2024-2025学年广东深圳高级中学高二下学期期中数学试题及答案

高中2024-2025学年广东省深圳高级中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x||x|＞2}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞） B．[0，+∞） C．（2，3] D．（﹣∞，﹣2）∪[3，+∞）2．（5分）已知复数z=41+i（i为虚数单位），则A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i3．（5分）袋子中有10个大小相同的小球，其中6个白球，4个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率是（）A．35 B．49 C．124．（5分）已知曲线C：y=−33x3+33A．30° B．60° C．120° D．150°5．（5分）3名同学分4本不同的数学书，每名同学至少分一本书，不同分法的种数是（）A．18 B．24 C．36 D．486．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝25，a3+2a4＝19，数列{bn}的通项bn=2n−1．将数列{an}和数列{bnA．251﹣3 B．251﹣52 C．250﹣51 D．250﹣17．（5分）定义双曲正弦函数、双曲余弦函数分别为sinℎx=ex−e−x2，cosℎx=ex+e−x2，设函数f(x)=sinℎxcosℎxA．（﹣∞，1]∪[2，+∞） B．[1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞） D．[﹣2，1]8．（5分）已知f（x）＝ln（ex）和g（x）＝ex+1有公共切线l，切点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），则下列结论不正确的是（）A．x1y2﹣x1＝1 B．x1C．若点A（0，1），则∠PAQ始终为钝角 D．x二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差为X和Y（单位：s），其分布列为甲品牌的走时误差分布列甲品牌的走时误差分布列X﹣101P0.10.80.1乙品牌的走时误差分布列Y﹣2﹣1012P0.10.20.40.20.1则下列结论中正确的是（）A．甲品牌手表的走时更稳定 B．乙品牌手表的走时更稳定 C．D（X）＝0.2 D．D（Y）＝1.4（多选）10．（6分）已知椭圆C：x24+y2=1的左、右焦点分别是F1，F2，过坐标原点O的直线l与椭圆A．椭圆的短轴长为2 B．三角形PQF2面积的最大值是1 C．F2PD．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段PF1为直径的圆内切（多选）11．（6分）已知不等式lnx≤x﹣1对任意x＞0恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）A．lnx≤1−1B．C2025C．ln2026＞1D．(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分。12．（5分）若函数f（x）＝cos（2x），则f′(π12)=13．（5分）甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为奇数，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为偶数，从乙箱子中随机摸出1个球，则摸到白球的概率是．14．（5分）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则4次传球后球在乙手中的概率为，n次传球后球在乙手中的概率为．四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f(x)=2lnx+a2x2(a∈R)，在x（1）求a的值；（2）求函数f（x）的最大值．16．（15分）在(2x−1（1）求该展开式中各二项式系数的和；（2）求该展开式中含x2的项；（3）求该展开式中系数最大的项．17．（15分）在深高数学学科周活动中，解题闯关游戏有A，B，C三道数学题．张同学解对A题的概率为0.8，解对获得100积分；解对B题的概率为0.5，解对获得200积分；解对C题的概率为0.2，解对获得300积分．