高中数学必修5知识点总结

必修5

第一章解三角形

一、正弦定理

1.定理

abc

----=-----=-----=2R.

sinAsinBsinC

其中a,b,c为一个三角形的三边，A,B,C为其对角，R为外接圆半径.

变式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

。：6：c-sin4:siM:sinC,

二可解决的问题

①已知两边及一边的对角.解三角形；.

②已知任两角及一边，解三角形

3.解的讨论，

在已知两边如b及角，解三角形时，需要讨论逐

(1)若在9叫则有洋

①a时有一解；，

②。9时无解・

⑴若.也90，时，则有，

①若QV嫂辿，则无解：'

②若。=用也』，则有一解：

②若gdJVaVb,则有两解：・,

④若。三&，则有一解…

二、余弦定理

1.定理

a2=bz+C2-2bccosA、bi=a2+C2-2accosB、c?=a2+b2-2abcosC

变形：cosA=加+C-和、cosB=9+G—&、cosC="+加-◎

2bc2ac2ab

2.可解决的问题

①已知三边，解三角形;

②已知两边及其夹角，解三角形；

③已知两边及一边的对角，求第三边.

三、三角形面积公式

(1)s=1'_ch.

A2a2b2c

其中h,h,h为a,b,c三边对应的高.

abc

①S』.那心那

一—一

(3)&=，P(p-aKp-b)(p-C«

(4)£=rpe

其中+f为内切圆的半径

■

说明，公式(4)主要用于求内切圆半径.“

川

第二章数列J

一、数列的概念及其表示法「

(1)定义：按照一定顺序攥列看的一列数称为数列尸

(2)如果数列的第"项皿与序号"之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公

式叫傲这个数列的通项公式■

(3)如果一个数列已给出前几项，并给出后面任一项与前面的项之间关系式，这种给出数列

的方法叫做递推法，其中的关系式称为递推公式.

(4)一个重要公式：对任何数列，总有

卜=与

"S“-5[〃之2).

注：数列是特殊的函数，要注意数列与函数问题之间的相互转化.

二、等差数列

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那

么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做数列的公差.

(2)递推公式：a=a+d.

(3)通项公式：a=a+(n-1)d.

n1

n(a4-a)n(n-1)

(4)求和公式：S=-----J------o_=〃a+-----------d.

«212

(5)性质:

①若iftHi=p+q,则a+a=a+a；

mnpq

②若nwn=2p,则a+a=2a；

■np

③a=a+(n-m)d.

nm

(6)等差中项：

“。的等差中项

一

a,b.c成等差数列。=，

注：①⑥和d叫做等差数列的基本元素，把人和4都用ni和d表示往往能使间题简化.

②注意方程思想的应用，在。】，d，n,公五个数中，知道三个可求判下的两个田

三、等比数列〉

(1)定义：如果一个数列从第：项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那

么这个数列就叫做尊比效列.这个常鼓叫做数列的公比”

(2)届推公式：如^】=4_应."

(3)通项公式：颠wr」一

(4)求和公式；$・=岭山=州产e-1)一

11_q

(>)性信：«

①若ntHi=p+q,则aa=aa；

mnpq

②若nt+-n=2p,则aa=a2；

■np

③a=aqn-..

n■

(6)等比中项：

a,b的等比中项G=±C.

a,b,c成等比数列(a,b,crO)=力2=g

注：①a和q叫做等比数列的基本元素，把S和a都用a和q表示往往能使问题简化.

1nn1

②注意方程思想的应用，在a,q,n,S,a五个数中，知道三个可求剩下的两个.③使用

1nn

求和公式时，要注意q*1的条件.

四、数列求和

主要求和方法有：

(1)公式法：主要用于等差数列与等比数列，这是首先应该考虑的方法.

(2)分组求和法：将数列的每一项拆分成几项，然后重新组合成几组，使每一组都能

求和.如数列｛n+2n｝.

(3)并项求和法：将相邻几项合并，使合并后有规律,便于求和.如12-22+32-42+-

+(-1)n—1n2.

(4)裂项相消法：将每项分成两项的差，并且正负能抵消.如求

111

_____++-+•

(5)错位相减法：设｛a｝是等差数列，也｝是等比数列,求S=ab+ab+-+ab时用

nnn1122nn

错位相消法.做法：将上式两端乘以｛b｝的公比，错一位相减，中间n-1项构成等比数歹出

n

可以求和.注意将n=1,2,3代人检验.

第三章不等式“

一、不等式的性质一

性质1

性质2a>b=^a-^-c>b-c.J

性质3a3b,cQnacUc，

性质4a>b.加

性质5a〉。,cdna+c'b+d*

性质6a>b>0,c

性质7”心0,

性质8a>b>0,nGN,

二、一元二次不等式

1.一元二次不等式的标准形式

axz+bx+c>0(a>0)

axH-bx+c<0(a>0)

axi+bx+c»0(a>0)

axz+bx+c<0（a>0）

2.一元二次不等式的解集

不等式△>0A=0△<0

ax2+bx+c>0(-8,x)U(x,+oo){x|x+x)R

121

ax2+bx+c<0(X,x)00

12

axz+bx+c^O(-°°,X]U[x,+oo)RR

12

axH-bx+c^O[x,X](x)0

121

说明：①表中内容不需死记硬背，可结合二次函数图象灵活掌握.

②表中x,x是方程ax2+bx+c=0的根，且x<x.

1212

③当△>（）时，解集有口诀：大于0取两边，小于0取中间.

三、二元一次不等式和线性规划

1.直线划分平面区域

在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax+By+C>0（V0）表示直线Ax+By+C=0某一

侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式Ax+By+C

川任0；表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.3

对于直线小）场+C-0同一恻的所有点，把它的坐标O代入.£士虻C所得值的符

号部相同，因此只需在直线+-6J二的某一的取一个特殊点（M,皿）作为测试点，由

的疔号就可以断定不等式解集表示的是直线哪一则的平面区域.当CM时，通

常取原悬（0.0）作为测试点/

2.简单线性规划

（1）由二元一次不等式组构成的一组约束条件称为送性约束条件,要求最值的函数

称为目标函数.在爱性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值间?S，统称

为线性规划问题.满足线性约束条件的解（、•，】•）川做可行解，由所有可行解蛆成的篥合即故

可行域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫侬这个问题的最优解・.，

（2）最优好一段落在可行域的顶点或边界上具体求解方法:设目标函