初中数学八年级下册提公因式法教学设计

初中数学八年级下册提公因式法教学设计

一、教材与学情分析

（一）教材分析【基础】

本章“因式分解”是北师大版八年级下册第四章的核心内容，它是整式乘法的逆变形，也是后续学习分式运算、解一元二次方程、函数等知识的重要基础。本节课“提公因式法”是因式分解最基本、最常用的方法，也是学生接触的第一种因式分解方法。教材编排遵循从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律，通过回顾整式乘法，引出因式分解的概念，进而聚焦于如何确定公因式并将其提取出来。本节内容不仅要求学生掌握操作步骤，更强调对算理的理解，即逆向运用乘法分配律，为后续学习公式法、十字相乘法等奠定坚实的思维基础。【重要】

（二）学情分析

八年级学生已具备整式乘法和乘法分配律的运算基础，逻辑思维能力有所发展，但思维的严谨性和深刻性仍有待提升。学生初次接触因式分解这一恒等变形，容易将其与整式乘法混淆，尤其是在符号处理、公因式提取不彻底等方面容易出错。因此，教学应着力于帮助学生建立“因式分解与整式乘法是互逆变形”的观念，通过对比辨析，强化对概念的理解。同时，学生已具备一定的合作探究能力，适合通过问题链引导其自主发现确定公因式的方法和提公因式法的步骤。

二、教学目标与核心素养

基于课程标准与学情分析，制定本节课教学目标如下：

1.理解因式分解的意义，理解公因式的概念，能准确确定多项式各项的公因式。【基础】【重要】

2.理解提公因式法的算理（乘法分配律的逆用），掌握提公因式法分解因式的基本步骤，能熟练运用此法对各项系数为整数、含有公因式的多项式进行因式分解。【高频考点】【非常重要】

3.通过类比、观察、分析，经历探索提公因式法分解因式的过程，体会化归与逆向思维的思想方法，发展运算能力和推理能力。【难点突破方向】

4.在探索与实践中获得成功的体验，培养严谨、细致的数学学习态度。

三、教学重难点

1.教学重点：掌握公因式的定义及确定方法，能准确、熟练地运用提公因式法分解因式。【高频考点】

2.教学难点：准确确定公因式（尤其是系数、字母及其指数的确定），以及提取公因式后剩余项的正确表示，特别是处理首项系数为负或公因式是多项式的情况。【难点】

四、教学方法与准备

采用启发式、探究式教学法，结合讲练结合、小组合作的学习方式。运用多媒体课件辅助教学，展示例题的规范步骤，提高课堂效率。课前准备包括印制导学案，其中包含预学任务和核心探究问题。

五、教学实施过程（核心环节）

（一）温故知新，引入新课【基础】

1.计算回顾：请同学们快速完成导学案上的整式乘法计算练习。例如：1m(a+b+c)=?2(x+1)(x-1)=?33x(x-2)=?。学生口答，教师板书结果：ma+mb+mc，x²-1，3x²-6x。

2.逆向思考：教师引导学生观察板书结果，并提出问题：“如果我们现在反过来，已知一个多项式如ma+mb+mc，能否将它写成几个整式乘积的形式？依据是什么？”引导学生联想到这是乘法分配律的逆用，即ma+mb+mc=m(a+b+c)。

3.揭示概念：由此引出因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。强调它与整式乘法是互逆的恒等变形。并指出本节课将学习最基础的一种因式分解方法——提公因式法。

（二）自主探究，发现规律

1.探究一：寻找“公共因子”

（1）出示问题组，让学生观察并思考以下多项式的结构特点：

[1]多项式ma+mb+mc

[2]多项式3x²-6x

[3]多项式8a³b²+12ab³c

（2）组织小组讨论：每个多项式的各项有什么共同点？学生不难发现，每一项都含有一个相同的因式。对于[2]，3x²和-6x都含有因式3和x，组合起来是3x；对于[3]，8a³b²和12ab³c，系数8和12的最大公约数是4，都含有字母a和b，a的最低次幂是a¹，b的最低次幂是b²，因此公共因式是4ab²。

（3）归纳定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。【重要】

（4）教师追问：“如何准确、快速地确定一个多项式的公因式？”引导学生总结出确定公因式的方法：【非常重要】

一看系数：取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）。

二看字母：取各项都含有的相同字母。

三看指数：取相同字母的最低次幂。

如果多项式各项含有互为相反数的因式，可先将其变形为相同因式，或将其中一个提取负号。

2.探究二：如何提取公因式？

（1）以多项式8a³b²+12ab³c为例。刚刚我们已确定其公因式为4ab²。

（2）教师引导：现在我们将公因式4ab²从多项式中“提取”出来，写成乘积的形式。可以这样思考：8a³b²+12ab³c=4ab²×(?)+4ab²×(?)。即每一项除以公因式后，剩下的部分是什么？

（3）学生尝试计算：

第一项8a³b²÷4ab²=2a²

第二项12ab³c÷4ab²=3bc

（4）因此，原式=4ab²(2a²+3bc)。教师板书规范过程，强调“提取”后，括号内各项的系数和指数要准确，项数应与原多项式项数一致。【重要】

（三）例题精讲，规范步骤【高频考点】【非常重要】

教师通过分层例题，示范提公因式法的完整步骤，并强调易错点。

1.例1：把下列各式因式分解

（1）3x²-6xy+3x

（2）-4x³+16x²-8x

（3）2a(b+c)-3(b+c)

