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文档简介

气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化着，反映在函数关系上是函数的连续性。当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当自变量改变很微小时，因变量改变也很微小，这个特性称为连续性。连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。1.7.1函数连续性的概念引例自变量的增量函数的增量函数的增量

函数连续性的概念xyo

函数在某一点处连续的概念则有

函数连续性的概念

1.函数连续性的定义

定义1*xyo如果函数y=f(x)在x0点连续,则必须同时满足下列三个条件：(1)f(x)在点x0处有定义极限值存在极限值与函数值相等

函数连续性的概念

一般地,证明一个函数在某一个点处连续时,宜使用定义1;若要讨论函数在某点处是否连续,则宜使用定义1*.

函数连续性的概念例1证明函数在处连续.证因此，函数在处连续.例2证明函数在x=1处的连续性.所以函数f(x)在x=1处连续.证（1）函数f(x)在x=1处有定义，f(1)=1

函数连续性的概念

函数连续性的概念例3例4.讨论下列函数在x=0处是否连续

函数连续性举例右连续xab右连续左连续连续

左连续

函数连续性的概念2.函数的左右连续

左连续右连续◆区间上的连续性函数在开区间上每一点都连续，称为在开区间

内连续。函数在开区间上每一点都连续，且在点右连续，点左连续,称为在闭区间

上连续。

函数连续性的概念◆连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线.

定义3间断点若函数有下列三种情形之一：则称函数在点处不连续，点称为函数的间断点。不连续点即为间断点

间断点及其分类◆函数的间断点的分类第一类间断点——左、右极限都存在的间断点。（2）可去间断点——左、右极限相等的第一类间断点。（1）跳跃间断点——左、右极限不相等的第一类间断点。

第二类间断点——左、右极限至少有一个不存在。若其中有一个为，称若其中有一个为振荡,称为无穷间断点.为振荡间断点.间断点及其分类补充

跳跃间断点——第一类点

x=0是函数f(x)的跳跃间断点。

函数的间断点的类型

间断点及其分类yxo2-2可去间断点——第一类点x=1

是函数f(x)的可去间断点

可通过改变函数f(x)在x=1

处的定义，令f(1)=2，则f(x)在x=1成为连续，所以x=1是第一类间断点中的可去间断点。xyo211

函数的间断点的类型间断点及其分类xxyo211x

无穷间断点——第二类

函数的间断点的类型间断点及分类

振荡间断点——第二类点

x=0是函数f(x)的振荡间断点。1-1

函数的间断点的类型间断点及分类

间断点及其分类如何求函数的间断点？1、找出函数无意义的点或者不能取值的点；2、找出分段函数左右极限不相等或极限不存在的点；3、根据左右极限是否存在判断间断点的类型.点为函数的可去间断点。即函数在点连续1

间断点及其分类极限存在解：当x=0时，函数无意义分析：例5

间断点及分类例6

函数的连续性小结2.间断点的分类：可去间断点、跳跃间断点

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