2024-2025学年广东深圳华中师大龙岗附中高二下学期期中数学试题含答案

高中2024-2025学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高二（下）期中数学试卷一、单选题1．（5分）设随机变量X服从正态分布X～N（4，σ2），记P（X≤2）＝0.4，则P（2＜X＜6）＝（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.62．（5分）已知M={x∈N|8x∈N}A．7 B．8 C．15 D．163．（5分）“数列{an}为等差数列”是“数列{an+an+1}为等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）A．e B．﹣e C．1e D．5．（5分）已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2﹣m，则am＝（）A．39 B．2×39 C．310 D．2×3106．（5分）已知数列{an}满足an+1＝an+a1+2n，a10＝130，则a1＝（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）包括甲、乙、丙在内的6人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为（）A．180 B．246 C．168 D．1928．（5分）从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各取一数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是（）A．914 B．114 C．15二、多选题（多选）9．（6分）为研究光照时长x（小时）和种子发芽数量y（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点P后，下列说法正确的是（）A．相关系数r变小 B．经验回归方程斜率变大 C．残差平方和变小 D．决定系数R2变小（多选）10．（6分）若(1+2x)2025A．a0＝2025 B．a0C．a0﹣a1+a2﹣a3+⋯﹣a2025＝﹣1 D．a1﹣2a2+3a3﹣⋯+2025a2025＝4050（多选）11．（6分）若k∈Z，则函数f（x）＝xkex的函数图象可能是（）A． B． C． D．三、填空题12．（5分）若随机变量ξ～B（10，0.2），则D（2ξ+1）＝．13．（5分）若函数f（x）＝2aex﹣x2+3（a为常数，e是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知数列{an}满足an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，Sn为其前n项和，则S60＝．四、解答题15．（13分）一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？（1）6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师；（2）6人支教小组中，既有男教师，又有女教师；（3）6人支教小组中，至少有1名主任参加；（4）6人支教小组中既有主任，又有女教师．16．（15分）某新能源汽车企业开展市场前景调研，对即将换车的男、女性燃油车圭购买新能源车意愿进行问卷调查，随机抽取了100份有效问卷，统计数据如下表：性别购买意愿合计有愿意无愿意男性221840女性481260合计7030100（1）试依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为购买意愿与性别有关联？（2）企业随机致电8位无愿意购买新能源车的车主（其中3名男性，5名女性），邀请其参加新能源车免费试驾，已知有一半的车主同意受邀参加试驾活动，设试驾活动中女性人数为X，求X的分布列及数学期望．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82817．（15分）甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p=2（1）第二局比赛结束时比赛停止的概率；（2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望．18．（17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1（1）证明：{S（2）求数列{an}的通项公式；（3）求数列{Sn}的前n项和Tn．19．（17分）已知函数f（x）＝xalnx﹣x．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x＞1时，f（x）≤﹣1恒成立，求a的取值范围；（3）设n∈N*，证明：ln(n+1)＜1+1

2024-2025学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCACDDDA二．多选题（共3小题）题号91011答案BCBCDBCD一、单选题1．【答案】B【解答】解：由随机变量X服从正态分布N（4，o2），∴正态曲线的对称轴是x＝4，∴P（X≤2）＝P（X≥6）＝0.4，∴P（（2＜X＜6）＝1﹣P（X≥6）﹣P（X≤2）＝0.2．故选：B．2．【答案】C【解答】解：M＝{1，2，4，8}，所以集合M有4个元素，真子集的个数为24﹣1＝15个．故选：C．3．【答案】A【解答】解：∵数列{an}为等差数列，设其公差为d，则（an+1+an+2）﹣（an+an+1）＝an+2﹣an＝2d，d为与n无关的常数，故数列{an+an+1}为等差数列．若取an=(−1)n，则an+an+1＝0，显然，数列{an+数列{an}为摆动数列，故不是等差数列．故数列{an}为等差数列”是“数列{an+an+1}为等差数列”的充分不必要条件．故选：A．4．【答案】C【解答】解：设切点坐标为（a，lna），∵y＝lnx，∴y′=1切线的斜率是1a切线的方程为y﹣lna=1a（x﹣将（0，0）代入可得lna＝1，∴a＝e，∴切线的斜率是1a故选：C．5．【答案】D【解答】解：当n＝1时，a1＝S1＝27﹣m，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n+2﹣m﹣（3n+1﹣m）＝2•3n+1，an则a2a1故am故选：D．6．【答案】D【解答】解：由an+1＝an+a1+2n，可得an+1﹣an＝a1+2n，则an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（an﹣an﹣1）＝a1+（a1+2）+（a1+4）+...+（a1+2n﹣2）＝na1+12（n﹣1）（2+2n﹣2）＝na1+n（由a10＝130，可得10a1+90＝130，解得a1＝4．故选：D．7．【答案】D【解答】解：当甲与乙相邻时，不同的排列种数为A2又甲与乙相邻，且甲与丙相邻，不同的排列种数为A2则甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，不同的排列种数为240﹣48＝192．故选：D．8．