重庆市2026年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断考试数学+答案

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={0,-1},B={x|x²-ax=0},若AUB=B,则a=

A.-2B.-1C.0D.1

2.已知向量a与b满足|a|=1,|b|=2,且a·b=-2,则|a-b|=

A.1B.2C.3D.4

3.已知a<b<c,则

A.ac<bcB.ac<b²

C.2a+b<2b+cD.b-a<c-b

4.树人中学选派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，要求甲不跑第一棒，丁不跑第四棒，则不同的接力

比赛顺序有

A.8种B.10种C.12种D.14种

5.已知△ABC中，AB=3,,则△ABC的面积为

A.√2B.√6c.2√2D.2√3

6.已知等比数列{a的首项a=527,公比若T,是数列{a}的前n项积，则T,取得最大值时n的值为

A.5B.6C.7D.8

7.若经过点(0,-2)的直线1既与曲线y=Inx相切，也与曲线y=eˣ-a(a∈R)相切，则a=

B.1C.2D.e

8.球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球

缺的高(如图).若球缺的底面半径为r,高为h,则球缺的体积已知棱长为2的正

方体ABCD-AB₁C₁D₁的各个顶点都在球O上，平面ABCD将球O截成两部分，那么较小部分的体积为

B.

C.2(√3-1)πD.

重庆市高三二诊第1页，共10页

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对

得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。

9.已知随机变量X服从二项分布,随机变量Y服从正态分布N(4,1),则

A.P(X≤2)=P(X≥5)B.P(Y≤3)=P(Y≥5)

C.E(X)=E(Y)D.D(X)=D(Y)

10.在平面直角坐标系中，经过点P(1,1)的直线交坐标轴于点A,B(A,B可重合),若点M满足AM=MB,

记M的轨迹为曲线C,则

A.曲线C的方程是x+y=2xyB.直线AB是曲线C的切线

C.曲线C关于直线x-y=0对称D.曲线C关于点对称

11.已知数列{a}满足aₙ+=2a²-1(n∈N),则

A.存在a₁∈R,使得{a}是常数列

B.存在a₁∈R,使得{a}是递减的等比数列

C.不存在a₁∈R,使得{a}是递增的等差数列

D.存在a₁>0,使得a₇=a,且a₈≠a

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数z=2-i,则zz=

13.已知f(x)是偶函数，对任意x,y∈(0,+∞),f(x)f(y)=f(x+y):当0<x<y时，f(x)<f(y).则

f(x)的表达式可以为.(写出满足条件的一个即可)

14.已知抛物线C:y=2x-x²,直线y=t(t>0)与C交于A,B两点，则以OA,OB为邻边的平行四边形

面积的最大值为

重庆市高三二诊·第2页，共10页

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知函数f(x)=asin2x-2sin²x(a∈R).

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若曲线y=f(x)关于直线.对称，求a以及f(x)的值域.

16.(15分)

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，EA=EC=2.

(1)若M是棱BE的中点，证明：DEY面ACM;

(2)若AC=AB,,求平面ACE与平面ADE夹

角的余弦值.

17.(15分)

已知函数

(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

(2)当0<x<1时，若f(x)≤ax-1,求实数a的取值范围.

重庆市高三二诊··第3页，共10页

18.(17分)

小明拥有1个电动玩具，厂家配备了一个装电池的盒子，内装满原装4块电池，其中2块为可充电电池，2

块为一次性电池.为了保证随时可玩耍，小明又购买了2块可充电电池备用.他每次玩玩具时就随机从装满电池

的盒子中取出1块使用，若为一次性电池，则使用完毕后丢弃，并补充1块可充电电池装入盒中；若为可充电电

池，则使用完毕后充电，并放入盒中以备下次使用.

(1)记第n次使用后一次性电池剩余的块数为X。,求X₂的数学期望；

(2)记第n+1次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为pa·

(i)求p。;

(ii)分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大.