处理过程：

（1）对于3x²-6xy+3x：

第一步：确定公因式。系数3、-6、3的最大公约数是3；字母都含x，最低次幂是x¹。公因式为3x。

第二步：提取公因式。原式=3x·x-3x·2y+3x·1=3x(x-2y+1)。【特别注意：最后一项3x提取公因式3x后剩下1，千万不能漏写。】

（2）对于-4x³+16x²-8x：

引导学生发现首项系数为负。教师强调处理原则：当多项式首项系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内首项系数变为正数，再进行分解。这样便于后续运算和观察。

方法一：先提负号。原式=-(4x³-16x²+8x)，然后对括号内多项式分解因式，公因式为4x，得到-(4x(x²-4x+2))=-4x(x²-4x+2)。【注意括号内第二项符号变化】

方法二：直接提取公因式。注意确定公因式时，系数取各项系数绝对值的最大公约数4，连同符号一起考虑。因为首项系数为负，我们习惯提取的公因式也带负号，使得括号内首项为正。即公因式可视为-4x。原式=-4x(x²-4x+2)。【难点】比较两种方法，引导学生理解结果的一致性，并鼓励采用更简洁的方法二，但要特别注意符号变化的正确性。

（3）对于2a(b+c)-3(b+c)：

引导学生观察，公因式可以是单项式，也可以是多项式。这里的公因式是(b+c)。

原式=(b+c)(2a-3)。【重要】让学生体会整体思想，将(b+c)看作一个整体进行提取。

（四）变式训练，深化理解【热点】

设计不同层次的变式练习，让学生独立完成或小组合作，巩固提公因式法的应用。

1.基础性练习：

分解因式：15m²-15mn26ab²-9a²b3-2x²y+4xy²-2xy

学生板演，集体订正，重点检查公因式提取是否彻底，括号内项数及符号是否正确。

2.综合性练习：

（1）分解因式：4m³n²-6m²n³+2mn

（2）先分解因式，再求值：已知a+b=5，ab=3，求a²b+ab²的值。

第（1）题巩固确定公因式的方法，尤其是字母指数的处理。第（2）题将因式分解与求值问题结合，引导学生先分解因式a²b+ab²=ab(a+b)，再整体代入，体会因式分解的简化作用，感受化归思想。【非常重要】

3.拓展性练习（小组探究）：

分解因式：(x-y)²+(y-x)

此题中(x-y)²与(y-x)互为相反数的幂的形式。引导学生思考如何转化为相同底数。学生讨论后可能得出：将(y-x)变形为-(x-y)，则原式=(x-y)²-(x-y)=(x-y)[(x-y)-1]=(x-y)(x-y-1)；或者将(x-y)²变形为(y-x)²，则原式=(y-x)²+(y-x)=(y-x)[(y-x)+1]=(y-x)(y-x+1)。两种结果本质等价。此题旨在训练学生灵活处理符号的能力，突破难点。【难点】

（五）课堂小结，构建体系

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行回顾总结：

1.知识层面：什么是因式分解？什么是公因式？如何确定公因式（系数、字母、指数）？提公因式法的步骤是什么？【基础】

2.方法层面：提公因式法的关键是找准公因式，核心是乘法分配律的逆用。提取公因式后，括号内的项数应与原多项式项数相同，要特别注意首项系数为负时符号的处理，以及公因式是多项式时的整体思想。【重要】

3.思想层面：本节课体现了逆向思维、化归与整体思想。

（六）当堂检测，反馈矫正【高频考点】

设计5-8分钟的小测验，题目覆盖本节课所有要点，题型包括填空题和分解因式题。

1.多项式8x³y²-12x²y³的公因式是______。

2.分解因式：13a²-9ab2-5x²+10xy-5x34x(m-n)+8y(n-m)

3.如果2019×2020-2019×2018=2019×□，那么□代表的数是______。

学生完成后，教师巡视，对典型错误进行集中点评，及时查漏补缺。

六、教学板书设计

主板书区域：

左侧：核心概念

1.因式分解定义

2.公因式定义及确定方法

系数：最大公约数

字母：相同字母

指数：最低次幂

右侧：例题示范（保留完整过程，突出步骤和易错点）

例1（1）3x²-6xy+3x=3x(x-2y+1)

例1（2）-4x³+16x²-8x=-4x(x²-4x+2)

例1（3）2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)

副板书区域：用于学生板演和临时演算。

七、教学反思与评价（预设）

本节课的设计力求体现学生的主体地位，通过问题驱动，引导学生在探究中掌握提公因式法的本质。预计大部分学生能够掌握基本方法，但对于首项系数为负、公因式为多项式、以及提取后括号内项为1的情况，仍可能出现错误。后续教学中需通过针对性练习和个别辅导加以巩固。同时，在教学中应持续渗透因式分解与整式乘法的互逆关系，为学生后续学习公式法做好铺垫。

八、教学资源拓展

建议学生课后利用互联网资源（如国家中小学智慧教育平台等）观看相关名师微课，加深对难点内容的理解。鼓励学生将因式分解与物理、化学学科中的公式变形相联系，体会数学作为工具学科的重要性。【跨学科视野】

九、