平行四边形的性质及判定第2课时课件2025-2026学年数学北师大版八年级下册

1平行四边形的性质及判定第2课时基础主干落实重点典例研析素养思维提升课时目标1.掌握平行四边形对角线的性质.(几何直观、推理能力)2.能够灵活运用平行四边形对角线的性质解决相关问题.(推理能力、运算能力)基础主干落实新知要点1.平行四边形对角线的性质(1)文字叙述:对角线互相平分.(2)符号语言:∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,∴OA=OC,OB=OD.对点小练1.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=8,则OC=()

A.4 B.5

C.6

D.8A新知要点2.梯形与等腰梯形(1)梯形:一组对边平行、另一组对边不平行的四边形.(2)等腰梯形:__________相等的梯形.

(3)等腰梯形的性质:①等腰梯形是轴对称图形;②在同一底上的两个角__________.

两腰

相等

对点小练2.下列轴对称图形中,只有1条对称轴的是()A.圆

B.正方形C.等腰梯形

D.等边三角形C重点典例研析重点1

平行四边形的性质——对角线(几何直观、推理能力)【典例1】(教材再开发·P152例2强化)如图,在▱ABCD中,点M,N分别在边BC,AD上,且AM∥CN,对角线BD分别交AM,CN于点E,F.求证:BE=DF.

举一反三如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC=10,BD=24,AD=13.(1)求证:AC⊥BD.(2)点E、点F分别是AB和DC上的一点,连接EF经过点O,求证:BE=DF.【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,AC=10,BD=24,∴AO=CO=5,BO=DO=12.∵AD=13,∴52+122=132,即AO2+DO2=AD2,∴△ADO为直角三角形,∠AOD=90°,∴AC⊥BD.(2)

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,OB=OD,∴∠EBO=∠FDO,∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF,∴BE=DF.技法点拨平行四边形对角线性质的拓展1.由任意一条对角线分割成的两个三角形全等;2.由两条对角线分割成的四个小三角形:(1)面积都相等;(2)相对的两个三角形全等;(3)相邻两个三角形的周长之差为平行四边形两邻边的差;3.过平行四边形两条对角线的交点的直线平分这个平行四边形的周长和面积.重点2

平行四边形性质的综合运用(运算能力、推理能力)【典例2】如图,将▱ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,求▱ABCD的周长.【自主解答】∵∠B=80°,四边形ABCD为平行四边形,∴∠D=80°.由折叠可知∠ACB=∠ACE,又AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴∠ACE=∠DAC,∴△AFC为等腰三角形.∴AF=FC=a.设∠ECD=x,则∠ACE=2x,∴∠DAC=2x,在△ADC中,由三角形内角和定理可知,2x+2x+x+80°=180°,解得x=20°.由三角形外角定理可得∠DFC=4x=80°,故△DFC为等腰三角形,∴DC=FC=a,∴AD=AF+FD=a+b,故▱ABCD的周长为2(DC+AD)=2(a+a+b)=4a+2b.

C2.如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD上一点,将△DEC沿CE翻折得到△FEC,点F在AC上,且满足AF=EF,若∠D=48°,则∠ACE的度数为________.

54°

3.如图,平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F是对角线BD上的点,且BE=DF,连接AE,CE,CF,AF.(1)求证:AE=CF.(2)若平行四边形ABCD的面积是12,△OCF的面积是2,求△ADF的面积.

技法点拨平行四边形的综合——折叠问题1.折叠性质:(1)翻折前后两个图形全等,对应边相等,对应角相等.(2)对应点连线被对称轴垂直平分.2.结合平行四边形的性质可以证明相等的线段或求角的度数.3.运用勾股定理或者全等三角形证明线段相等或求角的度数.特别提醒:折叠是一种对称变换,它属于轴对称图形.

C举一反三1.已知一个四边形只有一组对边平行,有且只有两组邻角相等,则该四边形一定是()A.平行四边形

B.正方形 C.等腰梯形 D.梯形2.(2025·金华期末)现有一张宽为2cm的长方形纸条,纸条两面的颜色分别为灰色和白色(图1是白色面,图2是灰色面),折叠该纸条得到如图3所示的图形.已知图中四个灰色的梯形是完全相同的,则原来的长方形纸条的长度为________cm.

C

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素养思维提升溯根求源教材P152例2对经过平行四边形内对角线交点的线段EF被交点平分作了证明:例2

已知:如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证:OE=OF.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DO=BO(平行四边形的对角线互相平分),AD∥BC(平行四边形的定义).∴∠ODE=∠OBF.∵∠DOE=∠BOF,∴△DOE≌△BOF.∴OE=OF.【拓展探究】(1)如图①,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交边BA,DC的延长线于E,F,求证:OE=OF.(2)连接图①中的DE,BF,其他条件不变,如图②,若AB=2AE,△AOE的面积为1,则四边形BEDF的面积为__________

.

(2)

∵△AOE≌△COF,∴S△COF=S△AOE=1,∵AB=2AE,∴S△