浅谈初中数学“面积等分”-初中-数学-论文

最值问题之“隐圆再现”的问题李欢西安铁一中滨河学校隐形圆是中考数学中必考的知识点之一，纵观这么多年的中考题，虽然压轴题不在直接考察圆的模型，但是隐形圆始终渗透在压轴题目当中。所以隐形圆的研究就显得尤为必要。下面主要从四个类型进行展开说明。一、知识要点：点到圆的最小距离和最大距离总结：（圆外一点到圆上最短距离是与圆心的连线；最长距离是与圆心连线的延长线。）圆内一点P到圆上的最短距离为PA，最长距离为PB；(P、A、0、B四点在同一条直线上，即P，A，B三点过圆心O)．二、圆的存在条件（常见的类型，还有定半径长度类）类型1、圆的定义：（定长）在一个平面内，线段AB绕它固定的一个端点A旋转一周，另一个端点B所形成的图形叫做圆；类型2、定直角：直径所对的圆周角为90°；应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．三、典例分析知识点一、翻折定点定长--隐圆现。例1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________.【分析】以F为圆心，CF为半径作⊙F，过点F作FH⊥AB于点H交⊙F于点G，则点P到AB的距离的最小值＝FH﹣FP＝FH﹣FG．【解答】解：以F为圆心，CF为半径作⊙F，过点F作FH⊥AB于点H交⊙F于点G，则点P到AB的距离的最小值＝FH﹣FP＝FH﹣FG．由翻折的性质可知，PF＝CF＝2，∴点P在⊙F上，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，由△AHF∽△ACB，∴＝，∴＝，∴FH＝3.2，∴点P到AB的距离的最小值＝FH﹣FG＝3.2﹣2＝1.2．例2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是2﹣2．【分析】如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E＝BE＝2，即可求出B′D．【解答】解：如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′＝EB，∵E是AB边的中点，AB＝4，∴AE＝EB′＝2，∵AD＝6，∴DE＝＝2，∴B′D＝2﹣2．例3．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是________.【分析】根据题意得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MH⊥DC于点H，∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，∴2MD＝AD＝CD＝4，∠HDM＝60°，∴∠HMD＝30°，∴HD＝MD＝1，∴HM＝DM×cos30°＝，∴MC＝＝2，∴A′C＝MC﹣MA′＝2﹣2；知识点二、动点定直角---隐圆现例1．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝3，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．【分析】连接AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝3，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED＝90°，接着由∠AEB＝90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC＝，从而得到CE的最小值为．【解答】解：连接AE，如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝3，∴AB＝AC＝3，∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为1.5，∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，∵OA＝1.5，AC＝3，∴OC＝＝＝，∴CE＝OC﹣OE＝﹣＝，即线段CE长度的最小值为．例2．已知：如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O交BM于N，则线段AN的最小值为-1．【分析】如图1，连接CN，根据CM是⊙O的直径，得到∠CNM＝90°，根据邻补角的定义得到∠CNB＝90°，根据圆周角定理得到点N在以BC为直径的⊙O′上，推出当点O′、N、A共线时，AN最小，如图2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图1，连接CN，∵CM是⊙O的直径，∴∠CNM＝90°,∴∠CNB＝90°，∴点N在以BC为直径的⊙O′上，∵⊙O′的半径为1，∴当点O′、N、A共线时，AN最小，如图2，在Rt△AO′C中，∵O′C＝1，AC＝2，∴O′A＝＝，∴AN＝AO′﹣O′N＝﹣1，即线段AN长度的最小值为﹣1．例3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为_________.【分析】取BC中点G，连接HG，AG，由直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝BC＝2，由勾股定理可求AG＝2，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，可求AH的最小值．【解答】解：如图，取BC中点G，连接HG，AG，∵CH⊥DB，点G是BC中点∴HG＝CG＝BG＝BC＝2，在Rt△ACG中，AG＝＝2，在△AHG中，AH≥AG﹣HG，即当点H在线段AG上时，AH最小值为2﹣2.例4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为2﹣2．【分析】由AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案．【解答】解：如图，∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2，∵BC＝6，∴OC＝＝＝2，则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2.例5．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为．【分析】首先作出点D关于BC的对称点D′从而可知当点P、M、D′在一条直线上时，路径最短，当点E与点D重合，点F与点C重合时，PG和GD′均最短，即PD′最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：PG＝1，GD′＝3，最后由勾股定理即可求得PD′的长，从而可求得MD+MP的最小值．【解答】解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，由轴对称的性质可知：MD＝D′M，CD＝CD′＝2∴PM+DM＝PM+MD′＝PD′过点P作PE垂直DC，垂足为G，易证AF⊥BE，故可知P的轨迹为以AB为直径的四分之一圆弧上，当点E与点D重合，点F与点C重合时，PG和GD′均最短，∴此时，PD′最短．∵四边形ABCD为正方形，∴PG＝，GC＝．∴GD′＝3．在Rt△PGD′中，由勾股定理得：PD′＝＝．例6．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是2﹣2．【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小；【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝2，在Rt△AOD中，OD＝＝2，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．知识点三、动点定长隐圆现例1．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（）A． B． C． D．π【分析】OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ＝1，再由走过的角度代入弧长公式即可．【解答】解：如图所示：∵PM⊥OA于M，PN⊥OD于点N，AB⊥CD，∴四边形ONPM是矩形，又∵点Q为MN的中点，∴点Q为OP的中点，则OQ＝1，点Q走过的路径长＝＝．故选：C．例2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为_________.【分析】因为EF＝2，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG＝1，所以G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；根据勾股定理求得A′D＝5，即可求得A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，从而得出PA+PG的最小值．【解答】解：∵EF＝2，点G为EF的中点，∴DG＝1，∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；∵AB＝2，AD＝3，∴AA′＝4，∴A′D＝5，∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，∴PA+PG的最小值为4.类型四、三条相等线段造成的隐形圆例1．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为_______.【分析】由AB＝AC＝AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，继而可得∠CAD＝2∠BAC．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．例2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD2的值为________.【分析】作AM⊥BC于点M，AN⊥BD于点N，根据题给条件及等腰三角形的性质证明△ABN≌△BAM，继而求出AN的值，在Rt△ABN中，利用勾股定理求解即可．【解答】解：作AM⊥BC于点M，AN⊥BD于点N，∵AC＝AB，∴△ABC为等腰三角形，∴AM也是△ABC的中线和角平分线（三线合一），∴∠CAM＝