高中数学第3章函数的概念与性质微专题1二次函数的最值问题教师用书 人教A版必修第一册

微专题1二次函数的最值问题与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练几种常见的二次函数最值的求解方法．类型1不含参数的二次函数最值问题【例1】已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．[解]f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值．(2)由图可知，在[0，3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7．(3)由图可知，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4．类型2含参数的二次函数最值问题【例2】求函数f(x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0，2]上的最值．[解]f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为直线x＝a．(1)当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a．图①图②(2)当0≤a<1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a．(3)当1≤a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1．图③图④(4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1．综上，f(x)min＝-f(x)max＝3【例3】求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．[解]f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为直线x＝1．图①图②图③当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图②所示，最小值为f(1)＝1；当t>1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2．综上可得，g(t)＝t类型3与二次函数有关的恒成立、能成立问题【例4】(2022·福建省厦门第二中学月考)在①∀x∈[－2，2]，②∃x∈[1，3]这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数f(x)＝x2＋ax＋4．(1)当a＝－2时，求函数f(x)在区间[－2，2]上的值域；(2)若________，f(x)≥0，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，∴f(x)在[－2，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝3，f(x)max＝f(－2)＝12，∴函数f(x)在区间[－2，2]上的值域为[3，12]．(2)方案一：选条件①．由题意，得f(x)＝x+a2若－a2≤－2，即a≥4，则函数f(x∴f(x)min＝f(－2)＝8－2a≥0，解得a≤4，又a≥4，∴a＝4．若－2<－a2<2，即－4<a<4，则函数f(x)在区间-2，∴f(x)min＝f-a2＝4－解得－4≤a≤4，∴－4<a<4．若－a2≥2，即a≤－4，则函数f(x∴f(x)min＝f(2)＝8＋2a≥0，解得a≥－4，又a≤－4，∴a＝－4．综上所述，实数a的取值范围为[－4，4]．方案二：选条件②．∵∃x∈[1，3]，f(x)≥0，∴f(x)max≥0，∵函数f