19.(17分)

已知O为坐标原点，椭圆E:1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),短轴长为2.

(1)求E的离心率；

(2)已知M是以OF为直径的圆上一点，P是射线OM上一点，满足O|M||OP|=a².

(i)求点P的轨迹方程：

(ii)当点P在x轴上方时，过点P作y轴的垂线l,若1与椭圆E在第一象限内有一个交点Q,直线PF

与y轴相交于点N,求证：△NFQ的外接圆经过异于F的一个定点.

重庆市高三二诊··第4页，共10页

数学参考答案

一、选择题：

12345678

BCCDABCA

1题解析：AUB=B→AcB,B={0,a},所以a=-1;

2题解析：|a-b|=√a²+b²-2a·b=3;

3题解析：由a<b<c,2a<b+c即2a+b<2b+c;

4题解析：分丁跑第一棒和乙或丙同学跑第一棒，A³+CC₂A²=14:

5题解析：因为,所以,△ABC为直角三角形，所以AC=1,BC=2√2,

S=√2:

6题解析：,由T,=a₁·a₂…aa,要满足T<T,>T+,则a,>l>a+,因为3⁵<527<3⁶,

所以当n=6时满足要求；

7题解析：设曲线y=Inx的切点为(x,Inx),则由,切线方程

故-1+Inx₁=-2,解得,所以切线方程为y=ex-2,设曲线y=eˣ-a的切点为

(x₂,e²-a),由y=e,得e²=e,即x₂=1,切线方程为y-(e¹-a)=e(x-1),化简得

y=ex-a→-a=-2=a=2;

8题解析：设外接球圆心为0,平面ABCD截外接球所得圆圆心为O₁,由题意正方体外接球的半径R=√3,

平面ABCD截外接球所得圆的半径为r=√2,○到O₁的距离为√3-2=1,则球缺的高h=√3-1,

二、选择题：

91011

BCACDACD

9题解析：,则有P(X≤2)=P(X≥6),,Y~N(4,1),

则有P(Y≤3)=P(Y≥5),E(Y)=4,D(Y)=1,所以选BC.

重庆市高三二诊·第5页，共10页

10题解析：当A,B不重合时，设A(a,0),B(0,b),则过A,B的直线满点(1,1)在直线上，则

由AM=MB,所以M点坐标为(,则有M点的轨迹方程满足,即

x+y=2xy,当A,B重合时，(0,0)也满足方程，A正确；当且仅当AB:x+y-2=0时，AB与C

相切，B错误；若点(x₀,y%)满足方程x+y=2xy,则(y₀,x₀)也满足方程x+y=2xy,所以曲线C

关于直线x-y=0对称，C正确；若点(x₀,y₀)满足方程x+y=2xy,则(1-x,1-y%)也满足方程

x+y=2xy,所以曲线C关于点对称，D正确.

11题解析：当a₁=1或时，{a}是常数列，A正确；若{a;是等比数列，,即

2a,a₂(a₁-a₂)=(a₂-a),因为{a}是递减数列，所以a₁≠a₂,则,同理，

从而a₁=a3,矛盾，B错误；若{a}是递增等差数列，则a₂-a₁=a₃-a₂,

2a²-a₁-1=2a₂²-a₂-1=2a²-2a,'=a₁-a₂,因为a<a₂,所以,同理

所以a₁=a₃,矛盾，C正确；当0<a₁<1时，令a₁=cosθ,其中,则

aₙ=cos2”⁻¹θ,a₂=cos20,a₃=cos40,a₃=cos80,令80,=θ+2π,,则

,D正确.

三、填空题：

121314

5e(任意满足条件的即可)

12题解析：zz=(2-i)(2+i)=5;

13题解析：x,y∈(0,+oo),f(x)f(y)=f(x+y),则f(x)在(0,+∞)上满足指数函数性质，又0<x<y时，

f(x)<f(y),则f(x)在(0,+∞)上是增函数，可取f(x)=e(x>0),因为f(x)是偶函数，所以

可取f(x)=e.(任意满足条件的即可)

重庆市高三二诊第6页，共10页

14题解析：由题意，设A(x,t),B(x₂,t)为交点坐标，则x,x₂是2x-x²=t(0<t<1)的解，则有

则以OA,OB为邻边的平行四边形面积S=|x₂-x;It=t·√(x₁+x₂)²-4x,x₂=t.√4-41.

