浙江大学历年数学专业考研真题

硕士研究生入学统一考试数学一真题

一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为.

(2)已知((6*)=此一*,且f(l)=O,则f(x)=

(3)设L为正向圆周无2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分£曲一2Mt的值为.

(4)欧拉方程学+4x农+2^=0(》>0)的通解为.

dx-dx

210

(5)设矩阵A=120,矩阵B满足A3A*=2BA*+E,其中A*为A的伴随矩阵，E是单位

001

矩阵，则网=.

(6)设随机变量X服从参数为4的指数分布，则P{X>J万7}=.

二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,

把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把x.0+时的无穷小量a=[cosJ力,£=J：tan4tdt,/=£'sintidt,使排在后面的是前

一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

(A)a,/3,y.(B)a,y,(3.(C)(D)/3,y,a.[]

(8)设函数f(x)连续，且/(0)>0,则存在S>0,使得

(A)f(x)在(0,3)内单调增加.(B)f(x)在(一a0)内单调减少.

(C)对任意的xe(0,J)有f(x)>f(O).

(D)对任意的xe(-5,0)有f(x)>f(0).I]

(9)设名叫为正项级数，下列结论中正确的是

W=1

8

(A)若limnatl=0,则级数V%收敛.

00

(B)若存在非零常数4,使得Um〃勺=4,则级数X。“发散.

(C)若级数“收敛，则limM0

/1-400

M=1

若级数£为发散,

(D)则存在非零常数A,使得limnan=2.]

W—>oc

M=1

(10)设f(x)为连续函数,尸⑺=£dy^f^x)dx,则尸(2)等于

(A)2f(2).(B)f(2).(C)-f(2).(D)0.f]

(ID设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足

AQ=C的可逆矩阵Q为

010010010011

(A)100.(B)101.(C)100.(D)100

101001011001

]

(12)设A.B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

(A)A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.

(B)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.

(C)A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.

(D)A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.]

(13)设随机变量X服从正态分布N(0,l),对给定的a(0<a<l),数M“满足>"&}=。,若

P{|X|<%}=«,则x等于

(A)ua.(B)j.(C)W]_a.(D)Uj.[]

~2一万~T

(14)设随机变量*1,*2「・,*“(〃>1)独立同分布，且其方差为。2>0.令y=*，则

2

(A)Cov(Xj,y)=—.(B)Cov(Xl9Y)=a.

n

n_i_2_i_i

(C)o(X1+y)=-----o-2.(D)£>(x,-y)=——o-2.[j

nn

(15)(本题满分12分)

设证明In2In2a>gs-a).

e~

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使

飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总

阻力与飞机的速度成正比(比例系数为&=6.0x106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？

注kg表示千克，km/h表示千米/小时.

(17)(本题满分12分)

计算曲面积分

/=JJ2jc'dydz+2yidzdx+?>[zl-Y)dxdy,

x

其中Z是曲面z=l—/一/(22())的上侧

(18)(本题满分11分)

设有方程x"+〃x—1=0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根猫，并证明当e>l时，级

00

数收敛.

n=l

(19)(本题满分12分)

设z=z(x,y)是由一一6盯+10V一2»-Z?+18=0确定的函数，求z=z(x,y)的极值点和极值.

(20)(本题满分9分)

设有齐次线性方程组

(1++X2H----\-Xn=0,

2司+(2+a)/+…+2x“=0,,小

<(〃>2)

nxy+nx2+•••+(〃+a)xn=0,

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.

(21)(本题满分9分)

'12-3'

设矩阵A=-14-3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化.

1a5

(22)(本题满分9分)

设A,B为随机事件，且P(A)=；,P(BA)=g,P(48)=g,令

vfl,A发生，vfl,B发生，

0,4不发生；[0,B不发生

求：(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布；

(II)X和Y的相关系数Qxy.

(23)(本题满分9分)

设总体X的分布函数为

-1——L%>1,

S)=

0,x$L

其中未知参数4>1,X1,X2,…,X”为来自总体X的简单随机样本，求:

(I)夕的矩估计量；

(II)夕的最大似然估计量.

2004年数学一试题分析、详解和评注

一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为x-

【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标.

【详解】由y'=(lnx)'=，=l,得x=l,可见切点为(1,0),于是所求的切线方程为

X

y-0=b(x-l),即y=x-l.

【评注】本题也可先设切点为(/,In/)，曲线y=lnx过此切点的导数为V='-=1,得%=1,

由此可知所求切线方程为y—0=l-(x—1),即y=x-l.

