安徽省1号卷A10联盟2026届高三4月质量评估联考数学试题（含答案）

2026届高三

数

满分150分，时间120分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.(2i-3)(i+1)在复平面内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知平面向量a=(2,-1),b=(-1,1),若(λa+μb)⊥b,且λμ≠0,则

BC.3D.1

3.已知a∈R,若2a,2a+log₃4,2a+log₃64成等比数列，则a=()

A.log₂3B.2C.log₃4D.log₃2

4.已知m>0,则“圆C:x²+y²+6x-8y+m²-11=0不经过第四象限”是“3<m<6”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.若事件M,N满足,则P(M|N)=()

BD.

6.已知函数f(x)=sinwnx-√3cosonx(w>0),,若M,P,N是曲线

y=f(x),y=g(x)上从左往右依次连续相邻的三个交点，且∠MPN<90°,则实数W的取值

范围为()

A.B.(√2,+)D.(√3,+∞)

7.已知双曲线C的左、右焦点分别为F,F₂,过点F₂的直线1与双曲线C

的右支交于P,Q两点，连接FQ,若∠FQP=∠PFQ,则双曲线C的离心率的取值范围为()

A.(1,3)B.(3,+∞)c.(√5,+∞)D.(1,√5)

8.已知a=e⁰3,b=1.3,,则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

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4月质量评估

学

钟。请在答题卡上作答。

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知抛物线C:的焦点为F,准线为1,点M(x₀,y。)在抛物线C上，则下列说法正确的

是()

A.准线l的方程为

B.若|MF|=3,则y。=1

C.过点M总能作出两条直线与抛物线C仅有1个交点

D.若x₀=4,延长MF与抛物线C交于点N,则|NF|=2

10.已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=AD=2,∠DAB=∠DAA=∠BAA₁=60°,

则下列说法正确的是()

A.BD⊥AA

B.BB₁⊥A₁C₁

C.该平行六面体的体积为4√2

D.二面角C-AD-A₁的正弦值为.

11.定义：若函数f(x)满足对区间I内任意一个实数λ,总在区间I内存在唯一实数μ,使得

f(2)·f(μ)=1,则称函数具有性质Ω.下列说法正确的是()

A.在(0,+∞)上具有性质Ω

B.若f(x)=aˣ-²(a>1)在区间[m,n](n>m>0)上具有性质Ω,则m+n=4

在上具有性质Ω,则t=8

D.已知k≤0,t>0,则不存在实数k,使得f(x)=kx²+4x-1在[0,t]上具有性质Ω

12.若集合,B={x∈Z|0≤x≤3},则A∩B的子集个数为

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13.某校高二(1)班到高二(4)班各篮球代表队准备举行友谊赛，比赛开始前，有四位同学预测比

赛结果如下：赵同学说：(2)班是第二名，(4)班是第四名；钱同学说：(2)班是第一名，(3)

班是第四名；孙同学说：(1)班是第四名，(4)班是第三名；李同学说：(1)班是第一名，(3)

班是第三名.赛后得知，四人的预测都只有一半正确，则第一名是高二班.

14.已知函数f(x)=1n(2x+1)+1n(2x-1),在点(i,f(i))(i∈N*)处作曲线y=f(x)的切线l,,

其纵截距记为b,若对n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知等腰梯形ABCD与等腰梯形ADEF如图1所示，其中BC/IAD//EF,过点F作FG⊥AD,

垂足为G.现沿AD进行翻折，使得点F在平面ABCD内的投影为点B,连接FB,EC,BD,BG,

得到的图形如图2所示.

(1)求证：平面BCE⊥平面BFG;

(2)在图1中，若AD=2√2AB=2EF=2BC=4,,求图2中直线BD与平

面ABF所成角的正弦值.

图1图2

16.(15分)

已知长方形ABCD中，AB=√3AD=3,点M,N分别在线段AD,AB上(不含端点位置),且

∠MCN=45°.

(1)若∠MCD=15°,求△MCN的面积；

(2)求△MCN面积的最小值.

.17.(15分)

甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制(没有平局，先胜三局者获胜),每局比赛甲获

胜的概率为p(0<p<1),各局结果相互独立.比赛计分规则如下：若一方以3:0或3:1获胜，

则胜者得3分，败者得0分；若一方以3:2获胜，则胜者得2分，败者得1分.

(1)求甲获得3分的概率；

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(2)若,设甲的总得分为随机变量X,求X的分布列和数学期望；

(3)已知甲在比赛中的总得分X的分布列由P决定.定义意外指数为

U(p)=P(X=1)+P(X=2),求U(p)的最大值

18.(17分)

已知函数,a∈R.

(1)当a=4时，过点(0,2e²)作直线1与曲线y=f(x)相切，求切点坐标；

(2)若0<m<n,且f(m)-m=f(n)-n,求证：(其中f'(x)为f(x)的导数).