张同学是否解对A，B，C三道数学题相互独立．（1）解三道数学题，求张同学仅解对其中一道的概率；（2）若规定只有在解对当前数学题的情况下，才有资格解下一道．如果解题顺序由张同学自主选择．若张同学按A，B，C的顺序解题获得积分总数为X，按照_____（在下列条件①②③中任选一个）的顺序解题获得积分总数为Y，请分别求X，Y的分布列，并比较它们数学期望的大小．①A，C，B；②B，A，C；③C，B，A．18．（17分）已知数列{an}满足a1＝﹣1，2a（1）证明：数列{2n•an}为等差数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）是否存在正整数m、n（m＜n），使得Sm＝Sn？若存在，请找出所有满足条件的m、n，若不存在，请说明理由．19．（17分）已知函数f(x)=e（1）若a＝0，讨论f（x）的单调性；（2）若函数y＝f（x）只有一个零点，求a的取值范围；（3）若a＝0，证明：方程f（x）＝g（x）有唯一解x＝x0，且直线y＝f（x0）与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左至右的三个交点的横坐标成等比数列．

2024-2025学年广东省深圳高级中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ADDCCBAD二．多选题（共3小题）题号91011答案ACACDBCD一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【答案】A【解答】解：合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x||x|＞2}＝{x|x＞2或x＜﹣2}，故A∪B＝（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）．故选：A．2．【答案】D【解答】解：z=41+i=则z的共轭复数是2+2i．故选：D．3．【答案】D【解答】解：设事件A＝“第1次摸到白球”，事件B＝“第2次摸到白球”，则P（A）=610=35，P所以在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率是P（B|A）=P(AB)故选：D．4．【答案】C【解答】解：因为曲线C：y=−33x所以y′=−3x2可得在x＝1处的切线斜率k=−3故曲线C在点P处的切线的倾斜角为120°．故选：C．5．【答案】C【解答】解：4本不同的书发给3名同学，要使每名同学至少有一本书，先将4本书分为2、1、1的3组，然后分给3人，共有C4则每名同学至少有一本书的情况有6×6＝36种．故选：C．6．【答案】B【解答】解：由S5＝25，a3+2a4＝19，可得5a1+10d=253a1+8d=19，解得由于2n﹣1均为奇数，且数列{an}包含所有整奇数，故公共项即为{bn}本身，即cn＝bn＝2n﹣1，则前50项和为n=150bn=故选：B．7．【答案】A【解答】解：因为sinℎx=ex−函数f(x)=sinℎxcosℎx=ex则f（﹣x）=e−x−exe−x+因为f（m2）+f（2﹣3m）≥0，所以f（m2）≥﹣f（2﹣3m）≥f（3m﹣2），所以m2≥3m﹣2，解得m≥2或m≤1．故选：A．8．【答案】D【解答】解：因为f（x）＝ln（ex），g（x）＝ex+1，所以f′（x）=1x，g′（x）＝e又f（x）＝ln（ex）和g（x）＝ex+1有公共切线l，切点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），所以k=1x1=ex2=ln(ex1所以x1ex2=1，即x1（y2﹣1）＝1，所以x1y2﹣所以x1=1所以1−x2e所以1ex2=x2−1若点A（0，1），则AP→⋅AQ→=（x1，y1﹣1）•（x2=x当x1＝1时，P（1，1），Q（0，1），Q与A重合，不成立，当x1∈（0，1）时，lnx1＜0，1−x12当x1∈（1，+∞）时，lnx1＞0，1−x12所以AP→⋅AQ→＜0，又k=1x1=y1−1x1时，y此时P（e，2），Q（﹣1，1e+1），所以∠PAQ始终为钝，所以C选项正确；由ex2=1+x解得lnx1=1+x故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．