本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.

(2)已知/(e')=xeT,且f(l)=0,则f(x)=1(lnx)2.

【分析】先求出了'(x)的表达式，再积分即可.

【详解】令e*=t,则x=lnf,于是有

/⑺=也，即,m--.

tX

积分得/(x)=J^dx=g(lnx)2+C.利用初始条件f(l)=0,得C=0,故所求函数为f(x)=

1,

【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分.

(3)设L为正向圆周/+：/=2在第一象限中的部分，则曲线积分，9—2ydx的值为\.

【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.

【详解】正向圆周V+y2=2在第一象限中的部分，可表示为

X=V2cos^,人，、71

L6：0-＞一.

y=V2sin^,2

7T

于是£xdy-2ydx=，［V2cos^•V2cos。+2^/2sin。•收sin&\d0

【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参

数法化为定积分计算即可.

(4)欧拉方程x2R+4x@+2y=0(x>0)的通解为>=£L+殍.

dxdxxx

【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换x=e'化为常系数线性齐次微分方程即可.

【详解】令x=e',则包=电.包=0-'包=，包，

dxdtdxdtxdt

d2y]dy1d2ydt=1.2y叫

dx2x1dtxdrdxx2drdt

代入原方程，整理得

d2y+3今+2>=0,

dt2

21

解此方程，得通解为y=c,e-'+c2e-=^-+-^.

XX"

【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令x=d,则欧拉方程

2

ax^-+bx^+cy=f(x)

axdx

可化为。号吟】+吟+cy=f3>

210

(5)设矩阵A=120,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,其中4*为A的伴随矩阵，E是单位

001

矩阵，则网=-.

【分析】可先用公式A*A=|A]£进行化简

【详解】已知等式两边同时右乘A,得

ABAA=2B^A+A,而阿=3,于是有

3AB^6B+A,即(3A-6E)B=A,

再两边取行列式，有|34-6国忸|=网=3,

而13A-6£|=27,故所求行列式为忸|=L

【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵4”,一般均应先利用公式

A*A=A4*=同£进行化简.

(6)设随机变量X服从参数为；I的指数分布，则P[X>/57}=-.

e

【分析】已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可.

【详解】由题设，知£>X=+,于是

P{X>4DX}=P{X>-}=Ae-^dx

%7

〃-疝+81

=-e।=-.

Ie

【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.

二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,

把所选项前的字母填在题后的括号内)

2i-

(7)把x—>0+时的无穷小量a=，cost之力,£=，tanJ7力,7=「sinHJr,使排在后面的是前

一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

(A)a，B，y.(B)a,y,(3.(C)/3,a,y.(D)0,y,a.[B1

【分析】先两两进行比较，再排出次序即可.

BtanTtdttanx-2x

【详解】=业---------=局史上上?=0,可排除(C),(D)选项,

i°'a3°-「cos产川1°'cos/

Jo

3i

产sin产力sin-

£2---------=lim--------

又lim—=lim2-

"2xtanx

Jo

1x

lim—=00,可见/是比夕低阶的无穷小量，故应选(B).

47*Y

【评注】本题是无穷小量的比较问题，也可先将a,尸，7分别与无"进行比较，再确定相互的高低次序.

(8)设函数f(x)连续,且尸(0)>0,则存在b>0,使得

(A)f(x)在(0,6)内单调增加.(B)f(x)在(一瓦0)内单调减少.

(C)对任意的xe(0,b)有f(x)>f(O).(D)对任意的xe(-20)有f(x)>f(O)

[C]

【分析】函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用

导数的定义及极限的保号性进行分析即可.

【详解】由导数的定义，知

/'(0)=limW°)>0,

根据保号性，知存在b>0,当xe(—b,0)U(0,3)时，有

m-/(o).0

x

即当xe(一瓦0)时，f(x)<f(0);而当xe(0,b)时,有f(x)>f(0).故应选(C).

【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论.

(9)设为正项级数，下列结论中正确的是

n=\

00

(A)若则级数〃收敛.

(B)若存在非零常数；I,使得lim/4=4,则级数£明发散.

(C)若级数收敛,则向1〃4=0.

?：=1

(E)若级数fa“发散，则存在非零常数X,使得=/L[B]

n—KC

n=1

【分析】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.

