平行四边形的性质及判定第4课时课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1平行四边形的性质及判定第4课时基础主干落实重点典例研析素养思维提升课时目标1.能证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.(几何直观、推理能力)2.会用平行四边形的判定定理判定一个四边形是平行四边形,并能解决相关问题.(几何直观、推理能力)基础主干落实新知要点平行四边形的判定定理3(1)文字叙述:对角线______________的四边形是平行四边形;

(2)符号语言:∵AO=OC,BO=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.

互相平分

对点小练在四边形ABCD中,已知OA=OC,再添加一个条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是()A.AB=CDB.AD=BCC.OB=ODD.∠BAD+∠ADC=180°C重点典例研析重点1

对角线互相平分的四边形是平行四边形(几何直观、推理能力)【典例1】(教材再开发·P156例4强化)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.(1)求证:四边形AECF是平行四边形.(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,∵BE=DF,∴EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形;(2)∵BE=EF,∴S△ABE=S△AEF=2,∵四边形AECF是平行四边形,∴S△AEF=S△CEF=2,EO=FO,∴S△CFO=1.举一反三(2025·上海期中)已知▱ABCD,点O为对角线AC的中点,过点O分别作直线EF,GH,直线EF交边AD,BC于点E,F,直线GH交边AB,CD于点G,H.求证:四边形EHFG为平行四边形.【证明】∵四边形ABCD为平行四边形,点O为对角线AC的中点,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠DAO=∠BCO,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF.同理可证,△AOG≌△COH,∴OG=OH,∴四边形EHFG为平行四边形.技法点拨用对角线互相平分判定平行四边形的几种情况1.当出现线段的中点时;2.当出现两条线段互相平分时;3.当要证的平行四边形与已知的平行四边形有一条公共对角线,而另一条对角线在一条直线上时.重点2

平行四边形判定方法的选择(推理能力)【典例2】如图所示,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点.(1)若AB=CD,只添加一个条件:__________

,使四边形ABCD为平行四边形;

(2)在(1)的条件下,若BE⊥AC,DF⊥AC,求证:四边形BEDF是平行四边形.【自主解答】(1)只添加一个条件:AB∥CD(答案不唯一),∵AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABCD为平行四边形;答案:AB∥CD(答案不唯一)

举一反三如图,在平行四边形ABCD中,点E,F是对角线BD上两个不同点.连接AE,AF,CE,CF,添加一个条件使得四边形AFCE是平行四边形.(1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项,将其序号填写在下方横线上.①BE=DF;②AE=CF;③AE∥CF.符合条件的选项有:__________.

(2)选择其中一个条件,写出证明过程:我选择______________________________,

证明过程如下:

素养思维提升阅读理解从课本中我们已经学习了利用平行四边形的定义和三个定理来判断一个四边形是平行四边形.几位同学在对平行四边形的判定进行进一步研究时发现:平行四边形的判定都需要两个条件,除4个已经被证明的判定方法外,还有很多由两个条件组成的关于平行四边形判定的命题,他们对这些命题展开了研究.(1)数学爱好者小潘和小苗发现“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”是一个真命题.请你完成证明.如图1,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D,求证:四边形ABCD是平行四边形.(2)小振和小涵研究后发现命题“如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线,那么这个四边形是平行四边形”是一个假命题.他们先画出四边形ABCD的一条边AB,一条对角线BD.请你利用无刻度直尺和圆规在图2中画出反例.(保留作图痕迹,不写作法)(3)小骆想到了一个命题“一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线”,需要分情况考虑.聪明的同学们,你们能把这个问题研究一下吗?(要求有必要的图形和文字说明)【解析】(1)∵∠A=∠C,∠B=∠D,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°,∴AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD为平行四边形.(2)作出线段BD的中点O,连接AO并延长至点E,使OE=OA,以点D为圆心,DE长为半径画弧,交AE的延长线于点C,连接AD,如图,四边形ABCD即为所求,理由:∵OA=OE,OB=OD,∴四边形ABED为平行四边形,∴AB=DE,AB∥DE,由作法可知:DE=DC,∴AB=CD,∴四边形ABCD中,AB=CD,但四边形ABCD不是平行四边形.(3)分两种情况:①已知∠ABC=∠ADC,且BO=DO,四边形ABCD满足一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线,显然四边形ABCD不是平行四边形;②已知∠ABC=∠ADC,且AO=CO,反证法:假设四边形ABCD不是平行四边形,则BO≠DO,故可以在射线BD上取和D不重合的点D',使得D'O=BO,∵AO