【答案】AC【解答】解：由题意可得E（X）＝﹣1×0.1+0×0.8+1×0.1＝0，E（Y）＝﹣2×0.1﹣1×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1＝0，所以D（X）＝（﹣1﹣0）2×0.1+（0﹣0）2×0.8+（1﹣0）2×0.1＝0.2，所以C选项正确；D（Y）＝（﹣2﹣0）2×0.1+（﹣1﹣0）2×0.2+（0﹣0）2×0.4+（1﹣0）2×0.2+（2﹣0）2×0.1＝1.2，所以D选项错误；因为D（X）＜D（Y），所以甲的质量更稳定些，所以A选项正确，B选项错误．故选：AC．10．【答案】ACD【解答】解：对于A，设椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则由椭圆方程x24+y2则c=a2−对于B，由A得F1(−3，0)，F2(3，0)，设P（x0，y0），则由对称性得所以S△PQ因为点P在椭圆上，所以﹣2≤x0≤2，﹣1≤y0≤1，所以|y0|≤1，所以S△PQ即三角形PQF2面积的最大值是3，故B错；对于C，F=(x因为﹣2≤x0≤2，所以0≤x02即F2P→对于D，线段PF1的中点为(x其到原点的距离d=(|PF所以以线段PF1为直径的圆的半径r=1所以d+r=1所以以椭圆的长轴为直径的圆与以线段PF1为直径的圆内切，故D正确．故选：ACD．11．【答案】BCD【解答】解：对于A，因为lnx≤x﹣1，所以ln1则−lnx≤1x−1，故lnx≥1−对于B，由二项式定理得C2025因为lnx≤x﹣1，令x=1+1n，n∈得到nln(1+1n)＜1，即ln当n＝2025时，可化为(1+12025)对于C，因为lnx≤x﹣1，令x=nn+1，n∈即lnn+1n＞1n+1得到n=12025注意到n=120251n+1=对于D，因为lnx≤x﹣1，令x=n2025，n=2，3，⋯，2025则2025lnn2025＜n−2025两边取指数得eln(n则n=22025(n2025)2025＜n=22025则n=22025注意到n=22025得到(22025)故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分。12．【答案】﹣1．【解答】解：因为函数f（x）＝cos（2x），所以f′（x）＝﹣2sin2x，故f′(π12)=−2sin（2×故答案为：﹣1．13．【答案】310【解答】解：设事件A1表示点数为奇数，事件A2表示点数为偶数，事件B表示摸到白球，由题意知，P（A1）=12，P（A2）=12，P（B|A1）=410，P（B由全概率公式知，P（B）＝P（A1）•P（B|A1）+P（A2）•P（B|A2）=1故答案为：31014．【答案】516；【解答】解：由题意可知，4次传球总的传球路线为24＝16种，1次传球后，球在乙手上的线路为1种，2次传球后，球在乙手上的线路为1种，3次传球后，球在乙手上的线路为3种，4次传球后，球在乙手上的线路为5种，故4次传球后球在乙手中的概率为516记An表示事件“经过n次传球后，球在乙手中”，设n次传球后球在乙手中的概率为pn，n＝1，2，3，…，则有p1=12，所以pn+1＝P（An=P(A=P(A=(1−p=1故pn+1=−1因为p1所以{pn−13}故pn所以pn=1故n次传球后球在乙手中的概率为13故答案为：516；1四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）函数f(x)=2lnx+a2x依题意f'（1）＝2+a＝1，a＝﹣1．（2）f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知f(x)=2lnx−12x解f′(x)=0，得x=2f'（x）和f（x）随x的变化情况如下表：x(0，22(2f'（x）+0﹣f（x）单调递增ln2﹣1单调递减f(x)在x=216．【答案】（1）256；（2）﹣1792x2；（3）1792x4．【解答】解：（1）在(2x−1x)（2）该展开式中通项为Tk+1=C当k＝3时，T4故含x2的项是第四项﹣1792x2．（3）该展开式中通项为Tk+1=C当k为偶数时，项的系数才为正数；当k＝0，2，4，6，8时，项的系数分别是28，C8226，C8其中最大的是C8所以该展开式中系数最大的项是1792x4．17．【答案】（1）0.42．（2）X的分布列见解答，选择不同条件的Y的分布列见解答，且都有EX＞EY．【解答】解：记事件A，B，C为张同学解对A，B，C三道数学题，则A，B，C相互独立．