(3)若关于x的不等式f(x)+Ina≤ln2恒成立，求实数a的取值构成的集合.

19.(17分)

【信息1】已知椭圆C1(a>b>0)的方程还可以由椭圆第二定义(椭圆C上的

动点M满足：到一个定点F(c,0)(c≠0)的距离与到不经过这个定点的一条定

直线的距离之比是一个常数其中a²=b²+c²)得到.

【信息2】由椭圆的光学性质得到：从焦点F₁处发出的一束光线，射向椭圆C上的点P₁,

经椭圆反射后经过焦点F₂;继续传播，射向椭圆C上的点P₂,经椭圆反射后经

过焦点F₁;如此反复.设第n次入射点为P,(n∈N*),规定：当n为奇数时，

Aₙ=|F₂P|,Bₙ=|F₂Pn+1;当n为偶数时，Aₙ=|FP|,Bₙ=|FP+1·

已知椭圆C的焦点为F₁(-1,0)和F₂(1,0),点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求证：为定值；

.(3)若A₁=3,记,求证：数列{D,}为等比数列，

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2026届高三4月质量评估

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

题号12345678

答案CBDABCDA

1.C(2i-3)(i+1)=-2+2i-3i-3=-5-i,故在复平面内，(2i-3)(i+1)所对应的点为(-5,-1),位

于第三象限.故选C.

2.B由题意得，λa+μb=(2λ-μ,-λ+μ),则(λa+μb)·b=-3λ+2μ=0,所以

故选B.

3.D由题意得，(2a+log₃4)²=2a·(2a+log₃64),则41og₃4·a+(log₃4)²=2alog₃64=6alog₃4,

解得a=log₃2.故选D.

4.A圆C:(x+3)²+(y-4)²=36-m²,则√36-m²≤5,解得√1l≤m<6,“√1l≤m<6”是

“3<m<6”的充分不必要条件.故选A.

5.BP(M+N)=P(M)+P(N)-P(MN),即,则,而

P(N)=P(MN)+P(MN),即,则,故

.故选B.

6.C由题意得，g(x)=sinwx.,则

.不妨取

,由∠MPN<90°,

,因为w>0,解得.故选C.

7.D由题意得，|FP|-|F₂P|=2a,则F|₁P|-2a=|F₂P|,而|FQ|-2a=|F₂Q,故|FQ|=2a+|F₂Q,

则|F₂Q|=|PQ-|F₂P|=|PF|-F₂P|=2a,则|FQ=2a+|F₂Q=4a,在△QFF₂中，

4a+2a>2c,故,则.综上，1<e<√5.

故选D.

8.A由题意得，lna=0.3,Inb=1n1.3,∴.Ina-1nb=0.3-1n(1+0.3).设f(x)=x-1n(1+x),

x∈(0,1),则,所以f(x)在(0,1)上单调递增，故f(0.3)>f(0)=0,即

0.3-1n(1+0.3)>0,故lna>Inb,从而a>b.又因为

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b⁸=(1+0.3)⁸=1+C₈0.3+C30.3²+…+C80.3⁸=1+8×0.3+C30.3²+…+C80.3⁸=

,而c⁸=3.3<3.4,即b⁸>c⁸,又b>0,c>0,故b>c,

所以a>b>c.故选A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案BCACDBCD

9.BC由题意得，抛物线C:x²=8y,故F(0,2),则所求准线I的方程为y=-2,故A错误；

MF|=yo+2=3,解得y。=1,故B正确；过点M处总能作出两条直线与抛物线仅有1个交点，

一条为抛物线的切线，一条为与对称轴平行或重合的直线，故C正确；易知M(4,2),则MF⊥y

轴，故|NF|=|MF|=4,故D错误.故选BC.

10.ACD由题意得，六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的6个面均为边长为2,且有一个角为60°的菱形.设

AB=a,AD=b,AA₁=c,则|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=b·c=2×2×cos60°=2,则

BD·A4₁=(AD-AB)·A4₁=(b-a)·c=b·c-a·c=0,所以BD⊥AA,故A正确；

BB₁·AC=AA·(AB+AD)=c(a+b)·=a·c+b·c=4≠0,故B错误；取AD的中点E,

连接A₁E,BE,易得A₁E⊥AD,BE⊥AD,所以∠A₁EB为二面角C-AD-A的平面角，可

求得A₁E=BE=√3,A₁B=2,则,故,故

D正确；四边形ABCD的面积为2×2×sin60°=2√3,点A₁到平面ABCD的高为

,所以平行六面体的体积为,故C正确.故选ACD.

