浙江杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页浙江杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.数据2,3,3,5,6,7,8,10的第70百分位数为()A.3 B.5 C.6 D.72.若（i为虚数单位），则（

）A. B. C. D.3.设f(x)=(a+b)x+(a-b)x,若{f(x)|xR}={2},则()A.a=1且b=1 B.a=2且b=0 C.a=0且b=2 D.a=1且b=-14.我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3:2.规格一号二号三号四号五号尺寸（单位：cm）288×192240×160192×128144×9696×64根据上表，可以判断五种规格国旗的（

）A.周长构成等差数列 B.周长构成等比数列 C.面积构成等差数列 D.面积构成等比数列5.设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（

）A.1 B.2 C. D.6.设函数y=(4x+)+(4x+)(0<<)的图象关于直线x=对称,则=()A. B. C. D.7.已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（

）A.2 B.1 C. D.8.设椭圆C:+=1(a>b>0),点A(2,0)和B(0,1)均为椭圆C的顶点,点M,N在椭圆C上.若MNAB,则四边形ABMN面积的最大值为()A.4 B.4 C.2 D.2二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.在ABC中,AC=5,BC=4,BAC=,则()A.BAC= B.ABC的面积为6 C.|-|=3 D.=1610.已知函数f(x)=++ax,则()A.aR,f(x)是增函数

B.aR,f(x)是奇函数

C.若f(x)有三个不同的零点,,,则++=-3

D.过点(0,m)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条,则-2<m<011.选取正方体表面上两个不同的点P,Q,定义第k次操作()为“将正方体绕直线PQ旋转角”.则经过下列操作,正方体可能与自身重合的有()A.(),()

B.(),(),()

C.(),()

D.(),(),​​​​​​​()三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设函数，则

.13.已知双曲线E:-=1(a>b>0)的右焦点为F,过原点O的直线交E于P,Q两点,且PFQF.若直线PQ的斜率为,则双曲线E的离心率为

.14.一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形(如图),现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边,则不同染色的方法数为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)设公比为q的等比数列{}的前n项和为,且=-2.(1)求q和;(2)求.16.(本小题15分)

如图,正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,点M是棱PC的中点.

(1)证明:PC平面BDM;(2)设点Q在棱AB上,求平面PDQ与平面BDM所成角的余弦值的最大值.17.(本小题15分)某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）：等待时间频数2014106(1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数.（i）证明：对于任意的，有；（ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值.18.(本小题17分)已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上.(1)求的方程；(2)已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令.（i）求点P的坐标（用t表示）；（ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由.19.(本小题17分)(1)已知0<x<,证明:x<x<x;(2)设x(0,),若x-x>(x-x)恒成立,求正整数的最大值;(3)求证:(+​​​​​​​)>2(1-).

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】BC

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】2

13.【答案】

14.【答案】82

15.【答案】解:(1)当n2时,

​​​​​​​两式相减得=,

所以公比q=2.

由于{}为等比数列,所以=,

又==-2,所以=2.

(2)由(1)知,=.

所以=-2=-2.

16.【答案】解:(1)因为P-ABCD的所有棱长相等,点M是棱PC的中点,

所以PCDM,PCBM,

又因为DMBM=M,DM,BM平面BDM,

所以PC平面BDM.

(2)建系如图,

​​​​​​​

则D(0,0,0),C(0,2,0),P(1,1,),

设Q(2,t,0)(0t2),

由(1)知PC平面BDM,则=(1,-1,)为平面BDM的法向量.

则=(2,t,0),=(1,1,),

设平面PDQ的法向量为=(x,y,z),

则

,可取=(t,-2,-t),

记平面PDQ与平面BDM所成角为,

则,==，

当t=时,取到最大值.

17.【答案】解：（1）平均时间.（2）（i）证明：由题意知，，分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B，则.所以对于任意的，有.（ii）由（i）知，，所以费用的期望是（元）.

18.【答案】解：（1）将点代入得，所以：.（2）（i）过M点斜率为2的直线，直线方程，由得，可得，设，由得，即，解得，所以.（ii）因为，所以直线方程为，解方程组，得，所以，直线：，整理得，因此直线过定点.又，所以，所以点F到直线的最大距离为.

19.【答案】解:(1)一方面,记f(x)=x-x,x(0,).

则f'(x)=1-x>0,故f(x)在x(0,)上单调递增,即f(x)>f(0)=0.

另一方面,记g(x)=x-x,x(0,).

所以g'(x)=-1>0,故g(x)在x(0,)上单调递增,即g(x)>g(0)=0.

综上,x<x<x,x(0,)成立.

​​​​​​​(2)当x(0,)时,由(1)知x>x,故<恒成立.

一方面,取x=,则<;

另一方面,当=2时,记h(x)=x+2x-3x,则h'(x)=+2x-3.

由x>0知1++2x+2x4,当且仅当x=1时，取等号，

所以h'(x)0,故h(x)单调递增，进而h(x)>h(0)=0.

综上,正整数的最大值为2.

(3)当x(0,)时