10081

【详解】取。“二-^—,则lim几4=0,但发散，排除(A),(D)；

〃ln〃isTZiM〃In〃

又取％=—1=,则级数收敛，但2a“=oo,排除(C),故应选(B).

nyJn„=iis

【评注】本题也可用比较判别法的极限形式，

a②100

=lim^=/LwO,而级数£一发散，因此级数也发散，故应选(B).

H—>00〃T81

?：=1〃=1

n

(10)设f(x)为连续函数，/。)=[办，/(》)公，则/(2)等于

(A)2f(2).(B)f(2).(C)-f(2).(D)0.[B]

【分析】先求导，再代入t=2求尸(2)即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有

变量t.

【详解】交换积分次序，得

尸⑺=^dy^f(x)dx=£[£f(x)dy]dx=£/(x)(x-V)dx

于是,F'(t)=从而有F'(2)=f(2),故应选(B).

【评注】在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量X：

[广"/"⑺如=f[b(x)]b'(x)-f[a(x)]a'(x)

Ja(x)

否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量X换到积分号外或积分线上.

(11)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足

AQ=C的可逆矩阵Q为

010010010011

100(B)101100(D)100

101001011001

[D]

【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质,对A作两次初等列变换,相当于右乘两个相应的初等

矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积.

【详解】由题设,有

010100

A100=B,B011C,

001001

010100011

于是,A1000I1=A100=c.

001001001

可见，应选(D).

【评注】涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系.

(12)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

(D)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.

(E)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.

(F)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.

(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.A

【分析】A.B的行列向量组是否线性相关，可从A.B是否行(或列)满秩或Ax=O(Bx=O)是否有非

零解进行分析讨论.

【详解1】设A为〃2X〃矩阵，B为"XS矩阵，则由AB=O知，

r(A)+r(B)<n.

又A,B为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0.可见r(A)<n,r(B)<n,即A的列向量组线性相关，B的行向量组线

性相关，故应选(A).

【详解2】由AB=O知，B的每一列均为Ax=O的解，而B为非零矩阵，即Ax=O存在非零解，可见

A的列向量组线性相关.

同理，由AB=O知，BTAT^O,于是有的列向量组，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).

【评注】AB=O是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：

1)AB=O=>r(A)+r(B)<n;

2)AB=O=>B的每列均为Ax=O的解.

(13)设随机变量X服从正态分布N(O,1),对给定的a(O<a<l),数(满足P{X>%}=a,若

P{|X|<%}=«,则x等于

(A)%.(B)(C)“上.(D)ut_a.[C]

【分析】此类问题的求解，可通过先的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论.

【详解】由标准正态分布概率密度函数的对称性知，P{X<-ua]=a,于是

l-a=l-P{\X\<x}=Pl\X\>x}=P{X>x}+P[X<-x}=2P{X>x}

i—

即有P[X>x}=——，可见根据定义有％=%_。，故应选(C).

2

【评注】本题〃.相当于分位数，直观地有

(1一二)/2

(14)设随机变量X”X2,…,X“(〃>1)独立同分布，且其方差为c/>0.令丫=一工乂一则

(A)Cov(=—(B)Cby(X[,y)=cr

(C)D(X1+K)=(D)D(X1-Y)=

【分析】本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：

Cov(X1,XJ=0,z=2,3,…几

1n11n

【详解】Cov(X1,y)=Cov(X「一Zxj=—Cov(X|,XI)+—ZCov(Xj,XJ

=-DX

n.n

【评注】本题(C),(D)两个选项的方差也可直接计算得到：如

、八C/1+"v1v1v、(1+〃)22"T2

。(X।+丫)=D(------X]H—X2+…H—x“)=—(7H---C

nnnnn

n2+3/1几+3

=-----；---(J2=-------(T2，

nn

zV\-n(n~XV1Y1V、一("D：/-142

3n(XY]—Y)=D{------X-----X-----------X)=--------aH----厂b

n]n2nnnn

n~-2nn-2

=---z--CT2=----<72.

nn

(15)(本题满分12分)

设证明In2〃-In24>gs-Q).

e

【分析】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.

【证法1】对函数In?x在⑶b]上应用拉格朗日中值定理，得

In2h-]n2a=(b—d),a<<b.

、门/、Int，/、1-lnZ

设(pQ)——,则ml(p(，)——2—，

当t>e时，“⑺<0,所以以。单调减少，从而夕©)>夕(/),即

InJIne2_2

J>/e1

与。4

故]n'b-\n~a>-(b-d).

e

【证法2】设9(x)=In2x-gx,则

e~

，/、lnx4

(p(x)=2o----------7，

xe-

1-lnx

(P(X)=22—,

X

所以当x>e时，(p\x)<0,故9'(x)单调减少，从而当6<工</时，

♦44

/(X)>(p\e~)=---=0,

e~e

即当时，o(x)单调增加.

