北京化工大学《工程数学》2025-2026学年期末试卷

北京化工大学《工程数学》2025-2026学年期末试卷

一、选择题（总共10题，每题3分，每题只有一个正确答案，请将正确答案填写在每题后面的括号内）1.设矩阵\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(\vertA\vert=0\)，则（）A.\(A\)中必有两行（列）的对应元素成比例B.\(A\)中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合C.\(A\)中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合D.\(A\)中至少有一行（列）元素全为零2.已知向量组\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,3,a)^T\)，\(\alpha_3=(1,a,3)^T\)线性相关，则\(a\)的值为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(r(A)=r\ltn\)，则\(A\)的\(n\)个行向量中（）A.必有\(r\)个行向量线性无关B.任意\(r\)个行向量线性无关C.任意\(r\)个行向量都构成极大线性无关组D.任意一个行向量都可以由其余\(r-1\)个行向量线性表示4.若\(n\)阶方阵\(A\)满足\(A^2=A\)，则\(A\)的特征值只能是（）A.\(0\)或\(1\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(2\)5.设\(A\)为\(n\)阶正交矩阵，则下列结论不正确的是（）A.\(\vertA\vert=\pm1\)B.\(A^{-1}=A^T\)C.\(A\)的列向量组是正交单位向量组D.\(A\)的行向量组不是正交单位向量组6.已知矩阵\(A\)的特征值为\(1,-1,2\)，则矩阵\(A^2+2A-3E\)的特征值为（）A.\(0,-4,5\)B.\(0,4,5\)C.\(0,-4,-5\)D.\(0,4,-5\)7.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)的秩\(r(A)=n-1\)，\(\xi_1,\xi_2\)是齐次线性方程组\(Ax=0\)的两个不同解，则\(Ax=0\)的通解为（）A.\(k\xi_1\)（\(k\)为任意常数）B.\(k\xi_2\)（\(k\)为任意常数）C.\(k(\xi_1-\xi_2)\)（\(k\)为任意常数）D.\(k(\xi_1+\xi_2)\)（\(k\)为任意常数）8.设二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3\)，则其矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)9.已知线性方程组\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+ax_3=1\\x_1+4x_2+a^2x_3=0\end{cases}\)无解，则\(a\)的值为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)10.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(B\)是\(A\)经过若干次初等变换后得到的矩阵，则有（）A.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)B.\(\vertA\vert\neq\vertB\vert\)C.若\(\vertA\vert=０\)，则\(\vertB\vert=０\)D.若\(\vertA\vert\gt０\)，则\(\vertB\vert\lt０\)二、填空题（总共10题，每题3分，请将正确答案填写在每题后面的横线上）1.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)为______。2.已知向量组\(\alpha_1=(1,1,1)^T\)，\(\alpha_2=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_3=(1,3,t)^T\)线性相关，则\(t\)的值为______。3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A^{-1}\vert\)的值为______。4.若\(n\)阶方阵\(A\)满足\(A^3-2A^2+3A-E=0\)，则\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}\)为______。5.设\(A\)为\(n\)阶正交矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，则\(\lambda\)满足______。6.已知矩阵\(A\)的特征多项式为\(f(\lambda)=\lambda^2-3\lambda+2\)，则\(A\)的特征值为______。7.设二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-4x_1x_2\)，则其正惯性指数为______。8.线性方程组\(\begin{cases}x_1+x_2=1\\x_2+x_3=1\\x_3+x_4=1\end{cases}\)的基础解系所含向量个数为______。9.设\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，\(r(A)=r\)，则非齐次线性方程组\(Ax=b\)有解的充分必要条件是______。10.已知矩阵\(A\)与\(B\)相似，且\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)，则\(\vertB\vert\)的值为______。三、判断题（总共10题，每题2分，请判断下列各题的正误，正确的打“√”，错误的打“×”）1.若矩阵\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的行向量组线性相关，列向量组也线性相关。（）2.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。（）3.若\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A^2=E\)，则\(A\)的特征值只能是\(1\)或\(-1\)。（）4.设\(A\)为\(n\)阶正交矩阵，则\(A\)的不同特征值对应的特征向量相互正交。（）5.若二次型\(f(x)\)的矩阵\(A\)正定，则\(f(x)\)的正惯性指数等于\(n\)。（）6.线性方程组\(Ax=b\)的任意两个解的差是对应的齐次线性方程组\(Ax=0\)的解。（）7.若矩阵\(A\)与\(B\)等价，则\(A\)与\(B\)的秩相等。（）8.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(x\)是对应的特征向量，则\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值，\(x\)仍是对应的特征向量。（）9.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关，则向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示，且表示法唯一。（）10.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)的秩\(r(A)=r\)，则\(A\)的任意\(r\)个行向量都构成极大线性无关组。（）四、解答题（总共3题，每题15分）1.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，求\(A\)的秩，并求\(A\)的一个极大线性无关组，将其余向量用该极大线性无关组线性表示。2.设二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3\)，通过正交变换将其化为标准形，并求出正交变换矩阵\(P\)。3.已知线性方程组\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=1\\x_1+2x_2+3x_3+4x_4=2\\x_1+3x_2+6x_3+10x_4=3\end{case