湖南省长望浏宁四区县市2026届高三四月份调研考试数学答案

长望浏宁四区县市2026届高三四月份调研考试数学科试题卷时间：120分钟总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。A.{x|x>0}B.{x|x>1}C.{x|x>2}D.A.充分不必要条件C.充要条件A.[0,+∞]B.(-∞,0)C.(0,+∞)5.若对任意的正实数x、y满足2x+y=1,不等式恒成立，则实数m的取值范围是6.在一次数学考试中，有一道满分为15分的立体几何题.某学习小组6名同学这题的得分为x,(x∈N,i=1,2,3,4,5,6),且有x₁<x₂<x₃=x₄=x₅<x₆,已知这6名同学的80%分位数和平均分都是12分，则该6名同学答题得分的极差为7.已知,数列{a}为等差数列，且a₅+ag=a┐,则f(a₁)+f(a₂)+…f(q)=A.0B.-11C8.如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影数学试卷第1页(共4页)二、多项选择题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。10.设抛物线C:y²=2px的焦点为F,F到准线l的距离为2,过F的直线交C于A、B(A在第一象限)两点，过点A作准线l的垂线，垂足为N,直线N交y轴于点M,则A.abc=4RSB.边BC上的中线m。=√2(b²+c²)-a²三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。14.已知函数,若正实数a、b(a<b)满足f(a)=f(b),则3a+4b的15.(本题满分13分)(1)求该数列的通项a;数学试卷第2页(共4页)16.(本题满分15分)为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动.甲、乙、丙三人参与比赛，有问题1、问题2两道题，其中问题1为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为,问题2为必答题，甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题1、问题2的概率分别为,乙、丙能正确回答每道题的概率均为,且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.(1)求问题1回答正确的概率；(2)记能正确回答问题2的人数为X,求X的分布列和数学期望.17.(本题满分15分)如图，在四棱柱ABCD-A'B'C′D'中，底面ABCD是菱形，E为B'C中点.(1)求证：A'E//面AD'℃;(2)若|AB|=|AA'|=4,|BD|=4√2,∠A'AB=∠A'AD=60°,求直线A'E与平面ABCD所成角的正弦值.数学试卷第3页(共4页)18.(本题满分17分)已知动点Q(x,y)与定点F(-2,0)的距离和它到定直线l:的距离之比是常数2.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)若曲线C与x轴的交点分别为A、B(A在B左侧),过点B的直线交曲线C于点N(N位于第二象限),∠NFB的角平分线交BN于点T.(i)求证：点T在定直线上；(ii)连结直线FN且与曲线C的另一个交点为M,求kʙ²-kru的取值范围19.(本题满分17分)已知函数,圆C:(x-1)²+y²=r²(r>0).设圆C与曲线y=f(x)交于A、B两点.(1)求f(x)在点(1,0)处的切线方程；(2)证明：直线AB的斜率恒大于1;(3)若线段AB的中点为M,试判断点M的横坐标与1的大小关系，并证明你的结论.数学试卷第4页(共4页)数学参考答案一、单项选择题。则f(x)的递增区间是(0,+∞).4.答案：D【解析】过点(0,1)且倾斜角为的直线l:y-1=√3x,即√3x-y+1=0.∴圆心坐标为(0,3),圆心到直线1的距离【解析】因为不等恒成立，当且仅当即时等号成立，所以实数m的取值范围是{m|-2<m<4}.6.答案：C【解析】由6×80%=4.8知：这6名同学的得分的80%分位数为x₅,则x₅=12=x₄=x₃,结合x₁+x₂+x₆=36进行讨论知：x₁=10,x₂=11,x₆=15,所以则该6名同学答题得分的极差为x₆-x₁=5.