因此当evxv/时,(p(b)>(p(d),

44

即In2b——7/7>In2a——f

ee

•94

故lrrZ?-lrTQ>-yS—Q).

e

【评注】本题也可设辅助函数为Q(x)=In?x-ln2Q-g(x-a),e<a<xv/或

e

°(x)=In2。一in2x一：s—X),e<X<〃<e2,再用单调性进行证明即可.

e

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使

飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总

阻力与飞机的速度成正比(比例系数为&=6.0x1()6).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？

注kg表示千克，km/h表示千米/小时.

【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.

【详解1】由题设，飞机的质量m=9000kg,着陆时的水平速度为=700矽〃/〃.从飞机接触跑道开

始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t).

根据牛顿第二定律，得

m=-kv.

小

又

一-dxdv

力------—，

dtdx

由以上两式得

,m.

ax=---dv,

k

rnni

积分得X(t)=一一v+G由于伙0)=%,x(0)=0,故得。二一%,从而

kk

k

当v(Z)—>0时，x(r)T——-=---------=1.05(ZM).

k6.0x10

所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.

【详解2】根据牛顿第二定律，得m-=-kv,

dt

“…dvk,

所以—=---dt.

vm

_k_

两端积分得通解V=d,代入初始条件V=%解得C=%,

1=0uU

m

故v(Z)=voe.

飞机滑行的最长距离为

元=］；'□(7)力=一^^6端；=^^=1.05(左〃2)・

0k0左

,_k_f_k_ti_k_t

m

或由=VQ€Mf知x(，)=fu()edt=----—(€m—1),故最长距离为当，一>oo时，

dtJom

x(t)—>/"=1.05(左㈤.

m

cl~xdx

【详解3】根据牛顿第二定律，得m『一

d2x+kdx

0,

dt1mdt

其特征方程为分+幺丸=0,

解之得4=。,4

mm

m

故x=C)+C2e

_dx

由X二%’

/=0dtt=o°

得G=—C，=竺匕于是

kk

当，.+8时,x(t)—>=1.05(k/?i).

k

所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.

【评注】本题求飞机滑行的最长距离，可理解为，f+8或n(f)f0的极限值，这种条件应引起注意.

(17)(本题满分12分)

计算曲面积分

/=JJ2x'dydz+2y3dzdx+3(z2-V)dxdy,

工

其中Z是曲面Z=l---y2(zZ0)的上侧.

【分析】先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直

接投影法求解即可.

【详解】取二为xoy平面上被圆一+y21所围部分的下侧，记。为由E与工围成的空间闭区域,

则

/=Jj2/dydz+2y3dzdx+3(z?-\)dxdy

-jj2x3dydz+2y3dzdx+3(z2-Y)dxdy.

由高斯公式知

jj2x3dydz+2y3dzdx+3(z2-l)dxdy=jjj6(x2+y?+z)dxdydz

Z+Z|Q

「2"pl/*l-r2)

=6J。46])力](z+1)rdz

=12〃j[-^r(l-r2)2+r3(1-r2)]dr=2%.

而JJ2x3dydz+ly^dzdx+3(z2-\)dxdy=-jj-2>dxdy-3万，

Z|x2+^2<l

故/=2万-3万=一万.

【评注】本题选择力时应注意其侧与Z围成封闭曲面后同为外侧(或内侧)，再就是在乙上直接投

影积分时，应注意符号(W取下侧，与z轴正向相反，所以取负号).

(18)(本题满分11分)

设有方程£'+心-1=0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根x“，并证明当。〉1时，级

数收敛.

71=1

【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.

【证】记fn(x)=x"+nx-l.由/“(0)=—1<0,/„(l)=rt>0,及连续函数的介值定理知，

方程x"+以-1=0存在正实数根x“e(0,l).

当x>0时，£；(x)=nx'-'+n>0,可见工,(x)在[0,+oo)上单调增加，故方程Z+/tx-l=0存在惟

一正实数根居.

由xn4-nx-1=0与x〃>0知

0<x„=,故当a>1时，0<j<<(!)a.

nnn

而正项级数£4收敛，所以当。>1时，级数£方收敛.

n=\〃n=l

【评注】本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要

基本概念清楚，应该可以轻松求证.

