP∴3整理得9m²−6∴D（法2：紧扣已知构造相似三角形将同高的两个三角形的面积比转化为底边的线段比，构造8字型相似三角形△OFC与△DFE.此时将相似比转化为铅垂高与已知线段OC的比值，建立方程。此法大大减少计算量，效率高。解：过D作DE⊥x轴交BC于E，交x轴∵OC⊥∴∠COB=∠D∴OC∥D∴△COF∽△E∴OC设D（m，∴DE=∵DE=12解得m当m=1时，−m²∴D（1,2）第（3）问解法优化法1：巧用相似优化学生解法构造二倍角后，观察发现反A型相似三角形，利用△DEF与△DBO相似建立方程，避开大量的计算工作。在联立一次函数与二次函数解析式求点P坐标时，因已知B点坐标，可运用韦达定理巧妙求解。解：过点B作射线BP交抛物线于点P，交y轴于点D使∠EBO＝∠EBP∴∠EFD=90°=∠DOB∵∠ADB=∠ADB∴△DFE∽△DOB∴EF设D（0，m）在Rt△BOD中，DB由题，BE平分∠ABP∵EA⊥BA，EF⊥BP，E（0，∴EF=EA=1∴DE∴(DEDB解得m1=0（舍去），∴D（0，−8∴直线BD解析式为y=4令y=43x−83=﹣整理得x∵B（2,0）为直线与抛物线交点之一∴2xP=−143当x=−7∴P(（P在x轴上方的情况略）法2：构造二倍角，求二倍角的锐角三角函数值，运用等角的锐角三角函数值相等建立方程。在本题中可采用两种方式构造二倍角，第一种构造方法将△EBO沿x轴翻折得△FBO，构造∠FBE=2∠EBA，过E作EG⊥EB延长线于G，利用等面积法求线段EG的长，通过勾股定理求线段BG的长，从而求第一种构造方法证明如下：解：将△EBO沿x轴翻折得△FBO，过E作EG⊥B∴∠F在Rt△OBF∵S即5解得EG=4∴在Rt△BGE中，BG=BEtan∠设P（m，∴在Rt△PBQ中，tan∠即−m整理得3解得m1=0（舍去），当m=13∴P（13，209）（P点在x轴第二种构造方法证明如下：解：在OB上取点D，连接ED，使ED=BD.设OD=m，则∵在Rt△ODE中，DE即(解得m=∴tan∠∴在Rt△PBQ中，tan∠（后同第一种构造方法，不赘述。）变式设计变式设计在原题条件中，不难发现∠OBE的二倍角是一个锐角，因此仍然适用锐角三角函数法。若∠OBE的二倍角是一个钝角，不适用锐角三角函数，又可以通过什么方法解决问题？由此设计变式：如图，点E的坐标为（0，﹣4），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分析初中阶段学习的锐角三角函数仅适用于直角三角形，现在目标角是一个钝角，不适用锐角三角函数。不妨运用数学中的转化思想，把不能运用锐角三角函数的钝角转化为可以运用锐角三角函数的锐角。在本题中，可以通过研究目标角的邻补角，计算邻补角的锐角三角函数值，从而解决问题。类比第一种构造方法，将△EBO沿x轴翻折得△FBO，∠FBE=2∠EBO，过F作F值得注意的是，当目标角为钝角时，P点只能在x轴下方，则P点必须在B点右侧，因此P点横坐标一定大于2，求解方程后要注意检验是否符合题目实际。关于压轴题教学的思考结合对题目及学生作答情况的分析，我认为应从以下几个方面改进压轴题教学方法。渗透解题技巧教师应在教学中渗透解题技巧，引导学生积累技巧并加以运用。这要求教师既要自己把题做透，又要关注学生的解题方法，既可以通过技巧优化学生的方法，又要提升高度，给出更优的方法，让学生有醍醐灌顶，眼前一亮的感受。此外，教师还可以筛选变式，创设学生运用解题技巧的机会，培养学生运用解题技巧的意识。比如，在这道压轴题中，我们积累了丰富的解题技巧，如见比例引入参数设未知数；在已知直线与抛物线一交点坐标时运用韦达定理求解另一交点坐标；在有相似三角形时主动运用相似三角形的性质解决问题；当图形中蕴含直角时能够及时与锐角三角函数结合起来解决问题；牢牢把握条件中的不变量简化运算，使解答事半功倍等等，这些技巧在对应方法展示时应督促学生做好笔记，我选择“引入锐角三角函数解决问题”这一技巧设置变式，一方面可以让学生主动运用技巧解决问题，另一方面也渗透了转化的数学思想。在题目小结时，可以再次带领学生回顾解题技巧，加深