（1）张同学仅解对其中一道的概率为：P=P(AB＝0.8×0.5×0.8+0.2×0.5×0.8+0.2×0.5×0.2＝0.42．所以张同学仅解对其中一道的概率为0.42．（2）X的所有可能取值为0，100，300，600．P(X=0)=P(AP(X=100)=P(ABP(X=300)=P(ABCP（X＝600）＝P（ABC）＝0.8×0.5×0.2＝0.08，故X的分布列为：X0100300600P0.20.40.320.08期望为EX＝0×0.2+100×0.4+300×0.32+600×0.08＝184．选①A，C，B的条件，Y的所有可能取值为0，100，400，600，P(Y=0)=P(AP(Y=100)=P(ACP(Y=400)=P(ACBP（X＝600）＝P（ABC）＝0.8×0.5×0.2＝0.08，故Y的分布列为：Y0100400600P0.20.640.080.08期望为EY＝0×0.2+100×0.64+400×0.08+600×0.08＝144，故EX＞EY．选②B，A，C，Y的所有可能取值为0，200，300，600，P(Y=0)=P(BP(Y=200)=P(BAP(Y=300)=P(BACP（X＝600）＝P（ABC）＝0.8×0.5×0.2＝0.08，故Y的分布列为：Y0200300600P0.50.10.320.08期望为EY＝0×0.5+200×0.1+300×0.32+600×0.08＝164，故EX＞EY．选③C，B，A，Y的所有可能取值为0，300，500，600，P(Y=0)=P(CP(Y=300)=P(CBP(Y=500)=P(CBAP（X＝600）＝P（ABC）＝0.8×0.5×0.2＝0.08，故Y的分布列为：Y0300500600P0.80.10.020.08期望为EY＝0×0.8+300×0.1+500×0.02+600×0.08＝88，故EX＞EY．18．【答案】（1）证明见解答过程；（2）Sn（3）n＝3，m＝2．【解答】解：（1）证明：∵2an+1=2n+1an+1＝2nan+1，即2n+1an+1﹣2nan＝1∴数列{2nan}为等差数列．（2）由（1）可知数列{2nan}为以﹣2为首项，1为公差的等差数列，∴2nan＝﹣2+（n﹣1）＝n﹣3，即an∴Sn=12S①﹣②得：12∴Sn（3）由（2）可知Sn∴当n＝2时Sn＜Sn﹣1，当n＝3时Sn＝Sn﹣1，当n≥4时Sn＞Sn﹣1，∴S1＞S2＝S3＜S4＜S5＜⋯⋯，又∵Sn=−1−n−12n＜−1(n≥2)即Sn∴当且仅当n＝3，m＝2时，有Sn＝Sm．19．【答案】（1）f（x）在（﹣∞，0）和（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．（2）{a|a＝1或a＜0}．（3）证明见解答．【解答】解：（1）若a＝0，则f(x)=exx，定义域为{xf′(x)=(x−1)exx2，令f当x变化时，f（x）和f'（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣不存在﹣0+f（x）单调递减不存在单调递减e单调递增所以f（x）在（﹣∞，0）和（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．（2）f（x）定义域为{x|x≠0}，f(x)=e令f'（x）＝0，得x＝﹣a+1．x（﹣∞，﹣a）﹣a（﹣a，﹣a+1）﹣a+1（﹣a+1，+∞）f'（x）﹣不存在﹣0+f（x）单调递减不存在单调递减e﹣a+1﹣a单调递增因此，f（x）在x＝﹣a+1处取得极小值，为f（﹣a+1）＝e﹣a+1﹣a．（i）当a＝0时，由（1）知当x∈（0，+∞）时，f（x）≥e＞0，不存在零点；当x∈（﹣∞，0）时，f(x)=e（ii）当a＜0时，当x∈（﹣a，+∞）时，e﹣a+1﹣a＞0恒成立，不存在零点；当x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）单调递减，至多存在一个零点．当a＝﹣1时，f（0）＝0；当﹣1＜a＜0时，又f(0)=1所以f（x）在(−a+1当a＜﹣1时，又f(0)=1所以f（x）在（0，﹣a﹣1）上存在一个零点；（当x→﹣a时，f（x）→﹣∞，当x→﹣∞时，f（x）→﹣a＞0）所以，f（x）在（﹣∞，﹣a）上存在一个零点．（ii）当a＞0时，当x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）＜﹣a＜0恒成立，不存在零点．当x∈（﹣a，+∞）时，若只有一个零点，则极小值e﹣a+1﹣a＝0．令h（x）＝e﹣