【答案】A【解答】解：从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各取一数（不重复），甲取到的数是5的倍数，基本事件总数n＝3×14＝42，则甲数a大于乙数b包含的基本事件（a，b）有：（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（10，1），（10，2），（10，3），（10，4），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），（15，1），（15，2），（15，3），（15，4），（15，5），（15，6），（15，7），（15，8），（15，9），（15，10），（15，11），（15，12），（15，13），（15，14），共27个，∴甲数大于乙数的概率p=27故选：A．二、多选题9．【答案】BC【解答】解：由图可知：P较其他的点偏离直线最大，所以去掉点P后，回归效果更好，对于A，相关系数|r|越接近于1，线性相关性越强，因为散点图是递增的趋势，所以去掉点P后，相关系数r变大，故A错误；对于B，由线性回归方程的实际意义，要使残差平方和最小，去掉点P后，回归直线靠近y轴位置需要向下移动，但靠近最右侧两个点的位置变化不大，经验回归方程斜率变大，故B正确；对于C，残差平方和变大，拟合效果越差，所以去掉点P后，残差平方和变小，故C正确；对于D，决定系数R2越接近于1，拟合效果越好，所以去掉点P后，决定系数R2变大，故D错误．故选：BC．10．【答案】BCD【解答】解：(1+2x)2025对于A，令x＝0，则a0=1对于B，令x＝1，则a0+a对于C，令x＝﹣1，则a0−a对于D，令x＝﹣t，则(1−2t)2025对等式两侧同时求导函数得−2×2025(1−2t)令t＝1得，﹣a1+2a2+⋯﹣2025a2025＝﹣4050，所以a1﹣2a2+3a3﹣⋯+2025a2025＝4050，故D正确．故选：BCD．11．【答案】BCD【解答】解：当k＝0时，f（x）＝ex（x≠0），其图象为指数函数的一部分；当k为正的奇数时，定义域为R，f'（x）＝xk﹣1ex（x+k），可知当x∈（﹣∞，﹣k）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣k，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，函数f（x）在x＝﹣k处取得极小值，此时﹣k是负数，4个选项中没有与以上两种情况对应的图象；当k为正的偶数时，定义域为R，f'（x）＝xk﹣1ex（x+k），可知当x∈（﹣∞，﹣k）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（﹣k，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故B选项正确；当k为负的奇数时，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f'（x）＝xk﹣1ex（x+k），可知当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，﹣k）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣k，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故C选项正确；当k为负的偶数时，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f'（x）＝xk﹣1ex（x+k），可知当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（0，﹣k）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣k，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故D选项正确．故选：BCD．三、填空题12．【答案】6.4．【解答】解：∵随机变量ξ～B（10，0.2），∴D（ξ）＝10×0.2×0.8＝1.6，∴D（2ξ+1）＝22×D（X）＝4D（X）＝6.4，故答案为：6.4．13．【答案】（0，1e【解答】解：函数恰有两个极值点，等价于f′（x）＝2aex﹣2x恰有两个零点，①当a＜0时，函数f（x）＝2aex﹣x2+3，函数f′（x）＝2aex﹣2x，令f′（x）＝0，aex＝x，由函数图象可知，y＝aex和y＝x仅有一个交点，∴f（x）＝2aex﹣x2+3仅有一个极值点；②当a＝0时，f（x）＝﹣x2+3，由二次函数图象可知，f（x）仅有一个极值点；③当a＞0时，函数f（x）＝2aex﹣x2+3，函数f′（x）＝2aex﹣2x，令f′（x）＝0，a=x设g（x）=xex，则g′（x令g′（x）＝0，解得x＝1，当g′（x）＞0，x＜1，当g′（x）＜0，x＞1，g（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；∴g（x）最大值为g（1）=1总上可知，实数a的取值范围是（0，1e故答案为：（0，1e14．【答案】1830．【解答】解：由题意得，当n为奇数时，an+1﹣an＝2n﹣1，n+1为偶数，所以an+2+an+1＝2n+1，两式相减得an+2+an＝2；当n为偶数时，an+1+an＝2n﹣1，n+1为奇数，所以an+2﹣an+1＝2n+1，两式相加得an+2+an＝4n；故S60＝a1+a3+a5+⋯+a59+（a2+a4+a6+⋯+a60）＝2×15+（4×2+4×6+⋯+4×58）＝30+4×450＝1830．故答案为：1830．四、解答题15．【答案】（1）80；（2）209；（3）182；（4）181．【解答】解：一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，（1）由题意得从6名男教师里选3名有C6从4名女教师里选3名有C4由分步乘法计数原理得共有C6（2）由题意得从10名教师里选6名有C10而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师，若全是男教师，有C6故既有男教师，又有女教师的选派方法为C10（3）由题意得从10名教师里选6名有C10从不是主任的8名教师里选6名有C8则至少有1名主任参加有C10（4）由已知得从10名教师里选6名有C10从不是主任的8名教师里选6名有C8若有主任，且没有女教师，有C6则既有主任，又有女教师有210﹣28﹣1＝181种选派方法．16．【答案】（1）有关联；（2）分布列见解析，数学期望为52【解答】解：（1）零假设H0：购买意愿与性别无关联，易知χ2=100(依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，我们认为购买意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.01；（2）易知X的所有可能取值为1，2，3，4，此时P(X=1)=CP(X=3)=C则X的分布列为：X1234P1143737114故E(X)=1×117．【答案】（1）59（2）26681【解答】解：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，记事件A是“第二局比赛结束时比赛停止”，则P（A）=2（2）依题意知，X的所有可能取值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59，该轮结束时比赛继续的概率为1−即P（X＝2）=59，P（X＝4）=49×59则随机变量X的分布列为：X246P5201681∴E（X）＝2×518．【答案】（1）证明见解析；（2）an（3）Tn【解答】解：（1）证明：因为数列{an}的前n项和为Sn，且a1所以Sn+1所以Sn+