(19)(本题满分12分)

设z=z(x,y)是由丁一6孙+10)2-2yz-z?+18=0确定的函数，求z=z(x,y)的极值点和极值.

【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然

后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.

【详解】因为x2-6xy+l0y2-2yz-z2+18=0,所以

八/八Sz八Szc

2x-6y—2y--2z——=0,

dxdx

-6x-k20y-2z-2y———2z—=0.

dydy

r

az

i-一

及

令',fx-3y=0,

<&

得•

/一=0[-3x+10y-z=0,

<

故F=3y，

.Z=y.

将上式代入/-6xy+10/-2yz-z2+18=0,可得

2—2yR—2(包)2_2z2

由于=0,

dx~dxdx1

-6-2--2y-^--2—•--2z-^=0,

dxdxdydydxdxdy

22

”,dzcdZC0、2cSZc

20-2----2----2y---2(——)2-2z--=0,

dydydydydy

d2z1d2z

所以__—___f-i—___」，=9

dx~(933)6dxdy(933)2dyI(933)3

故AC-BOU'-＞。，又A=」〉0,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为Z(9,3)=3.

366

类似地，由

入1a2z1「d2zl5

2_2

dxf-3,-3)6'dxdyptt)2'dy\(-9.-3.-3)-3'

o11

可知AC—B2=——>0,又4=——<0,从而点(-9,-3)是z(x,y)的极大值点，极大值为

366

z(-9,-3)=-3.

【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方

程.

(20)(本题满分9分)

设有齐次线性方程组

(1+a)x}+x2H----xn=0,

2xl+(2+a)x2H----F2xlt=0,

(«>2)

nxx+nx2H----F(〃+d)xn=0,

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.

【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行

变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n,进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题

设行列式的值必为零，由此对参数a的可能取值进行讨论即可.

【详解1】对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有

1+。11•••1\+a11•-I-

22+a2■­•2—2。a0•-0

A==B.

nnn•・•n+a-na00•.a.

当a=0时，r(A)=l<n,故方程组有非零解，其同解方程组为

X1+X2d----FXn=0,

由此得基础解系为

7…,0)。%=(—1,0,1,…,0)7,…力“T

于是方程组的通解为

X=+…+左“_闻“_1，其中匕，…,匕1为任意常数.

当aw0时，对矩阵B作初等行变换，有

〃(〃+1)

1+6Z11•-1-a+----0--0•-0

2

-210•-0-21

BT0­-0

_-n00•

■1-n00•-1

可知a=_/(〃+D时,=〃—故方程组也有非零解，其同解方程组为

2

-2X]+々=°,

_3X]+£=0,

<

-g+x“=0,

由此得基础解系为

〃=(1,2,…,〃)7,

于是方程组的通解为

x=kr),其中k为任意常数.

【详解2】方程组的系数行列式为

1+。11­­•1

22+。2•••2

M==3+驾1”

nnn•••〃

当|4|=0,即a=0或，=一〃(?1)时,方程组有非零解.

当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有

■11111r111••1

222•••20000

A=—>

nnnn00000

故方程组的同解方程组为

x}+x2+—I-xn=0,

由此得基础解系为

7=%=(-1,0,1,--,0)7,…,/T=(-1,0,(),•••,1)T,

于是方程组的通解为

x=kg"1----卜卜"一同“_1，其中匕，…,为任意常数，

当〃=一般(〃+1)时,对系数矩阵A作初等行变换，有

2

\+a11­••11+a11■-1

22+。2•••2-2aa0•-0

A=->

nnn•••n+a一na00■■a

\+a1110000

-2100-2100

—>

-n001一〃001

故方程组的同解方程组为

-2X]+x2=0,

3X1+与0,

<

-nxx+xn=0,

由此得基础解系为

〃=（1,2,…，

于是方程组的通解为

x=krt，其中k为任意常数.

【评注】矩阵A的行列式倒也可这样计算:

1+。11•••1111•-r-111•-r

22+。2•••2222•-2222・-2

A==aE+,矩阵的

.•・.・・...・.・.■.•.・.•・・・.••••・・.■..•・••・...

nnn••・〃+Qnnn・•nnnn•・n

特征值为0,…,0,"（丁）,从而A的特征值为a,a,…,a+,故行列式⑶=（a+"竽））a"7

（21）（本题满分9分）

12-3

设矩阵A=-14-3的特征方程有一个二重根，求