【解析】因为f(x)关于点对称，所以f(x)+f(-1-x)=0.因为{a}为等差数列，所以f(a,)+f(a₁)=f(a₂)+f(a₁₀)=…=f(a₃)+f(a₇)=2f(a₆)=-1,答案第1页(共7页)【解析】形成的正四棱锥S-ABCD如图所示，取BC中点M,连接SM,OM,由题易知SM为等腰三角形SBC的高，所以SM=3,设SO=h,Rt△SOM中OM=√9-h²,则AB=2√正四棱锥S-ABCD的体积正四棱锥S-ABCD的体积最大即f(h)取得最大值，f'(h)=9-3h²=3(3-h²),令f(h)=0得调递增，在(√3,3)上单调递减，则f(h)在h=√3时取得最大值，即h=√3时正四棱锥S-ABCD的体积最大，答案选B.二、多项选择题。解析：因为F到准线l的距离为2,所以p=2,故抛物线方程为y²=4x,所以A项正确；易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+1,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),错误联立,得y²-4my-4=0,易知△>0,则y₁+y₂=4m,y₁y₂=-4,又x₁=my₁+1,x₂=my₂+1,x₁+x₂=m(y₁+y₂)+2=4m²+2,所以,所以,所以又点A在第一象限且,所以,故D正确.答案第2页(共7页)答案第3页(共7页)【解析】A选项：由正弦定可知所以abc=4RS,故A正确；B选项：如图，D为BC中点，则AD=m,,ma=AE时取等，此时a=b=c),故C正确；D选项：因为所以bc,当且仅当,a=b时取等.当且仅当a=b=c时取等，故D正确；故选ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。【解析】(x+a)⁸的展开式的通项为T+1=C₈x⁸-a,则x³的系数为C₃a⁵=-56,解得a=-1.【解析】因为点D,E分别是边AB,BC的中点，所以14.答案：(7,+の)答案第4页(共7页)所以3a+4b的取值范围是(7,+).四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。又S₁=a₁=2a₁-2,S₂=q+a所以a为首项为2,公比为2的等比数列，故aₙ=2”,n∈N.………………5分(2)因为bₙ=log₂an=n,7分则有X0123P(1)法一：(向量法)答案第5页(共7页)所以BD⊥面A'AC,又因为BDC面ABCD所以面A'AC⊥面ABCD,所以A'M⊥AC又因为面A'AC⊥面ABCD,面A'AC∩面ABCD=AC,A'Mc面A'ACA'M⊥AC,所以A'M⊥面ABCD,其中MC,MD,MA′两两垂直.……10分因为A'FCE为平行四边形，A'E//CF,所以直线A'E与平面ABCD所成角即为直线CF与平面ABCD所成角.…12分法二：(定义法)所以直线A'E与平面ABCD所成角即为直线CF与平面ABCD所成角…12分过MD中点N,连接FN,NC,因为A'M⊥面ABCD,A'M//FN,所以FN⊥面ABCD,直线CF与平面ABCD所成角即为∠FCN,………14分18.【解析】(1)设d是点M(x,y)到直线l平方化简得3x²-y²=3,(2)(i)令y=0,代入3x²-y²=3,得的距离，根据题意，动点M(x,y)的轨迹……1分故A(-1,0),B(1,0),设直线BN为：y=k(x-1),与曲线C:3x²-y²=3联立得：化简得3[(k²-3)x。-(k²+3)]=(x₀-1)[(k²-3)+2(k²+3】,解得所以点T在定直线上.……………………10分(ii)连接AT并延长交双曲线于点M',下证点M'与点M重合，…………11分设Lna:y=-3k(x+1)与曲线C:3x²-y²=3联立得：(3-9k²)x²-18k²x-(9k²+3)=0,又因为N,F,M三点共线，即M'与点M重合所以…………15分因为点N在第二象限，故k∈(-√3,0),所……………17分所以求f(x)在点(1,0)处的切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2……………3分(2)要证直线AB的斜率恒大于1,设A(m,f(m)),B(n,f(n))不妨设即………………5分又Inn<n-1,所答案第6页(共7页)答案第7页(共7页),…………7分所以h(n)<h(m),得证.………