11.BCD当x>0时，,则Vx₁,x₂>0,f(x₁)·f(x₂)≥8,故A错

误；对于任意的x₁∈[m,n],f(x₁)的取值范围为[a”⁻²,a”⁻²],由f(x₁)f(x₂)=1,得

,则,故

,即a"-2.a"-²=1,解得m+n=4,故B正确；对于C,当时，

单调递减，此时其值域为,且f(x)>0恒成立，从而在

时的值域为,由题,若在

上具有性质Ω,需满足,解得t=8,故C正确；若函数

f(x)=kx²+4x-1在[0,t]上不单调，则存在x₁≠x₃,x₂,使得f(x₁)=f(x₃),

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f(x₁)f(x₂)=1,对于x₂,存在不等实数x₁,x₃,使得f(x₁)f(x₂)=f(x₃)f(x₂)=1,不

满足定义；若f(x)在[0,t]上单调递增，设函数f(x)的最大值为M,若M<0,当λ∈(0,t)

时，f(2)∈(-1,M),,所以不存在μ∈[0,t],使得f(λ)·f(μ)=1;若M≥0,

存在f(2)=0,此时不存在μ∈[0,t],使得f(2)·f(μ)=1,故D正确.故选BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.4

由题意得，(k∈Z),故A∩B={1,3},故所求子集个数为4.

13.(1)

若(1)班是第一名，钱同学说“(3)班是第四名”为真，那孙同学说“(4)班是第三名”为真，

赵同学说“(2)班是第二名”为真，经检验满足题意.

14.

由题意得，f(x)=In(4x²-1),因为,故切线方程为

,则,所

所以,则

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

(1)因为FB⊥平面ABCD,ADc平面ABCD,所以FB⊥AD.…………(1分)

又翻折前后都有FG⊥AD,又FB∩FG=F,所以AD⊥平面BFG(3分)

因为AD//BC,所以BC⊥平面BFG.……………(4分)

因为BCc平面BCE,所以平面BCE⊥平面BGF(5分)

(2)易知AG=BG=1,

则AF=√11,FG=√10,FB=3.………………(7分)

分别以BC,BG,BF所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系Bxyz,

则A(-1,1,0),D(3,1,0),F(0,0,3),

则BA=(-1,1,0),BD=(3,1,0),BF=(0,0,3)(8分)

设平面ABF的法向量为n=(x₁,y1,z),由得

取x₁=1,则平面ABF的一个法向量为n=(1,1,0)(10分)

设直线BD与平面ABF所成角为θ,

2026届高三4月质量评估·数学参考答案第3页共7页

即直线BD与平面ABF所成角的正弦值为..………(13分)

16.(15分)

(1)作出图形如图所示：

因为∠MCD=15°,故∠NCB=30°,

…………(4分)

.………(6分)

(2)设∠MCD=θ,则,…………(8分)

……………(9分)

当且仅当θ=22.5°时等号成立，……………(13分)

故△MCN面积的最小1.………………(15分)

17.(15分)

(1)由题意得，每局比赛甲获胜的概率为p(0<p<1),乙获胜的概率为1-p,

所以甲以3:0获胜的概率为p³,…………(1分)

甲以3:1获胜的概率为C²·p²·(1-p)·p=3p³(1-p),……………·(3分)

所以甲获得3分的概率为p³+3p³(1-p)=4p³-3p⁴.………………(4分)

(2)由题意得，X的所有可能取值为0、1、2、3,分别对应甲比赛失败(0分或1分)、甲3:2获胜

(2分)、甲3:0或3:1获胜(3分)的情况，……………(5分)

由(1)得，

则X的分布列为：

2026届高三4月质量评估·数学参考答案第4页共7页

X0123

P

……………(9分)

则.………………(10分)

(3)由题意得，P(X=1)=C2(1-p²×p²×(1-p)=6p²(1-p)³,………………(11分)

P(X=2)=C2p²×(1-p)²×p=6p³(1-p)²,(12分)

所以U(p)=P(X=1)+P(X=2)=6p²(1-p)²=6(-p²+p)²·……(13分)

令t=-p²+p,因为p∈(0,1),所以

所以当时，t取得最大值，U(p)取得最大值，最大值为·.……………(15分)

18.(17分)

(1)当a=4时，f(x)=Inx-2x²+x,

设切点坐标为(x₀,Inx₀-2x²+x。),

则直线1的方程为,………………(2分)

将(0,2e²)代入，

即Inx₀+2x?-2e²-1=0.…………·(3分)

令t(x)=lnx+2x²-2e²-1,易知y=t(x)在(0,+∞)上单调递增，

又t(e)=0,所以方程l有唯一解x₀=e,

故切点坐标为(e,1+e-2e²).…………(5分)

(2)∵0<m<n,f(m)-m=f(n)-n,

……………(6分)

要证：,即证：即证：

又因为0<m<n,即

令则0<t<1,欲证(*)式成立，等价于证明……………(8分)

设函数

∴h(t)是(0,1)上的增函数，所以h(t)<h(1)=0,即成立，

………………(11分)

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令G'(x)=0,由a>0得