令f(t)=t²(1-t)(0<t<1),则,所以时，f'(1)>0,f(t)单调递增，

f'(t)<0,f(t)单调递减，所以当f(t)最大，即S有最大值

四、解答题：

15.(13分)

解：(1)f(x)=asin2x-(1-cos2x)=asin2x+cos2x-1=√a²+1sin(2x+φ)-1,0≤φ<2π,

所以最小正周期…5分

(2)由题意，,即,得a=√3,

符合题意，

…10分

,所以-3≤f(x)≤1.即f(x)的值域为[-3,1].…13分

16.(15分)

解：(1)设BD与AC的交点为0,连接MO,因为ABCD是菱形，所以DO=BO,又EM=MB,

所以DE//MO,因为MOc平面ACM,DE女平面ACM,所以DE//平面ACM;…4分

(2)过E做EH⊥DB,连接EO,所以EO⊥AC,又DO⊥AC,且EO∩DO=0,

所以AC⊥平面DEO,又EHc平面DEO,所以EH⊥AC,AC∩BD=0,

所以EH1平面ABCD,…8分

作Oz//EH,则有Oz⊥平面ABCD,以O为原点，OA,OB,

Oz所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，

由题意知，OA=1,OE=OB=√3,AB=2,所以

,则A(1,0,0),C(-1,0,0),D(0,-√3,0),

重庆市高三二诊第7页，共10页

所有AC=(-2,0,0),

AD=(-1,-√3,0),

设平面ACE的法向量n=(x,y,z),则

取z₁=1,可得平面ACE的一个法向量n=(0,√3,1),

设平面ADE的法向量n2=(x₂,y₂,z₂),则

取z₂=1,可得平面ADE的一个法向量n₂=(3,-√3,1),…12分

设平面ACE与平面ADE夹角为φ,所以

综上，平面ACE与平面ADE夹角的余弦值为…15分

17.(15分)

解：(1)f(x)的定义域为(-∞,0)U(0,1),f(x)求导有

,则

当x<0时，φ(x)>0,φ(x)在(-∞0,0)上单调递增，当0<x<1时，φ'(x)<0,φ(x)在(0,1)上

单调递减，所以φ(x)<0,则有f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)、(0,1)单调递减；…6分

(2)当0<x<1时，f(x)≤ax-1等价于In(1-x)≤ax²-x,即In(1-x)-ax²+x≤0,

令g(x)=In(1-x)-ax²+x(0<x<1),则

①若2a≥-1,即,则g'(x)<0,g(x)在(0,1)单调递减，所以g(x)<0满足题意，…10分

②若2a<-1,即,令g'(x)=0,得当x∈(0,x₀)时，g(x)>0,g(x)

在(0,x₀)单调递增，当x∈(x₀,1)时，g(x)<0,g(x)在(x₀,1)单调递减，所以

重庆市高三二诊··第8页，共10页

,h(x)是减函数，所以g(x₀)>0,与条件矛

盾，

综上，所以…15分

18.(17分)

解：(1)X₂的可能取值为0,1,2,所以

…5分

(2)(i)记事件A₁:第一次取到一次性电池，事件B:取到可充电电池，事件A₂:第二次取到一次性电池，

由条件，假设第k(1≤k≤n)次抽取时，事件A发生，概率,第n+1次抽取时，事件A₂发生，

,后面每次发生事件的概率为

概率,在事件A前面每次发生事件B的概率为B

则有

抽取次数

12……k-1kk+1……nn+1

事件BB……B4B……BA₂

…12分

(ii)